三角形四心与向量
三角形“四心”向量形式的充要条件应用
1.O是ABC的重心
OAOBOC0;
SBOCSAOCSAOB
1
SABC3故
若O是ABC的重心,则
PG(PAPBPC)
2.O是ABC的垂心
OAOBOC0;
G为ABC的重心.
OAOBOBOCOCOA;
tanA:tanB:tanC
若O是ABC(非直角三角形)的垂心,则SBOC:SAOC:SAOB
故tanAtanBtanC
2
2
2
3.O是ABC的外心||||||(或OAOBOC若O是ABC的外心则SBOC:SAOC:SAOB
)
sinBOC:sinAOC:sinAOBsin2A:sin2B:sin2C
0
故sin2AOAsin2BOBsin2COC
4.O
是内心ABC的充要条件是
,的单位向量为e1,e2,e3,则刚才O是ABC内心的充要条件引进单位向量,使条件变得更简洁。如果记,可以写成
O(e1e3)O(e1e2)O(e2e3)0 ,O
是ABC内心的充要条件也可以是
aOAbOBcOC0 。若O是ABC的内心,则SBOC:SAOC:SAOBa:b:c
故
aOAbOBcOC0或sinAOAsinBOBsinCOC0;
|AB|PC|BC|PA|CA|PB0P是ABC的内心;
)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平分线所在直向量(|AB||AC|
线);
(一)将平面向量与三角形内心结合考查
例
1.O是平面上的一定点,
A,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足P点的轨迹一定通过ABC的( )
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
,0,则
AB的单位向量设AB与AC方向上的单位向量分别为e1和e2, 又,则原
式可化为
(e1e2),由菱形的基本性质知AP平分BAC,那么在ABC
中
AP平分BAC,则知选B.
(二)将平面向量与三角形垂心结合考查“垂心定理”
例2. H是△ABC所在平面内任一点,HAHBHBHCHCHA点H是△ABC的垂心. 由()00, 同理,.故H是△ABC的垂心. (反之亦然(证略)) 例3.(湖南)P是△ABC所在平面上一点,若
A.外心 解析:由PAPB
B.内心
,则P是△ABC的(D
D.垂心
)
C.重心
PBPC得PAPBPBPC0.即PB(PAPC)0,即PBCA0
BC,PCAB 所以P为ABC的垂心. 故选D.
则PBCA,同理PA
(三)将平面向量与三角形重心结合考查“重心定理”
例4. G是△ABC所在平面内一点,GAGBGC=0点G是△ABC的重心. 证明 作图如右,图中GBGCGE
连结BE和CE,则CE=GB,BE=GCBGCE为平行四边形D是BC的中点,AD为BC边上的中线. 将GBGCGE代入GAGBGC=0,
得GAEG=0GAGE2GD,故G是△ABC的重心.(反之亦然(证略)) 例5. P是△ABC所在平面内任一点.G是△ABC的重心PG
1
(PAPBPC). 3
证明 PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC) ∵G是△ABC的重心 ∴=0=0,即3 由此可得
1
) ().(反之亦然(证略)
3
例6 若O 为ABC内一点,OAOBOC0 ,则O 是ABC 的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
解析:由OAOBOC0得OBOCOA,如图以OB、OC为相邻两边构作平行四边形,则OBOCOD,由
1
平行四边形性质知OEOD,OA2OE
2
(四) 将平面向量与三角形外心结合考查
,同理可证其它两边上的这个性质,所以是重心,选D。
例7若O 为ABC内一点,OAOBOC
,则O 是ABC 的( )
A.内心 B.外心 C.垂心 D.重心
解析:由向量模的定义知O到ABC的三顶点距离相等。故O 是ABC 的外心 ,选B。 (五)将平面向量与三角形四心结合考查
例8.已知向量OP1,OP2,OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0,|OP1|=|OP2|=|OP3|=1, 求证 △P1P2P3是正三角形.(《数学》第一册(下),复习参考题五B组第6题) 证明 由已知OP1+OP2=-OP3,两边平方得OP1·OP2= 同理 OP2·OP3=OP3·OP1=
1
, 2
1, 2
∴|P1P2|=|P2P3|=|P3P1|=3,从而△P1P2P3是正三角形.
反之,若点O是正三角形△P1P2P3的中心,则显然有OP1+OP2+OP3=0且|1|=|OP2|=|OP3|. 即O是△ABC所在平面内一点,
OP1+OP2+OP3=0且|OP1|=|OP2|=|OP3|点O是正△P1P2P3的中心.
例9.在△ABC中,已知Q、G、H分别是三角形的外心、重心、垂心。求证:Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2。
【证明】:以A为原点,AB所在的直线为x轴,建立如图所示的直角坐标系。设A(0,0)、B(x1,0)、C(x2,y2),D、E、F分别为AB、BC、AC的中点,则有:
x1xx2y2xyx
,0)、E(1,、F(2,2 由题设可设Q(1,y3)、H(x2,y4), 222222
xx1x2y2xyG(,)AH(x2,y4),QF(21,2y3)
33222
BC(x2x1,y2) AHBC
AHBCx2(x2x1)y2y40 D(
x2(x2x1)
y2
QFACxxy
QFACx2(21)y2(2y3)0
222
x(xx1)y2
y322
2y22y4
x2xx13x2(x2x1)y2
QH(x21,y4y3)2,)
222y22
xxxy2xx1y2x2(x2x1)y21
QG(21,2y3)(2,323632y222x2x13x2(x2x1)y212xx13x2(x2x1)y2
,(2, 66y26322y221
=3 (
即QH=3QG,故Q、G、H三点共线,且QG:GH=1:2
例10.若O、H分别是△ABC的外心和垂心.求证 OHOAOBOC. 证明 若△ABC的垂心为H,外心为O,如图. 连BO并延长交外接圆于D,连结AD,CD.
∴ADAB,CDBC.又垂心为H,AHBC,CHAB, ∴AH∥CD,CH∥AD, ∴四边形AHCD为平行四边形,
∴,故.
著名的“欧拉定理”讲的是锐角三角形的“三心”——外心、重心、垂心的位置关系: (1)三角形的外心、重心、垂心三点共线——“欧拉线”;
(2)三角形的重心在“欧拉线”上,且为外——垂连线的第一个三分点,即重心到垂心的距离是重心到外心距离的2倍。 “欧拉定理”的向量形式显得特别简单,可简化成如下的向量问题.
例11. 设O、G、H分别是锐角△ABC的外心、重心、垂心. 求证 证明 按重心定理 G是△ABC的重心OG
1
3
1
(OAOBOC) 3
1
OH. 3
按垂心定理 OHOAOBOC 由此可得 OG
补充练习
1.已知A、B、C是平面上不共线的三点,O是三角形ABC的重心,动点P满足
111
= (++2),则点P一定为三角形ABC的 ( B )
322
A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点(非重心) C.重心 D.AB边的中点 1. B取AB边的中点M,则2,由=
222222
2.在同一个平面上有ABC及一点O满足关系式: OA+BC=OB+CA=OC+AB,则O为ABC
3
的 ( D )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
2.已知△ABC的三个顶点A、B、C及平面内一点P满足:( C )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
3.已知O是平面上一 定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P 满足:
∴2,即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点,且点P不过重心,故选B.
111
(++2)可得332,322
PAPBPC0,则
P为
ABC
的
OPOA(ABAC),则P的轨迹一定通过△ABC的 ( C )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
4.已知△ABC,P为三角形所在平面上的动点,且动点P满足:
PAPCPAPBPBPC0,则P点为三角形的 ( D )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
5.已知△ABC,P为三角形所在平面上的一点,且点P( B )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心 6.在三角形ABC中,动点P满足:( B )
A 外心 B 内心 C 重心 D 垂心
→→→→ABACABAC1→→→
7.已知非零向量AB与AC满足(+ )·BC=0且· = , 则△ABC为( )
→→→→2|AB||AC||AB||AC|A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形 C.等腰非等边三角形 D.等边三角形
满足:aPAbPBcPC0,则
P点为三角形的
222
,则P点轨迹一定通过△ABC的:
ABAC
osA)·解析:非零向量与满足(=0,即角A的平分线垂直于BC,∴ AB=AC,又c
|AB||AC|
所以△ABC为等边三角形,选D.
8.ABC的外接圆的圆心为O,两条边上的高的交点为H,AB|AB|
AC|AC|
1
=,∠A=,23
m(),则实数m = 1
9.点O是三角形ABC所在平面内的一点,满足OAOBOBOCOCOA,则点O是ABC的(B )
(A)三个内角的角平分线的交点 (C)三条中线的交点
(B)三条边的垂直平分线的交点 (D)三条高的交点
10. 如图1,已知点G是ABC的重心,过G作直线与AB,AC两边分别交于M,N两点,且AMxAB,
11
ANyAC,则3。
xy
证 点G是ABC的重心,知GAGBGCO,
1
得AG(ABAG)(ACAG)O,有AG(ABAC)。又M,N,G三点共线(A不在直线MN上),
3
于是存在,,使得AGAMAN(且1),
1
有AGxAByAC=(ABAC),
3
1
11
得1,于是得3。
xyxy3
例讲三角形中与向量有关的问题
教学目标:1、三角形重心、内心、垂心、外心的概念及简单的三角形形状判断方法 2、向量的加法、数量积等性质
3、利用向量处理三角形中与向量有关的问题 4、数形结合
教学重点:灵活应用向量性质处理三角形中与有关向量的问题 教学难点:针对性地运用向量性质来处理三角形中与向量有关的问题 教学过程: 1、课前练习
1.1已知O是△ABC内的一点,若OA
2
OBOC
22
,则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 1.2在△ABC中,有命题①AB
ACBC;②ABBCCA0;③若ABACABAC0,则△ABC
为等腰三角形;④若
0,则△ABC为锐角三角形,上述命题中正确的是〔 〕
A、①② B、①④ C、②③ D、②③④
2、知识回顾
2.1 三角形的重心、内心、垂心、外心及简单的三角形形状判断方法 2.2 向量的有关性质
2.3 上述两者间的关联
3、利用向量基本概念解与三角形有关的向量问题
1
例1、已知△ABC
中,有0,试判断△ABC的形状。 2练习1、已知△ABC中,ABa,BCb,B是△ABC中的最大角,若ab
4、运用向量等式实数互化解与三角形有关的向量问题
例2、已知O是△ABC所在平面内的一点,
0,试判断△ABC的形状。
,则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、运用向量等式图形化解与三角形有关的向量问题
例3、已知P是△ABC所在平面内的一动点,且点P
满足,0,,则动点P一定过△
ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
练习2、已知O为平面内一点,A、B、C平面上不共线的三点,动点P满足则动点P 的轨迹一定通过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
1
,0,,2
例4、已知O是△ABC所在平面内的一点,动点P
满足,0,,则动点
P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
OBOC
练习3、已知O是△ABC所在平面内的一点,动点P
满足,0,,
2则动点P一定过△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
例5、已知点G是的重心,过G作直线与AB、AC分别相交于M、N两点,且
11
3 x,y,
xy
6、小结
处理与三角形有关的向量问题时,要允分注意数形结合的运用,关注向量等式中的实数互化,合理地将向量等式和图形进行转
化是处理这类问题的关键。 7、作业
1、已知O是△ABC内的一点,若,则O是△ABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 2、若△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,且OAOBOCA、
0,则OAOB等于〔 〕
1 2
12
B、0 C、1 D、
3、已知O是△ABC所在平面上的一点,A、B、C、所对的过分别是a、b、c若abcABC的〔 〕
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心 4、已知P是△ABC所在平面内与A不重合的一点,满足AB
,则O是△
AC3AP,则P是△ABC的〔 〕
01,求证:△ABC
A、重心 B、垂心 C、外心 D、内心
5、平面上的三个向量OA、OB、OC满足OA
OBOC形。
6、在△ABC中,O为中线AM上的一个动点,若AM=2,求() 为正三角
三角形四心与向量的典型问题分析
向量是数形结合的载体,有方向,大小,双重性,不能比较大小。在高中数学“平面向量”(必修4第二章)的学习中,一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算;另一方面,我们又以向量为工具,运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。
在平面向量的应用中,用平面向量解决平面几何问题时,首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示,然后选择适当的基底向量,将相关向量表示为基向量的线性组合,把问题转化为基向量的运算问题,最后将运算的结果再还原为几何关系。
下面就以三角形的四心为出发点,应用向量相关知识,巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质。既学习了三角形四心的一些特定性质,又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。
一、“重心”的向量风采
【命题1】 已知G是△ABC所在平面上的一点,若GAGBGC0,则G是△ABC的重心.如图⑴.
A'
A
图⑵
图⑴
,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足【命题2】 已知O是平面上一定点,A
),则P的轨迹一定通过△ABC的重心. OPOA(ABAC),(0,
)时,由于(ABAC)表示BC边上的中线所在直线的【解析】 由题意AP(ABAC),当(0,
向量,所以动点P的轨迹一定通过△ABC的重心,如图⑵.
二、“垂心”的向量风采
【命题3】 P是△ABC所在平面上一点,若,则P是△ABC的垂心.
【解析】 由PAPBPBPC,得PB(PAPC)0,即PBCA0,所以PB⊥CA.同理可证
PC⊥AB,PA⊥BC.∴P是△ABC的垂心.如图⑶.
A
图⑷
图⑶
,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足【命题4】 已知O是平面上一定点,A
ABAC,(0,OPOA),则动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心. AcosBACcosCABACABACBC0, 【解析】 由题意AP,由于ABcosBACcosCABcosBACcosC
ABBCACBC
即BCCB0,所以AP表示垂直于BC的向量,即P点在过点A且垂直于ABcosBACcosCBC的直线上,所以动点P的轨迹一定通过△ABC的垂心,如图⑷.
三、“内心”的向量风采
【命题5】 已知I为△ABC所在平面上的一点,且ABc,ACb,BCa .若aIAbIBcIC0,
则I是△ABC的内心.
图⑸
A
图⑹
B
【解析】 ∵IBIAAB,ICIAAC,则由题意得(abc)IAbABcAC0,
AB∵bABcACACABABACACAB
AB
ACAC
,
∴AI
bcabc
ABACACAB
.∵与分别为AB和AC方向上的单位向量, ABACACAB
∴AI与∠BAC平分线共线,即AI平分BAC.
同理可证:BI平分ABC,CI平分ACB.从而I是△ABC的内心,如图⑸.
,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足【命题6】 已知O是平面上一定点,A
AB
OPOA
AAC
),则动点P的轨迹一定通过△ABC的内心. ,(0,
A
ABAC)时,AP表示BAC的平分线所在直线方向的【解析】 由题意得AP,∴当(0,ABAC
向量,故动点P的轨迹一定通过△ABC的内心,如图⑹.
四、“外心”的向量风采
2
【命题7】 已知O是△ABC所在平面上一点,若OAOB2OC2,则O是△ABC的外心.
图⑺
图⑻
222222
【解析】 若OAOBOC,则OAOBOC,∴OAOBOC,则O是△ABC的外心,
如图⑺。
,B,C是平面上不共线的三个点,动点P满足【命题7】 已知O是平面上的一定点,A
OBOCABAC,(0,OP),则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心。 ABcos2BACcoCsABACOBOC)时,【解析】 由于过BC的中点,当(0,表示垂直于BC的2ABcosBACcosC
向量(注意:理由见二、4条解释。),所以P在BC垂直平分线上,动点P的轨迹一定通过△ABC的外心,如图⑻。
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