圆锥曲线部分常见结论
沈阳市第三十一中学 李曙光编辑整理,希望对大家有帮助,疏漏之处请指正 椭圆常见结论
1.椭圆的两焦点分别为F1,F2,P是椭圆上任意一点,则有以下结论成立: (1)PF1PF22a; (2)acPF1ac; (3)bPF1PF2a;
2
2
x2y2
2. 椭圆的方程为221(a>b>0), 左、右焦点分别为F1,F2,Px0,y0是椭圆上
ab
任
意
一
点
,
则
有
:
(1)
b22a2222
y02ax0,x02by02ab
2
;
(2)|PF1|aex0,|PF2|aex0; (3)bOPaO为原点;
(3)
x0acos
为参数;
y0bsin
3.设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2,则
2b22
(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2c|yP|=btan.(3)当P点位于短轴顶点处
21cos
2
时, 最大,此时SPF1F2也最大;(4) cos12e.(5)点M是PF1F2内心,PM
交F1F2于点N,则
|PM|a
.
|MN|c
x2y2
4.AB是椭圆221的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则
abb2
kOMkAB2,
ab2x0
即KAB2。
ay0x2y2
5. 椭圆的方程为221(a>b>0),A1,A2为椭圆的长轴顶点,P点是椭圆上异于长
ab
b2
轴顶点的任一点,则有KPA1KPA22
a
x2y2
6. 椭圆的方程为221(a>b>0),B1,B2为椭圆的短轴顶点,P点是椭圆上异于短
ab
b2
轴顶点的任一点,则有KPB1KPB22
a
x2y2
7. 椭圆的方程为221(a>b>0),过原点的直线交椭圆于A,B两点,P点是椭圆上
ab
b2
异于A,B两点的任一点,则有KPAKPB2
a
x2y2
21上,则(1)以P8. 若P0(x0,y0)在椭圆0(x0,y0)为切点的切线斜率为2ab
x0xy0yb2x0
21. (2)过P的椭圆的切线方程是k2;0
a2bay0x2y2
9.若P0(x0,y0)在椭圆221外 ,则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦
abxxyy
P1P2的直线方程是02021.
ab
10.椭圆的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2x2y2
交点的轨迹方程是221.
ab
11.过椭圆上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,则直线BC
有定向且kBC
b2x0
2(常数). ay0
12. 若P为椭圆上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, PF1F2, PF2F1,则e
csin .
asinsin
13. P为椭圆上任一点,F1,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,则
2a|AF2||PA||PF1|2a|AF1|,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立.
14.O为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点,且OPOQ.(1)
2
2
1111
2;222
|OP||OQ|ab
4a2b2a2b2
(2)|OP|+|OQ|的最大值为2;(3)SOPQ的最小值是2. 22
abab
15. 已知A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0), 则
a2b2a2b2
x0.
aa
16. 离心率e=
cb2b2
=1、e2=1- aaa
17. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为
2b2
a
18.如图所示,△ABF2的周长为4a,
19. 从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线必经过椭圆的另一个焦点.
x2y2
20. 过椭圆221(ab0)左焦点的焦点弦为AB,则2ae(x1x2);过右焦
ab
点的弦AB2ae(x1x2).
21. 内接矩形最大面积:2ab.
x2y2
22. 若椭圆方程为221(ab0),半焦距为c,焦点F1c,0,F2c,0,设
ab
过F1的直线l 的倾斜角为,交椭圆于A、B两点,则有:①
b2b22ab2
AF1,BF1 ;②AB222
accosaccosaccos
x2y2
若椭圆方程为221(ab0),半焦距为c,焦点F1c,0,F2c,0,设
ab
过F2的直线l 的倾斜角为,交椭圆于A、B两点,则有:①
b2b22ab2AF,BF ;②AB222 22
a+ccosa-ccosaccos
2ab2
同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为AB222(a为长半轴,b为
acsin
短半轴,c为半焦距)
2ab2
焦点在x轴上a2c2cos2
结论:椭圆过焦点弦长公式:AB 2
2ab焦点在y轴上a2c2sin2
23.若AB是过焦点F的弦,设AFm,BFn,则112a
2
m
n
b
1.双曲线的两焦点分别为F1,F2,P是双曲线上任意一点,则有以下结论成立: (1)PF1PF22a; (2)PF1minac,PF2
min
caP在右支上;
PF2minac,PF1mincaP在左支上
x2y2
2. 双曲线的方程为221(a>0,b>0), ,Px0,y0是双曲线上任意一点,则有:
abb2a22222
y02x0a,x02by02;
ab
2
3.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2,则
2b22
(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2c|yP|=bcot.
21cos
x2y2
4.AB是双曲线221的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则
abb2
kOMkAB2,
ab2x0
即KAB2。
ay0x2y2
5. 双曲线的方程为221(a>0,b>0),A1,A2为双曲线的实轴顶点,P点是双曲
ab
b2
线上异于实轴顶点的任一点,则有KPA1KPA22
a
x2y2
6. 双曲线的方程为221(a>0,b>0),B1,B2为双曲线的虚轴端点,P点是双曲
ab
b2
线上异于虚轴端点的任一点,则有KPB1KPB22
a
x2y2
7. 双曲线的方程为221(a>0,b>0),过原点的直线交双曲线于A,B两点,P点
ab
b2
是双曲线上异于A,B两点的任一点,则有KPAKPB2
a
x2y2
8. 若P0(x0,y0)在双曲线221上,则(1)以P0(x0,y0)为切点的切线斜率为
ab
x0xy0yb2x0
21. (2)过P的双曲线的切线方程是k2;0
a2bay0
1.双曲线的两焦点分别为F1,F2,P是双曲线上任意一点,则有以下结论成立: (1)PF1PF22a; (2)PF1minac,PF2
min
caP在右支上;
PF2minac,PF1mincaP在左支上
x2y2
2. 双曲线的方程为221(a>0,b>0), ,Px0,y0是双曲线上任意一点,则有:
abb2a22222
y02x0a,x02by02;
ab
2
3.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2,则
2b22
(1)|PF1||PF2|.(2) SPF1F2c|yP|=bcot.
21cos
x2y2
4.AB是双曲线221的不平行于对称轴的弦,M(x0,y0)为AB的中点,则
abb2
kOMkAB2,
ab2x0
即KAB2。
ay0x2y2
5. 双曲线的方程为221(a>0,b>0),A1,A2为双曲线的实轴顶点,P点是双曲
ab
b2
线上异于实轴顶点的任一点,则有KPA1KPA22
a
x2y2
6. 双曲线的方程为221(a>0,b>0),B1,B2为双曲线的虚轴端点,P点是双曲
ab
b2
线上异于虚轴端点的任一点,则有KPB1KPB22
a
x2y2
7. 双曲线的方程为221(a>0,b>0),过原点的直线交双曲线于A,B两点,P点
ab
b2
是双曲线上异于A,B两点的任一点,则有KPAKPB2
a
x2y2
8. 若P0(x0,y0)在双曲线221上,则(1)以P0(x0,y0)为切点的切线斜率为
ab
x0xy0yb2x0
21. (2)过P的双曲线的切线方程是k2;0
a2bay0
x2y2
9.若P0(x0,y0)在双曲线221外 ,则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切
abxxyy
点弦P1P2的直线方程是02021.
ab
10. 双曲线的两个顶点为A1(a,0),A2(a,0),与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1x2y2
与A2P2交点的轨迹方程是221.
ab
11.过双曲线上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线
BC有定向且kBC
b2x0
2(常数).
ay0
12. 离心率e=
b2c
e2=1+() aa2b2
13. 过焦点且垂直于长轴的弦叫通经,其长度为,
a
14.双曲线焦点到渐近线的距离总是b.顶点到渐近线的距离为
ab c
a2b2
15.双曲线实轴顶点到两渐近线的距离之积为定值2
c
x2y2
16. 与双曲线221(a>0,b>0)有相同渐近线的双曲线方程可设为
abx2y2
20 2ab
x2y2
17.已知双曲线的渐近线方程为bxay0,则双曲线方程可设为220
ab
18. 双曲线x2y2a2称为等轴双曲线,其渐近线方程为yx,离心率e2.
x2y2
19. 设双曲线221,其中两焦点坐标为F1c,0,F2c,0,过F1的直线l的倾斜
ab
角为,交双曲线于A、B两点, 焦点在x轴的焦点弦长为
2ab2
A,B在同一支曲线上222
accos
AB2
2abA,B在两支曲线上222ccosa
其中a为实半轴,b为虚半轴,c为半焦距,
为AB的倾斜角。
20. 若AB是过焦点F的弦,设AFm,BFn, ,AB交在同支时, 支时,
112a
,AB交在两
mnb2
112a
2 (设mn) mnb
21. 等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项
抛物线常见结论:
2
1.设AB为过抛物线y2px(p0)焦点的弦,A(x1,y1)、B(x2,y2),直线AB的倾斜角为,则
ppppp2
,BFx2,y1y2p2; 2.AFx11.x1x2
21cos21cos4
3.ABx1x2p
321122p
OAOBp; ;4.;5.
4sin2|FA||FB|P
6.SAOB
11p2
OAOBsinAOBOFhF; 222sin
7.以AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切; 8.焦点F对A、B在准线上射影的张角为
; 2
9.如图所示,以A,B两点为切点引抛物线的两条切线,两条切线交于一点M,则有:(1)M点必在准线上;(2)设线段AB的中点为N,则MN//x轴,即yM(3)MFAB
10. AB的中垂线与X轴交于点R,则11.以A为切点的切线斜率为
y1y2
;2
AB2FR
p
,切线方程为 y1
y1ypxx1
12.已知抛物线方程为y22px(p0),定点Mm,0m0,直线l过点M交抛物线于A,B两点,A(x1,y1)、B(x2,y2),则有x1x2m2,y1y22pm ;
13.已知A,B是抛物线y2px(p0)两点,且直线AB不垂直于x轴,则有:
2
KAB
2pp
y为线段AB中点纵坐标
y1y2y中中
2
x2pt2x2pt
y2px(或x2py)的参数方程为(或)(t为参数). 214.y2pty2pt
2
15.抛物线y=2px(p>0)内接直角三角形OAB的性质: ①x1x24P,y1y24P; ②lAB恒过定点(2p,0);
③A,B中点轨迹方程:yp(x2p);
222
④OMAB,则M轨迹方程为:(xp)yp;
2
2
2
2
⑤(SAOB)min4p2.
16.抛物线y=2px(p>0),对称轴上一定点A(a,0),则: ①当0ap时,顶点到点A距离最小,最小值为a;
②当ap时,抛物线上有关于x轴对称的两点到点A距离最小,最小值为2app2.
2
17. 抛物线y=2px(p>0)与直线ykxb相交于Ax1,y1,Bx2,y2且该直线与y轴交于点
C0,y3,则有111
y1y2y3
2
18. 过抛物线y=2px(p>0)的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,自A、B两点向准线作垂线,垂足分别为A1,B1,则A1FB1900;其逆命题:若A1FB1900,则A、F、B三点共线。
※若点M是准线上任一点,则AMB900
一些有用的结论:
⒈若一个圆C1内含于另一个圆C2,则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一椭圆,两圆的圆心为焦点,其长轴长为两圆半径之和;
⒉在一个圆内有一点,则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆,且其长轴长为已知圆的半径。
⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆(两点除外)。两定点为椭圆的顶点,两定点间的距离为长轴长。(1m0时,焦点在x轴上;当 m1时,焦点在y轴上)
⒋将圆的横坐标(或纵坐标)拉伸或缩短为原来的m倍,该圆变成椭圆;
⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹为一椭圆。方椭圆的长半轴与圆的半径长相等;
⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点,从大圆上该点作x轴的垂线, 则过小圆交点向该垂线作垂线,其垂足的点的轨迹为椭圆。 7. 斜率为k的直线交圆锥曲线于两点Ax1,y1,Bx2,y2时,则
2
=k2x1x2=
k2
11
=yy12
k2k2
=
2
2
8. 过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为:mxny1 (m,n同时大于0时表示椭圆,mn0时表示双曲线);
2
y0
9. 对于y=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为(,y0),以简化计算.
2p
2
10. 有心型二次曲线(圆、椭圆、双曲线)上任一弦中点与中心连线的斜率与弦所在直线的
焦点在x轴上,e21
斜率之积为(对圆则是-1,为什么?)
1焦点在y轴上2e1
直线与圆常见结论
1.直线的斜率与倾斜角 倾斜角,[0,); 斜率:ktan(
y2y1
(x1x2).
2x2x1
0k0;0k0且,k+
22
k不存在;k0且,-k0
222
);斜率公式:k
2.直线方程
⑴点斜式:yy0k(xx0);斜截式:ykxb.
yy1xx1xy
;截距式:1.
aby2y1x2x1
⑶一般式:AxByC0,(A,B不全为0);直线的方向向量:(B,A)或(1,k),法向量(A,B).
⑵两点式:
联立方程
5.两点间的距离,点到直线的距离,平行线间的距离 (1)PP12
(2)点P(x0,y0)到直线AxByC0的距离:dAx0By0C.
A2B2
(3)两条平行线AxByC10与AxByC20的距离是d
C1C2.
A2B2
6.方程:ykxb,xmya中k,b,m,a的几何意义是什么?
7. 直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为零,直线在两轴上的截距相等直线的斜率为1或直线过原点;直线两截距互为相反数直线的斜率为1或直线过原点;直线在两轴上的截距绝对值相等直线的斜率为1或直线过原点。 8.
10
9.圆的四种方程
(1)圆的标准方程 (xa)2(yb)2r2.
(2)圆的一般方程 x2y2DxEyF0(DE4F>0). (3)圆的参数方程
2
2
xarcos
.
ybrsin
(4)圆的直径式方程 (xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0(圆的直径的端点是A(x1,y1)、
B(x2,y2)).
10.圆中有关重要结论: (1)切线方程:
①一般方程若点(x0 ,y0)在圆上,则(x – a)(x0 – a)+(y – b)(y0 – b)=R2. 特别地,过圆x2y2r2上一点P(x0,y0)的切线方程为x0xy0yr2.(注:该点在圆上,则切线方程只有一条)
y1y0k(x1x0)
by1k(ax1),联立求出k切线方程.(注:②若点(x0 ,y0)不在圆上,圆心为(a,b)则R
R21
过圆外的点引切线必定有两条,若联立的方程只有一个解,那么另外一条切线必定是垂直于X
轴的直线。) (2) 若P(x0,y0)是圆xyr外一点,由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为A,B
则直线AB的方程为xx0yy0r2
(3) 若P(x0,y0)是圆(xa)2(yb)2r2外一点, 由P(x0,y0)向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB的方程为(x0a)(xa)(y0b)(yb)r2 11. 直线与圆、圆与圆的位置关系(B)(主要掌握几何法) ⑴点与圆的位置关系:(d表示点到圆心的距离)
①dR点在圆上;②dR点在圆内;③dR点在圆外. ⑵直线与圆的位置关系:(d表示圆心到直线的距离) ①dR相切;②dR相交;③dR相离. ⑶圆与圆的位置关系:(d表示圆心距,R,r表示两圆半径,且Rr) ④ dRr相离;②dRr外切;③RrdRr相交; ④dRr内切;⑤0dRr内含.
12. 直线必过点:① 含有一个参数----ya1x2a1ya1x23, 令:x20必过点2,3
2
2
2
②含有两个参数----3mnxm2nyn0m3xyn2yx10
3xy013令:联立方程组求解必过点2yx10
13. 动点P到两个定点A、B
11
①PB的最小值:找对称点再连直线,如右图所示: ②PB的最大值:三角形思想“两边之差小于第三边”; ③PAPB的最值:函数思想“转换成一元二次函数,找对称轴”。
14. 过两圆的交点的圆方程:假设两圆方程为:C1:x2y2D1xE1yF10 ,
2
2
C2:x2y2D2xE2yF20则过两圆的交点圆方程可设为:
C:x2y2D1xE1yF1x2y2D2xE2yF20
过两圆的交点的直线方程:l:D1D2xE1E2yF1F20(两圆的方程相减得到的方程就是直线方程) 15. 与圆有关的计算:
直线与圆相交弦长的计算:ABR是圆的半径,d等于圆心到直线的距离
AB1x2其中k 是直线的斜率,x1与x2是直线与圆的方程联立之后得到的两
个根(尽量少用)
过圆内的一点的最短弦长是垂直于过圆心的直线 圆内的最长弦是直径 16.圆的一些最值问题
①圆上的点到直线的最短距离=圆心到直线的距离减去半径 ②圆上的点到直线的最长距离=圆心到直线的距离加上半径 ③假设Px,y是在某个圆上的动点,则
yb
的最值可以转化为圆上的点与该点a,b的xa
斜率问题,即先求过该定点的切线,得到的斜率便是该分式的最值。
④假设Px,y是在某个圆上的动点,则求xy或xy的最值可以转化为:设txy或
txy求解;也可以用三角换元
12