巧用绝对值几何意义解题
【专题】啼ｌ数理化研究ｉ
巧用绝对值几何意义解题
摘要：对于一些绝对值内为关于Ｘ一次式的不等式，
●江西省峡江中学张永发
我们常可根据绝对值的基本性质，采用等价转化法或零点分段法脱去绝对值符号，将问题４｛－－ｆ＆为不合绝对值符号的常规问题来解决。另外，也可根据绝对值的几何意义
用数形结合的方法直观、快速、准确地求解此类含有绝对值的不等式。
其解集是数轴上以一吾为对称中心的长为６的线段上除端
点外所有点的实数集，（如图所示）
关键词：不等式；绝对值；几何意义；数形结合
故原不等式的解集为｛ＸＩ一百ＩＩ～＜ｘ＜了Ｉ｝。
，－不等式中，常会遇到含有绝对值的不等式求解ｌ－ｔ－问题。处理这类问题的关键在于：去掉绝对值
符号，将问题转化为不含绝对值符号的常规问题来解决，这是解合绝对值不等式的一般方法。接下来让我们一起
例２：解不等式３Ｌ＿ｌ
ｌ叶
ｒ１
ｘ十百ｌ』６
［１
解：原不等式可化为１２≤ｌｘ＋６ｌ』２４，其解集是数轴
上以一６为对称中心的长为２４的线段外（含端点）所有点的
来探求这类问题的另一种解法一——利用实数绝对值的几何意义求解。
实数绝对值的几何意义：
（１）ＩＸｌ的几何意义是数轴上表示数Ｘ的点到原点０的距离；
［二三二二二二二二匕二３
－６－２４－６－１：
－
一６－６＋ｌ：一６＋２４
集合与数轴上以一６为对称中心的长为４８的线段上（含端
点）所有点的集合的交集，（如图所示）
故原不等式的解集为｛Ｘｌ一３０兰Ｘ兰一１８或６≤Ｘ－－－－－１８）
（２）ｌＸ－－Ｘ。ｌ的几何意义是数轴上表示数Ｘ的点到原
点Ｘ。的距离。
关于Ｘ的不等式（１）｛Ｘ－－８Ｉ＜ｂ（ｂ＞０）；（２）｝ｘ－ａＩ＞ｂ
（ｂ＞０）；它们的解集在数轴上分别为：
通过上倒可知，在求解形如ｌａｘ＋ｂｌ＜ｃ与ｌａｘ＋ｂＩ＞ｃ（ａ≠０，Ｃ＞０）之类的不等式时，可先将不等式同解变形为｜ｘ－ａｌ＜ｂ与Ｉｘ—ａＩ＞ｂ（ｂ＞ｏ）的形式，再利用这两个不等式的解集的几何特征，通过数形结合求得原不等式的解集。
例３：解不等式
—∈三戛；扣：东苎＝—‰
ａ－ｂ
鑫
ａ
ｂａ＋ｂ
ａ也
ａａ＋ｂ
由此可知，不等式Ｉｘ－ａｌ＜ｂ（或＞ｂ）的解集表示在数轴上是：以“点ａ”为对称中心的长为２ｂ的线段上除端点外所有点的集合（或该线段以外所有点的集合）。
例１：解不等式｛２ｘ＋５ｌ＜６
㈣川。一２
Ｉ兰３二了二＝＝＝Ｅ
１
２
３
解，：由绝对值不０
等式的几何意义知，
（如图所示）在数轴上点０或３到１、２两点距离之和为３；当０＜ｘ＜３时，ｌＸ一１Ｉ＋ｌｘ一２Ｊ＜３；当ｘ＜０或ｘ＞３时｜ｘ一１Ｉ＋ｊｘ一２ｌ＞３．．・．原不等式的解集为ｆｘ０≤ｘ≤３｝
解：原不等式可化为１２（ｘ＋争）ｌ＜６ｊｌｘ＋争Ｉ＜３。因
一个隐含条件的挖掘在初中解题中的应用
●辰溪县龙头庵中学米承茂
有二姜竺嚣篡激
中挖掘出这一个隐含条件，数学题就会迎刃而解。初中数学教师与学生应该重视这一个公式表示的隐含条件。
这一个公式为：ａ２＋ｂ２＋Ｃ２一ａｂ—ｂｃ—ｃａ≥０，这只要乘以２再配方即可证明，事实上，２（ａ２＋ｂ２＋Ｃ２一ａｂ—ｂｃ—ｃａ）＝（ａ—ｂ）２＋（ｂ—ｃ）２＋（ｃ—ａ）２≥ｏ。
一、证明三角形面积的大小例１：设Ｈ点是正三角形ＡＢＣ内任意一点，分另Ｉ以三边为对称轴作Ｈ
的对称点Ｐ，Ｑ，Ｒ。求证：ｓ△ＰｏＲ兰ｓ△ＡＢｃ
证明：设Ｈ点到正三角形的三边
需证（ｘ＋ｙ＋ｚ）２≥３（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）
这样就挖掘出隐蔽条件Ｘ
２＋ｙ２
的距离分别为Ｘ，Ｙ，Ｚ，则ｈ茎ｂＺＥ－－角形
的高，ｘ＋ｙ＋ｚ＝ｈ，这是容易理解的，又
＋ｚ２一ｘｖ—ｙｚ—ＺＸ≥０当且仅当ｘ＝ｙ＝ｚ时，即Ｈ点为正三角形的中心时（此时重心。垂心，外心与内心重合时），求证的不等式成立。
二、判定三角形的形状
设正三角形的边长为ａ，则ｈ：掣里ａ
ｊＳ△ＡＢｃ＿孚ａ２＝孚（×＋ｙ＋ｚ）２。ｓ
一。＝订（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）要证ｊ｝
（ｘ＋ｙ＋ｚ）２≥Ｓ△ＰｏＲ＝、／３（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）：耍
判定三角形的形状是数学思维中
充满活力而又非常神奇，具有探索功
能。可以用先猜后证的数学思想来解
题的重要园地。
例２：若ａ，ｂ，Ｃ是△ＡＢＣ的三内
证二芝≥～（ｘ＋ｙ＋ｚ）２≥—＼／，丁（ｘｙ＋ｙｚ＋ｚｘ）
２００７－◆３９
巧用绝对值几何意义解题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
张永发
江西省峡江中学成才之路
THE ROAD TO SUCCESS2007，""(32)0次
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下载时间：2010年8月6日