2014辽宁高考理科数学试卷及详细答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

理科数学

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一

项

是符合题目要求的.

1. 已知全集U =R , A ={x |x ≤0},B ={x |x ≥1}，则集合C U (A

B ) =（ ）

A ．{x |x ≥0} B ．{x |x ≤1} C ．{x |0≤x ≤1} D ．{x |0

-13

11

, c =log 1，则（ ） 323

A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a 4. 已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若m //α, n //α, 则m //n B ．若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C ．若m ⊥α，m ⊥n ，则n //α D ．若m //α，m ⊥n ，则n ⊥α

b ∙c =0，5. 设a , b , c 是非零向量，已知命题P ：若a ∙b =0，则a ∙c =0；命题q ：若a //bb , //c

则下列命题中真命题是（ ）

A ．p ∨q B ．p ∧q C ．(⌝p ) ∧(⌝q ) D ．p ∨(⌝q )

6.6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的做法种数为（ ） A ．144 B ．120 C ．72 D ．24

7. 某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A ．8-2π B ．8-π C ．8-

，则a //c ，

π

2

D ．8-

π

4

8. 设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{21n }为递减数列，则（ ） A ．d 0 C ．a 1d 0 9. 将函数y =3sin(2x +A ．在区间[

a a

π

3

) 的图象向右平移

π

个单位长度，所得图象对应的函数（ ） 2

, ]上单调递减 1212π7π

]上单调递增 B ．在区间[, 1212

C ．在区间[-D ．在区间[-

π7π

ππ

, ]上单调递减 63

, ]上单调递增 63

ππ

10. 已知点A (-2,3) 在抛物线C ：y 2=2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为（ ） A ．

1234 B ． C ． D ． 2343

32

11. 当x ∈[-2,1]时，不等式ax -x +4x +3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[-5, -3] B ．[-6, -] C ．[-6, -2] D ．[-4, -3]ZXXK 12. 已知定义在[0,1]上的函数f (x ) 满足： ①f (0)=f (1)=0；

②对所有x , y ∈[0,1]，且x ≠y ，有|f (x ) -f (y ) |

98

1

|x -y |. 2

若对所有x , y ∈[0,1]，|f (x ) -f (y ) |

1111 B ． C ． D ． 242π8

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 执行右侧的程序框图，若输入x =9，则输出y =

14. 正方形的四个顶点A (-1, -1), B (1,-1), C (1,1),D (-1,1) 分别在抛物线y =-x 2和y =x 2上，如图所示，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在阴影区域的概率是

.

x 2y 2

+=1，点M 与C 的焦点不重合，若M 关于C 的焦点的对称点分别为A ，B ，线段15. 已知椭圆C ：94

MN 的中点在C 上，则|AN |+|BN |=.

22

16. 对于c >0，当非零实数a ，b 满足4a -2ab +4b -c =0，且使|2a +b |最大时，

345

-+的最小a b c

值为 .

三、解答题 （本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ）

17. （本小题满分12分）

在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边a ，b ，c ，且a >c ，已知BA ∙BC =2，cos B =（1）a 和c 的值； （2）cos(B -C ) 的值.

1

，b =3，求： 3

18. （本小题满分12分）

一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示：

将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立.

（1）求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另一天的日销售量低于50个的概率； （2）用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X 的分布列，期望E (X ) 及方差

D (X ) .

19. （本小题满分12分）

如图，∆ABC 和∆BCD 所在平面互相垂直，且AB =BC =BD =2，∠ABC =∠DBC =120，E 、F 分

别为AC 、DC 的中点. （1）求证：EF ⊥BC ；

（2）求二面角E -BF -C 的正弦值

.

20. （本小题满分12分）

圆x +y =4的切线与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P （如

2

2

x 2y 2

图），双曲线C 1:2-2=1过点P

a b

（1）求C 1的方程；

（2）椭圆C 2过点P 且与C 1有相同的焦点，直线l 过C 2的右焦点且与C 2交于A ，B 两点，若以线段AB 为直径的圆心过点P ，求l 的方程

.

21. （本小题满分12分）

已知函数f (x ) =(cosx -x )(π+2x ) -(sinx +1) ，g (x ) =3(x -π)cos x -4(1+sin x )ln(3-证明：（1）存在唯一x 0∈(0,（2）存在唯一x 1∈(

8

3

2x

π

) .

π

2

) ，使f (x 0) =0；

π

2

, π) ，使g (x 1) =0，且对（1）中的x 0有x 0+x 1

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲学科网

如图，EP 交圆于E 、C 两点，PD 切圆于D ，G 为CE 上一点且PG =PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB 垂直EP ，垂足为F. （1）求证：AB 为圆的直径； （2）若AC=BD，求证：

AB=ED.

23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

将圆x +y =1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C. （1）写出C 的参数方程；

（2）设直线l :2x +y -2=0与C 的交点为P 1, P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极坐标建立极坐标

2

2

l 系，求过线段PP 12的中点且与垂直的直线的极坐标方程.

24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f (x ) =2|x -1|+x -1，g (x ) =16x 2-8x +1，记f (x ) ≤1的解集为M ，g (x ) ≤4的解集为N. （1）求M ； （2）当x ∈M

N 时，证明：x 2f (x ) +x [f (x )]2≤

1

. 4

2014年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

理科数学答案

1. D 2. A 3. C 4. B 5. A 6. D 7. B 8. C 9. B 10. D 11. C 12. B 13.

292

C 14. 15. 12 16. -2 93

1

=，所以ac =6. 3

17. （Ⅰ）由BA ⋅BC =2得，c ⋅a cos B =2，又cos B

2

2

2

由余弦定理，得a 又b =3，所以a

2

+c =b +2ac cos B .

2

+c =9+2⨯2=13.

⎧⎪ac =6解⎨2，得a =2，c =3或a =3，c =2. 2⎪⎩a +c =13

因为a >c , ∴ a =3，c =2. （Ⅱ）在∆

ABC 中，sin B =

==

3

由正弦定理，

得sin C =

c 2，又因为a =b >c ，所以C 为锐角，因

此sin B =⋅=

b 3397

=. 9

cos C ==于是cos(B -C ) =cos B cos C +

sin B sin C =

1723

. ⋅+⋅=

393927

18. （Ⅰ）设A 1表示事件“日销售量不低于100个”，A 2表示事件“日销售量低于50个”，B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”. 因此

P (A 1) =(0.006+0.004+0.002) ⨯50=0.6 . P (A 2) =0.003⨯50=0.15.

P (B ) =0.6⨯0.6⨯0.15⨯2=0.108.

（Ⅱ）X 的可能取值为0,1,2,3. 相应的概率为

P (X =0) =C 3⋅(1-0.6) 3=0.064,

1

P (X =1) =C 3⋅0.6(1-0.6) 2=0.288, 2P (X =2) =C 3⋅0.62(1-0.6) =0.432, 3P (X =3) =C 3⋅0.63=0.216,

分布列为

因为X ~B (3,0.6),所以期望为E (X )=3×0.6=1.8，方差D （X ）=3×0.6×（1-0.6）=0.72 19. （Ⅰ）证明：

（方法一）过E 作EO ⊥BC ，垂足为O ，连OF ，

由△ABC ≌△DBC 可证出△EOC ≌△FOC ，所以∠EOC =∠FOC

=又EO ⊥BC ，因此BC ⊥面EFO

， 又EF ⊂面EFO ，所以EF

⊥BC .

（方法二）由题意，以B 为坐标原点，在平面DBC 内过B 左垂直

BC 的直线为x 轴，BC 所在直线为

y 轴，在平面ABC 内过B 作垂直BC 的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

π

，即FO ⊥BC ， 2

易得B （0,0,0），A (0，-1，

), D (

11

,-1,0) ，C (0,2,0),因而E (0F ) , , , 所0以)

2222

EF =-BC =(0,2,0) ，因此EF ⋅BC =0, 从而EF ⊥BC ，所以EF ⊥BC . 22

（Ⅱ）（方法一）在图1中，过O 作OG ⊥BF ，垂足为G ，连EG ，由平面ABC ⊥平面BDC ，从而EO ⊥平

面BDC ，又OG ⊥BF ，由三垂线定理知EG 垂直BF . 因此∠EGO 为二面角E -BF -C 的平面角； 在△EOC 中，EO =

11BO EC =BC ·cos 30°

=，由△BGO ∽△BFC

知，OG =, 因此tan ∠⋅FC =22BC 42

EGO =

EO =2, 从而sin ∠EGO

E -BF -C

OG （方法二）在图2中，平面BFC 的一个法向量为n 1=(0,0,1)，设平面BEF 的法向量n 2=

(x , y , z ) ，又

⎧11⎪n 2⋅BF =0

得其中一个n 2=(1,

，设二面角E -BF -C 的大BF =,0), BE =(0,, , 由⎨

22⎪⎩n

2⋅BE =0

小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos |

=|

n

1⋅n 2sin θ，即二|=

5|n 1|⋅

|n 2|面角E -BF -C x 0x

，切线方程为y -y 0=-0(x -x 0) ，y 0y 0

1

448

. 由⋅⋅=

2x 0y 0x 0y 0

20. （Ⅰ）设切点坐标为(x 0, y 0)(x 0>0, y 0>0) ，则切线斜率为-

即x 0x +y 0y =4，此时，两个坐标轴的正半轴与切线围成的三角形面积为S =

x 02+y 02=4

≥2x 0y

0知当且仅当x 0=y 0时x 0y 0有最大值，即S 有最小值，因此点P 得坐标为 ，

由题意知

⎧22

y 2⎪2-2=122

2

=1. 解得a =1, b =2，故C 1方程为x -⎨a b

2⎪

a 2+b 2=3a 2

⎩

x 2y 2

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C 2的焦点坐标为(

，由此C 2

的方程为+2=1，其中b 1>0. 2

3+b 1b 1

由P 在C 2上，得

22

+=1， 22

3+b 1b 1

x 2y 2

+=1 解得b

1=3，因此C 2方程为63

2

显然，l 不是直线y =0.设l 的方程为x =my A (x 1, y 1), B (x 2, y 2)

⎧x =my +⎪

由⎨x 2y 2

得(m 2+2) y 2+-3=0，又y 1, y 2是方程的根，因

此

=1⎪+3⎩6

⎧y 1+y 2=⎪⎪⎨

⎪y y =-312⎪m 2+2⎩

①

，

由

x 1=1+

y ,

2

=得x

32+

m

②

⎧x 1+x 2=m (y 1+y 2) +=⎪⎪⎨2⎪x x =m 2y y (y +y ) +3=6-6m 121212⎪m 2+2⎩

因

③

④

由

题

意

知

AP =x 1y 1), BP =

x 2

y 2)

) x +2

AP ⋅BP =0

，所以

x 1x (+x 1 =

，将1-y 2(+y 1) +y ⑤0①

，②，③，④代入⑤式整理

得224

2m 2-+

11=0，解得m =

+1，因此直线l 的方程

为-1或m =

-22

x -

1) y =0，或x +-1) y =0. 2π

) 时，f '(x ) =-(1+sin x )(π+2x ) -2x -cos x

0, f () =-π-

3232

3(x -π)cos x 2π

-4ln(3-x ), x ∈[, π]， （Ⅱ）考虑函数h (x ) =

1+sin x π2

21. （Ⅰ）当x ∈(0,

π

令t =π-x ，则x ∈[记u (t ) =h (π-t ) =

π

, π]时，t ∈[0,]， 22

π

3f (t ) 3t cos t 2

-4ln(1+t ) ，则u '(t ) = ，

1+sin t π(π+2t )(1+sin t )

由（Ⅰ）得，当t ∈(0,x 0) 时，u '(t ) >0，当t ∈(x 0,

π

2

) 时，u '(t )

在(0,x 0) 上u (t ) 是增函数，又u (0)=0，从而当t ∈(0,x 0]时，u (t ) >0，所以u (t ) 在(0,x 0]上无零点. 在(x 0,

π

) 上u (t ) 是减函数，由u (x 0) >0, u () =-4ln 2

222

ππ

所以存在唯一的t 1∈(x 0,

π

2

) 使u (t 1) =0.

因此存在唯一的x 1=π-t 1∈(

π

2

, π) ，使h (x 1) =h (π-t 1) =u (t 1) =0.

因为当x ∈(π

2, π) 时，1+sin x >0，故g (x ) =(1+sin x ) h (x ) 与h (x ) 有相同的零点，所以存在唯一的

x 1∈(, π) ，使g (x 1) =0. 2

因x 1=π-t 1, t 1>x 0，所以x 0+x 1

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑.

22. （Ⅰ）因为PD =PG , 所以∠PDG =∠PGD .

由于PD 为切线，故∠PDA =∠DBA , 又由于∠PGD =∠EGA , 故∠DBA =∠EGA , 所以∠DBA +∠BAD =∠EGA +∠BAD , 从而∠BDA =∠PF A .

由于AF 垂直EP ，所以∠PF A =90°，于是∠BDA =90°，故AB 是直径.

(Ⅱ) 连接BC ，DC

. π

由于AB 是直径，故∠BDA =∠ACB =90°，

在Rt △BDA 与Rt △ACB 中，AB =BA , AC =BD ，

从而Rt △BDA ≌Rt △ACB ，于是∠DAB =∠CBA .

又因为∠DCB =∠DAB , 所以∠DCB =∠CBA ，故DC ∥AB .

由于AB ⊥EP , 所以DC ⊥EP , ∠DCE 为直角

于是ED 是直径，由（Ⅰ）得ED =AB .

⎧x =x 123. （Ⅰ）设(x 1, y 1) 为圆上的点，在已知变换下位C 上点（x ，y ），依题意，得⎨ 由x 12+y 12=1 得⎩y =2y 1

⎧x ＝cos t ⎨y 2y 222x +() =1，即曲线C 的方程为x +=1. ，故C 得参数方程为 ⎩y ＝2sin t （t 为参数）. 24

⎧2y 2

⎧x =1⎧x =0=1⎪x +(Ⅱ) 由⎨解得：⎨，或⎨. 4y =0y =2⎩⎩⎪2x +y -2=0⎩

不妨设P ,0), P 2(0,2), 则线段PP 12的中点坐标为(,1) , 所求直线的斜率为k =1(11

21，于是所求直线方程为2

第11页（共12页）

y -1=11(x -) ， 22

3. 4sin θ-2cos θ化极坐标方程，并整理得 2ρcos θ-4ρsin θ=-3，即ρ=

24. （Ⅰ）f (x ) =⎨⎧3x -3, x ∈[1,+∞) 1-x , x ∈(-∞,1) ⎩

44当x ≥1时，由f (x ) =3x -3≤1得x ≤3，故1≤x ≤3；

当x

3.

(Ⅱ) 由g (x ) =16x 2-8x +1≤4得16(x -1) 2≤4, 解得-1

44≤x ≤3

4，

M N ={x |0≤x ≤3

4}.

当x ∈M N 时，f (x ) =1-x ，于是

x 2f (x ) +x ⋅[f (x )]2=xf (x )[x +f (x )]

=x ⋅f (x ) =x (1-x ) =1-(x -1) 21

42≤4.

第12页（共12页） 此N ={x |-14≤x ≤34，故 因