高考数学总复习不等式证明的基本方法
选修4-5 不等式选讲第2课时 不等式证明的基本方法(理科专用
)
1. 求不等式|x+1|+|x-2|>5的解集.
⎧⎪x5,
⎧⎧⎪-1≤x ≤2,⎪x>2,⎨或或⎨ ⎪x +1+2-x>5,⎩⎪x +1+x -2>5,⎩
解得x ∈(-∞,-2) ∪(3,+∞) .
122. 求函数f(x)=3x 的最小值. x 3123x 3x 12解:f(x)=3x +≥9. x 22x 22x 19+3. 已知x 、y ∈R =1,求x +y 的最小值. x y
19+⎛1+9=y 9x 10≥解:已知x 、y ∈R ,且+=1,有x +y =(x+y)·⎝x y x y x y
y 9x 即x =4,y =12时,取“=”.∴ x+y 的最小值为16. x y
4. 已知x 2+y 2=1,求3x +4y 的最大值.
解:(换元法) 由x 2+y 2=1,可设x =cos α,y =sin α,
34则3x +4y =3cos α+4sin α=3+4cos (α-φ)≤5,其中cos sin φ=, 55
∴ (3x+4y) max =5. 5. 求函数y =3x -5+46-x 的最大值.
解:函数的定义域为[5,6],且y>0, y =3×x -5+46-x
≤3+4×(x -5)26-x )2=5,
y max =5.
6. 已知a 、b 、c 为正数,且满足acos 2θ+bsin 2θ
11
证明:由柯西不等式可得acos 2θ+bsin 2θ≤[(acos θ) 2+(b ·sin θ) 2]2(cos2θ+sin 2θ) 2=(acos
2
1
θ+bsin θ) 2
17. 已知x 、y 均为正数,且x>y,求证:2x +≥2y +3. x -2xy +y 证明:∵ x>0,y>0,x -y>0,∴ 2x +11=(x-y) +(x-y) +-2y =2(x-y) +x -2xy +y (x -y )第1页(共3页) 山东世纪金榜科教文化股份有限公司
3111(x -y )2≥2y +3. ≥3=3,∴ 2x (x -y )(x -y )x -2xy +y a 2b 2
8. 已知a 、b 都是正实数,且a +b =2,求证:+1. a +1b +1
a 2b 2
证明:(证法1) +-1 a +1b +1
a 2(b +1)+b 2(a +1)-(a +1)(b +1)= (a +1)(b +1)
a 2b +ab 2+a 2+b 2-ab -a -b -1= (a +1)(b +1)1-ab a 2b 2
∵ a +b =2,∴ +1=. a +1b +1(a +1)(b +1)
(a +b )2
∵ a 、b 都是正实数,∴ ab ≤1, 4
a 2b 2a 2b 2
∴ -1≥0,即+1. a +1b +1a +1b +1
(证法2) 由柯西不等式,得 ⎛a +b ⎫[(a +1) 2+(b +1) 2]≥(a+b) 2. ⎝a +1b +1⎭a b a b ∵ a +b =2,∴ 上式即为⎛a +1b +1⎫×4≥4,即1. ⎝⎭a +1b +1
a +1b +1a +1b +1a 2b 2a 2b 2
(证法3) ∵ a、b 都是正实数,∴ ≥a ≥b. 两式相加,得+4444a +1b +1a +1b +1
a 2b 2
≥a +b. ∵ a+b =2,∴ +1. a +1b +1
49. 已知实数a 、b 、c 满足a>b>c,且有a +b +c =1,a 2+b 2+c 2=1. 求证:1
(a +b )2-(a 2+b 2)2证明:∵ a+b =1-c ,ab ==c -c ,∴ a 、b 是方程x 2-(1-c)x +c 2-c =0的2
1两个不等实根,则Δ=(1-c) 2-4(c2-c)>0,得-,而(c-a)(c-b) =c 2-(a+b)c +ab>0,即c 2-(1-3
214c)c +c 2-c>0,得c(舍) ,∴ -10. 已知实数x 、y 、z 满足x 3+y 3=2,用反证法证明不等式:x +y ≤2.
证明:假设x +y >2,那么y >2-x. ∵ 函数y =x 3在R 上单调递增,∴ y 3>(2-x) 3,即y 3>8-12x +6x 2-x 3,从而x 3+y 3>6x 2-12x +8=6(x-1) 2+2≥2,这与已知条件x 3+y 3=2矛盾,∴ 假设不成立,∴ 原不等式成立.
11119 11. 用数学归纳法证明不等式:++>(n∈N ,且n ≥2) . 3n 10n +1n +2n +3
111157549证明: ① 当n =2++=> 当n =2时,不等式成立; 3456606010
第2页(共3页) 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 222222
111911② 假设当n =k(k≥2) 不等式成立,即+„>,∴ 当n =k +1时,左边=3k 10k +1k +2k +2k +3
+„+[1**********]19+++=⎛k +1k +2+k +3+„+3k ⎫+++->+3k 3k +13k +23k +3⎝⎭3k +13k +23k +3k +110
111129119+-+-⎫+() > 当n =k +1时不等式也成立. 3k +13k +23k +310⎝3k +13k +3⎭3k +23k +310
根据①②可知对n ∈N *,且n ≥2,不等式都成立.
第3页(共3页) 山东世纪金榜科教文化股份有限公司