时间复杂度概念

一、概念

时间复杂度是总运算次数表达式中受n 的变化影响最大的那一项(不含系数) 比如：一般总运算次数表达式类似于这样： a*2^n+b*n^3+c*n^2+d*n*lg(n)+e*n+f a ！ =0时，时间复杂度就是O(2^n); a=0,b0 =>O(n^3);

a,b=0,c0 =>O(n^2)依此类推 eg:

(1) for(i=1;i

(2) for(i=1;i

(3) for(i=1;i

while(i

n-1≈n 次，所以是O(n) (5) for(i=1;i

for(j=1;j

循环了(1^2+2^2+3^2+...+n^2)=n(n+1)(2n+1)/6(这个公式要记住哦) ≈(n^3)/3，不考虑系数，自然是O(n^3)

另外，在时间复杂度中，log(2,n)(以2为底) 与lg(n)(以10为底) 是等价的，因为对数换底公式：

log(a,b)=log(c,b)/log(c,a)

所以，log(2,n)=log(2,10)*lg(n),忽略掉系数，二者当然是等价的

二、计算方法

1. 一个算法执行所耗费的时间，从理论上是不能算出来的，必须上机运行测试才能知道。但我们不可能也没有必要对每个算法都上机测试，只需知道哪个算法花

费的时间多，哪个算法花费的时间少就可以了。并且一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比例，哪个算法中语句执行次数多，它花费时间就多。 一个算法中的语句执行次数称为语句频度或时间频度。记为T(n)。

2. 一般情况下，算法的基本操作重复执行的次数是模块n 的某一个函数f （n ），因此，算法的时间复杂度记做：T （n ）=O（f （n ））。随着模块n 的增大，算法执行的时间的增长率和f （n ）的增长率成正比，所以f （n ）越小，算法的时间复杂度越低，算法的效率越高。

在计算时间复杂度的时候，先找出算法的基本操作，然后根据相应的各语句确定它的执行次数，再找出T （n ）的同数量级（它的同数量级有以下：1，Log2n ，n ，nLog2n ，n 的平方，n 的三次方，2的n 次方，n ！），找出后，f （n ）=该数量级，若T(n)/f(n)求极限可得到一常数c ，则时间复杂度T （n ）=O（f （n ））。 3. 常见的时间复杂度

按数量级递增排列，常见的时间复杂度有：

常数阶O(1), 对数阶O(log2n), 线性阶O(n), 线性对数阶O(nlog2n), 平方阶O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k), 指数阶O(2^n) 。 其中，

1.O(n)，O(n^2)， 立方阶O(n^3),...， k次方阶O(n^k) 为多项式阶时间复杂度，分别称为一阶时间复杂度，二阶时间复杂度。。。。 2.O(2^n)，指数阶时间复杂度，该种不实用

3. 对数阶O(log2n), 线性对数阶O(nlog2n)，除了常数阶以外，该种效率最高 例：算法：

for（i=1;i

for(j=1;j

c[ i ][ j ]=0; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^2 for(k=1;k

c[ i ][ j ]+=a[ i ][ k ]*b[ k ][ j ]; //该步骤属于基本操作 执行次数：n^3 } }

则有 T（n ）= n^2+n^3，根据上面括号里的同数量级，我们可以确定 n^3为T （n ）的同数量级

则有f （n ）= n^3，然后根据T （n ）/f（n ）求极限可得到常数c 则该算法的 时间复杂度：T （n ）=O（n^3)

四、定义：如果一个问题的规模是n ，解这一问题的某一算法所需要的时间为T(n)，它是n 的某一函数 T(n)称为这一算法的“时间复杂性”。

当输入量n 逐渐加大时，时间复杂性的极限情形称为算法的“渐近时间复杂性”。

我们常用大O 表示法表示时间复杂性，注意它是某一个算法的时间复杂性。大O 表示只是说有上界，由定义如果f(n)=O(n)，那显然成立f(n)=O(n^2)，它给你一个上界，但并不是上确界，但人们在表示的时候一般都习惯表示前者。

此外，一个问题本身也有它的复杂性，如果某个算法的复杂性到达了这个问题复杂性的下界，那就称这样的算法是最佳算法。

“大O 记法”：在这种描述中使用的基本参数是 n，即问题实例的规模，把复杂性或运行时间表达为n 的函数。这里的“O ”表示量级 (order)，比如说“二分检索是 O(logn)的”, 也就是说它需要“通过logn 量级的步骤去检索一个规模为n 的数组”记法 O ( f(n) )表示当 n增大时，运行时间至多将以正比于 f(n)的速度增长。

这种渐进估计对算法的理论分析和大致比较是非常有价值的，但在实践中细节也可能造成差异。例如，一个低附加代价的O(n2)算法在n 较小的情况下可能比一个高附加代价的 O(nlogn)算法运行得更快。当然，随着n 足够大以后，具有较慢上升函数的算法必然工作得更快。 O(1)

Temp=i;i=j;j=temp;

以上三条单个语句的频度均为1，该程序段的执行时间是一个与问题规模n 无关的常数。算法的时间复杂度为常数阶，记作T(n)=O(1)。如果算法的执行时间不随着问题规模n 的增加而增长，即使算法中有上千条语句，其执行时间也不过是一个较大的常数。此类算法的时间复杂度是O(1)。

O(n^2)

2.1. 交换i 和j 的内容

sum=0； （一次） for(i=1;i

sum++； （n^2次 ） 解：T(n)=2n^2+n+1 =O(n^2)

2.2.

for (i=1;i

y=y+1; ① for (j=0;j

x++; ② } 解： 语句1的频度是n-1

语句2的频度是(n-1)*(2n+1)=2n^2-n-1 f(n)=2n^2-n-1+(n-1)=2n^2-2

该程序的时间复杂度T(n)=O(n^2).

O(n)

2.3.

a=0;

b=1; for (i=1;i

s=a+b; ③ b=a; ④ a=s; ⑤ }

解：语句1的频度：2,

语句2的频度： n, 语句3的频度： n-1, 语句4的频度：n-1, 语句5的频度：

n-1,

T(n)=2+n+3(n-1)=4n-1=O(n).

O(log2n ) 2.4.

i=1; ① while (i

设语句2的频度是f(n), 则：2^f(n)

①

取最大值f(n)= log2n, T(n)=O(log2n )

O(n^3) 2.5.

for(i=0;i

for(j=0;j

for(k=0;k

我们还应该区分算法的最坏情况的行为和期望行为。如快速排序的最 坏情况运行时间是 O(n^2)，但期望时间是 O(nlogn)。通过每次都仔细 地选择基准值，我们有可能把平方情况 (即O(n^2)情况) 的概率减小到几乎等于 0。在实际中，精心实现的快速排序一般都能以 (O(nlogn)时间运行。 下面是一些常用的记法：

访问数组中的元素是常数时间操作，或说O(1)操作。一个算法如 果能在每个步骤去掉一半数据元素，如二分检索，通常它就取 O(logn)时间。用strcmp 比较两个具有n 个字符的串需要O(n)时间。常规的矩阵乘算法是O(n^3)，因为算出每个元素都需要将n 对 元素相乘并加到一起，所有元素的个数是n^2。

指数时间算法通常来源于需要求出所有可能结果。例如，n 个元 素的集合共有2n 个子集, 所以要求出所有子集的算法将是O(2n)的。指数算法一般说来是太复杂了，除非n 的值非常小，因为，在 这个问题中增加一个元素就导致运行时间加倍。不幸的是，确实有许多问题 (如著名的“巡回售货员问题” )，到目前为止找到的算法都是指数的。如果我们真的遇到这种情况，通常应该用寻找近似最佳结果的算法替代之。