二元函数中值定理的简单应用

目 录

一、引言 …………………………………………………………………1 二、主要定理的证明、应用 ……………………………………………1 2.1二元函数中值定理的第一种形式 …………………………………1 2.11定理及推论的证明………………………………………………1 2.12定理及推论的应用………………………………………………2 2.2二元函数中值定理的第二种形式 …………………………………5 2.21定理及推论的证明………………………………………………5 2.22定理及推论的应用………………………………………………5 2.3二元函数中值定理的不等式形式…………………………………6 2.31定理及推论的证明………………………………………………6 2.32定理及推论的应用………………………………………………8 三、结论 …………………………………………………………………9 四、参考文献 ……………………………………………………………9 五、致谢 …………………………………………………………………9

数学科学学院本科学年论文 二元函数中值定理的简单应用

二元函数中值定理的简单应用

内容摘要

给出了二元函数中值定理的三种不同形式：含一个参变量型、含两个参变量型和不等式型. 在每一种形式下我们都给出主要定理的证明，充分了解定理的生成以及内容. 此外，在就给出的定理的各种形式以及他们的推论加以推广、运用，得到许多在多元函数中得到广泛运用的重要定理.

关键词：二元函数 中值定理

一、引言

我们知道，一元函数的中值定理是数学分析中的一个重要定理，他深刻的揭示了函数在某些区间上的增量与函数在该区间内某点处的导数及区间的长度之间的关系，是利用导数研究函数性质的基础，本文将中值定理推广到二元函数（多元函数的代表），并利用最基本的公式、定理证明一些重要的结论和定理.

二、主要定理的证明、应用

2.1二元函数中值定理的第一种形式

2.11定理及推论的证明

定理1 若二元函数f (x , y ) 在点p 0(x 0, y 0) 的邻域G 存在两个偏导数，则

∀(x 0+∆x , y 0+∆y ) ∈G ，全改变量

∆z =f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0)

=f ' x (x 0+θ1∆x , y 0+∆y ) ∆x +f ' y (x 0, y 0+θ2∆y ) ∆y 其中0

显然，若点(x 0+∆x , y 0+∆y ) ∈G ，则点(x 0, y 0+∆y ) 与(x 0+∆x , y 0) ∈G ，且连接两点

(x 0+∆x , y 0+∆y ) 与(x 0, y 0+∆y ) 或(x 0+∆x , y 0+∆y ) 与(x 0+∆x , y 0) 的线段也属于

G ，如图1, 为此，将全改变量∆z 改写为如下形式：

∆z =f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0)

=[f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0+∆y )]+[f (x 0, y 0+∆y ) -f (x 0, y 0)] 上述等式右端第一个方括号内，y =y 0+∆y 是常数，只是x 由x 0变到x 0+∆x ；第二个方括号内x =x 0是常数，只是y 由y 0变到y 0+∆y . 根据一元函数中值定理，有

∆z =f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0)

=f ' x (x 0+θ1∆x , y 0+∆y ) ∆x +f ' y (x 0, y 0+θ2∆y ) ∆y 其中0

定理2 若二元函数f (x , y ) 在点p 0(x 0, y 0) 的邻域G 存在两个偏导数，且两个偏 数在点p 0(x 0, y 0) 连续，则二元函数f (x , y ) 在点p 0(x 0, y 0) 可微. 证明：（利用二元函数中值定理）

∀(x 0+∆x , y 0+∆y ) ∈G ，根据定理，将全改变量∆z 写为：

∆z =f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0)

=f ' x (x 0+θ1∆x , y 0+∆y ) ∆x +f ' y (x 0, y 0+θ2∆y ) ∆y 其中0

f ' x (x 0+θ1∆x , y 0+∆y ) =f ' x (x 0, y 0) +α. lim α=0

ρ→0

f ' y (x 0, y 0+θ2∆y ) =f ' y (x 0, y 0) +β lim β=0

ρ→0

从而有

∆z =f ' x (x 0, y 0) ∆x +f ' x (x 0, y 0) ∆y +α∆x +β∆y .

∆x ∆y α∆x +β∆y

≤+β

ρρρ

2

≤+β→0 (ρ→0)

或 α∆x +β∆y =o (ρ) 于是， ∆z =f (x 0+∆x , y 0+∆y ) -f (x 0, y 0)

=f ' x (x 0, y 0) ∆x +f ' x (x 0, y 0) ∆y +o (ρ) 即函数f (x , y ) 在点p 0(x 0, y 0) 可微.

注：偏导数连续是二元函数可微的充分条件，而不是必要条件.

定理3 若二元函数z =F (x , y ) 在以点(x 0, y 0) 为中心的矩形区域D （边界平行坐标轴）满足下列条件：

1) F ' x (x , y ) 与F ' y (x , y ) 在D 连续（从而F (x , y ) 在D 连续）； 2) F (x 0, y 0) =0； 3) F ' y (x , y ) ≠0. 则：

1) ∃δ>0与β>0，∀x ∈∆=(x 0-δ, x 0+δ) 存在唯一一个y =f (x ) （隐函数）

使F [x , f (x )]≡0，f (x 0) =y 0，且y 0-β

F x ' (x , y ) 3) y =f (x ) 在区间∆有连续导数，且f ' (x ) =-' .

F y (x , y )

证明：

1) 的证明未涉及到本文提到的二元函数中值定理，故略之，直接用其结论.

2) 隐函数y =f (x ) 在区间∆连续，只需证明，∀x ∈∆，函数y =f (x ) 在x 连续， 已知F ' x (x , y ) 与F ' y (x , y ) 闭区间G (x 0-α≤x ≤x 0+α; y 0-β≤y ≤y 0+β) 连续. 且

F ' y (x , y ) >0. 则F ' x (x , y ) 在G 有上界，F ' y (x , y ) 在G 有下界. 即∃M >0与m >0，

∀(x , y ) ∈G ，有

F ' x (x , y ) ≤M 与F ' y (x , y ) ≥m

给自变量x 该变量∆x ，使x +∆x ∈∆，相应的有函数y =f (x ) 的该变量∆y ，即

3

∆y =f (x +∆x ) -f (x ) 或y +∆y =f (x +∆x ) 且 y +∆y ∈(y 0-β, y 0+β) ， 已知 F (x , y ) =0与F (x +∆x , y +∆x ) =0.

0=F (x +∆x , y +∆x ) -F (x , y ).

=F (x +∆x , y +∆x ) -F (x , y +∆y ) +f (x , y +∆y ) -F (x , y ).

根据二元函数中值定理，有，

0=F ' x (x +θ1∆x , y +∆y ) ∆x +F ' y (x , y +θ2∆y ) ∆y . （1） 其中0

F ' x (x +θ1∆x , y 0+∆y )

∆x

F ' y (x , y +θ2∆y )

有 ∆y =f (x +∆x ) -f (x )

=-

F ' x (x +θ1∆x , y +∆y ) M

∆x ≤∆x .

F ' y (x , y +θ2∆y ) m

于是lim ∆y =lim [f (x +∆x ) -f (x )]=0.

∆x →0

∆x →0

即隐函数y =f (x ) 在x 连续，从而在∆连续.

3) 隐函数y =f (x ) 在区间∆有连续导数，∀x ∈∆，由（1）式，有

F ' (x +θ1∆x , y +∆y ) ∆y

=-x

F ' y (x , y +θ2∆y ) ∆x

其中0

已知y =f (x ) 在x 连续，从而当∆x →0时，有∆y →0，又可知F ' x (x , y ) 与F ' y (x , y ) 在

D 连续，有

f ' (x ) =lim

∆x →0

F ' x (x +θ1∆x , y 0+∆y ) F ' x (x , y ) ∆y

=-(F ' y (x , y ) ≠0) =-lim

∆x →0∆y →0F ' (x , y +θ∆y ) F ' (x , y ) ∆x y 2y

即隐函数y =f (x ) 在区间∆有连续导数，且

4

F x ' (x , y )

f ' (x ) =-'

F y (x , y )

注：为使层次分明，定理2的结论分为三部分，实际上，这三部分可以合并，叙述以下更加简明的形式

“则存在点x 0的邻域∆，在∆存在唯一一个有连续导数的隐函数y =f (x ) ，使

F x ' (x , y )

. F [x , f (x )]≡0，f (x 0) =y 0，且f ' (x ) =-'

F y (x , y )

2.2二元函数中值定理的第二种形式

2.21定理及推论的证明

定理4 设二元函数f 在凸区域D ⊂R 上连续，在D 所有的内点都可微，则对D 内任意两点P (a , b ), Q (a +h , b +k ) ∈D , 存在某θ(0

2

=f ' x (a +θh , b +θk ) h +f ' y (a +θh , b +θk ) k . （2）

证明：令 ϕ(t ) =f (a +th , b +tk ).

它是定义在[0, 1]上的一元函数，由定理中的条件知ϕ(t ) 在[0, 1]上连续，在[0, 1]可微，于是根据一元函数中值定理，存在θ(0

ϕ(1) -ϕ(0) =ϕ' (θ) （3） 由复合函数的求导法则，

ϕ' (θ) =f ' x (a +θh , b +θk ) h +f ' y (a +θh , b +θk ) k （4） 由于D 是凸区域，所以(a +θh , b +θk ) ∈D . 故由（3）、（4）即得所要证的（2）式. 2.22 定理及推论的应用 定理5（中值定理的推论）

若二元函数二元函数f (x , y ) 在凸区域D 上存在偏导数，且

f ' x (x , y ) =f ' y (x , y ) =0，则f (x , y ) 在区域D 上是常函数.

证明：∀(x 0, y 0), (x , y ) ∈D , 因为D 是区域⇒存在一条完全属于D 的折线将

(x 0, y 0), (x , y ) 连接，不妨设这折线的转接点依次是：

5

(x 0, y 0), (x 1, y 1), (x 2, y 2) ⋅⋅⋅(x k -1, y k -1), (x , y ). （记x k =x , y k =y ）

不失一般性，可以使这些点适当的接近，从而使折线段 (x i , y i ) →(x i +1, y i +1) i =0, 1⋅⋅⋅k -1

也全部在区域D 内，因为f (x , y ) 在区域内存在偏导数，且f ' x (x , y ) =f ' y (x , y ) =0故利用中值定理

f (x 1, y 1) -f (x 0, y 0) =f ' x [x 0+θ(x 1-x 0), y 0+θ(y 1-y 0)](x 1-x 0)

其中0

+f ' y [x 0+θ(x 1-x 0), y 0+θ(y 1-y 0)](y 1-y 0)

=0

从而有 f (x 1, y 1) =f (x 0, y 0) 同理推得,

f (x 0, y 0) =f (x 1, y 1) =f (x 2, y 2) =⋅⋅⋅=f (x k -1, y k -1) =f (x , y ). 将(x 0, y 0) 点确定(x , y ) 在D 中随意选取上式均成立，由此得证结论成立. 例1 通过对F (x , y ) =sin x cos y 施用中值定理，证明对某θ∈(0, 1) 有

3ππθπθππθπθ

=cos cos -sin sin

4336636

2

解：二元函数F (x , y ) =sin x cos y 在R 上连续且可微，由中值定理知，对D 内两点

(a , b ) =(0, 0) 及(a +h , b +k ) =(, ). ∃θ∈(0, 1) ，

36

有 F (a +h , b +k ) -F (a , b ) =F ' x (a +θh , b +θk ) h +F ' y (a +θh , b +θk ) k .

ππ

ππππθπθππθπθ

-sin sin ⇒ F (, ) -F (0, 0) =cos cos

363366363ππθπθππθπθ

即， =cos cos -sin sin .

4336636

2.3二元函数中值定理的不等式形式

2.31定理推论的证明

定理6 设二元函数f (x , y ) 在凸区域D ∈R 内任取一点，沿任意方向的方向导致有界，即存在m , n 使得m ≤ m ≤

2

∂f

存在一 ∂l

∂f

≤n , 则对D 内任意两点P (a , b ), Q (a +h , b +k ) 有 ∂l

f (Q ) -f (P )

≤n , 其中ρ(P , Q ) =h 2+k 2 （5）

ρ(P , Q )

6

为证这个定理，先叙述一个引理.

引理 设二元函数f (x , y ) 在凸区域D 的内点P 0(a , b ) 沿方向L 的方向导数存在，f (x , y ) 在点P 0沿方向L 连续.

证明:设P (x , y ) 为L 上的点（含于D 内），则由f (P ) -f (P 0) =令ρ(P , Q ) →0便得结论. 定理的证明：

+

f (Q ) -f (P )

ρ(P , Q ),

ρ(P , Q )

P 1Q 0

Q 1

对任意m ' , n ' , m '

f (Q ) -f (P )

≤n ' （6）

ρ(P , Q )

然后在（6）式取极限 m ' →m , n ' →n . （先固定P , Q ）便可得（1）.

用反证法（6）式，假设存在D 内点P , Q 使

f (Q ) -f (P )

>n ' （7）

ρ(P , Q )

则f (Q 1) >n ' ρ(P 1, Q 1) +f (P 1). 把线段P 1Q 1上各点按到点P 1Q 1 1的距离大小排列，线段P 上任意两点t 1, t 2，当t 1到P 1的距离小于t 2到P 1的距离时，就记为t 1

Q 0=inf{Q |f (t ) >n ' ρ(t , p 1) +f (P 1) =g (t ), Q

由引理，f (x , y ) 沿方向P 1Q 1连续，故有P 1≤Q 0

对Q 0≤Q

f (Q ) -f (Q 0) n ' ρ(Q , P 1) +f (P 1) -

[n ' ρ(Q 0, P 1) +f (P 1)]

>=n '.

ρ(Q 0, Q ) ρ(Q 0, Q )

⇒f 在Q 0沿P 1Q 1方向导数

∂f

≥n ' >n 矛盾. ∂l

7

所以，

f (Q ) -f (P )

≤n ' 类似可证（6）式左边，从而(5)式成立.

ρ(P , Q )

推论 设二元函数f (x , y ) 在凸区域D 的内任意一点沿任意方向的方向导数致有界，即存在M >0, 使|

∂f

存在且一 ∂l

∂f

|≤M . 则对D 任意两内点P , Q 有, ∂l

|f (P ) -f (Q ) |≤M ⋅ρ(P , Q ) 2.32定理及推论的应用 定理7（连续性充分条件）

若二元函数f (x , y ) 在点P 0的某邻域U (P 0) 内的点沿任意方向的方向导数一致有 界，则f (x , y ) 在U (P 0) 内连续.

证明：对P , Q ∈U (P 0) ，有推论∃M >0, 使 |f (P ) -f (Q ) |≤M ⋅ρ(P , Q )

∀ε>0. 取δ=

ε

M

, 当ρ(P , Q )

所以，f (x , y ) 在点P 0的邻域U (P 0) 连续.

定理8 设二元函数f (x , y ) 在凸区域D 内任意一点沿任意方向的方向导数存在且一致有 界，则f (x , y ) 在D 内一致连续. 证明：设在D 内任意一点|

∂f ε|≤M （M 为正常数）则∀ε>0, 取δ=, ∀P , Q ∈D . 只要 ∂l M

ρ(P , Q )

便有 |f (P ) -f (Q ) |≤M ⋅ρ(P , Q )

ε

M

=ε

8

结论

通过本文，我们了解了二元函数中值定理的三种不同形式：含θ1、θ2两个参变量、含θ一个参变量以及不等式形式. 二元函数作为一元函数向多元函数的过渡，在我们学习了一元函数中值定理之并领略其重要作用后，利用二元函数作为多元代表，进一步去研究中值定理在多元函数中的作用. 在本文中，我们粗略的给出定理的应用，但是已经能够窥知中值定理，这一伟大的定理在研究多元函数起着举足轻重的作用.

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