体积与表面积
【同步教育信息】
一. 本周教学内容:
专题讲座(1)——体积与表面积
空间想象力是小学生应该具备的一种重要的数学能力,而立体图形的学习对培养这种能力是十分有效的。小学阶段学习的立体图形有长方体、正方体、圆柱体和圆锥体。本学期同学们虽然在课本上学过了长方体和正方体,但有关这方面的知识还需要深化,空间想象能力还需要提高。这一讲主要向同学们介绍怎样解答较复杂的长方体、正方体的体积与表面积。
【典型例题】
例1. 一种长方体木块,长5 cm,宽3 cm,高2 cm,用3个这样的长方体木块拼成一个表面积最大的长方体,这个长方体的表面积是多少平方厘米?
解析:首先要知道把3个这样的木块怎样拼表面积才能最大,这里同学们动手拼一拼,结论可以一目了然。要想拼出表面积最大的长方体,必须使拼接部分的面积最小,因此用宽×高的面拼接。拼接后的长方体的表面积比原来的3个长方体表面积减少了4个宽×高的面积,所以得到的长方体表面积最大是:
答:这个长方体的表面积最大是
。
想一想:
用3个这样的长方体木块拼成一个表面积最小的长方体,如何拼接?这个长方体的表面积是多少平方厘米?
解析:首先同学们动手拼一拼,要想拼出表面积最小的长方体,必须使拼接部分的面积最大,因此用长×宽的面拼接。拼接后的长方体比原来的3个长方体表面积减少了4个长×宽的面积,所以得到的长方体的表面积最小是:
例2. 用3条丝带捆扎一个礼盒,第一条丝带长235cm,第二条丝带长445cm,第三条丝带长515cm,每条丝带的接头处的长度均为5cm,求礼盒的体积。(如图)
解析:从图中可以看出,在捆扎礼盒的丝带中最长的一根去掉接头的5cm,剩余部分的长度等于长方体长与宽和的2倍,从而可以得出:
长+宽=(515-5)÷2=255(cm),同样可以得出: 长+高=(445-5)÷2=220(cm)
宽+高=(235-5)÷2=115(cm)
长+宽+高=(255+220+115)÷2=295(cm) 长:295-115=180(cm) 宽:295-220=75(cm) 高:295-255=40(cm) 礼盒体积:
答:这个礼盒的体积是540立方分米。
例3. 现在有空的长方体容器A和水深24cm的长方体容器B,要将容器B中的水倒一部分给A,使两容器内水的高度相同,这时水的高度是多少厘米?
解析:可以这样想:
容器A的底面积为40×30=1200(
)
容器B的底面积为30×20=600()
容器A的底面积是容器B的2倍:1200÷600=2
将容器B的水倒给A,容器A的水每上升1cm,容器B的水就要下降2厘米,当两个容器内水的高度相同时,容器B水的高度是:
也可以这样想:
把A、B两个容器拼在一起,形成一个底面长是40+20=60(cm)
宽是30cm的一个大容器,它的底面积是60×30=1800()
把容器B的水全部倒入到这个大容器中,大容器中水的高度是所求水面的高度: 24×30×20÷1800=8(cm) 答:这时水的高度是8厘米。 此题还可以用方程解答。
例4. 现有一张长50cm,宽40cm的长方形纸板,用它做一个深10cm的无盖长方体纸盒,(可以粘接,纸板厚度不计)请你设计一个方案,使得盒子的容积尽可能大一些。 解析:可以这样想:
方案1:从四角上各剪去一个10cm的正方形,如图:
纸盒长: 宽:
高:10cm 纸盒容积: 方案2:
纸盒长是40cm 宽是
高是10cm 纸盒的容积是: 方案3:
纸盒长: 宽:
高:10cm
纸盒的容积:
显然方案2和3符合题目要求。
【模拟试题】(答题时间:15分钟)
1. 一种长方体木块,长6cm,宽5cm,高2cm,用3块这样的长方体木块拼成一个大长方体,这个大长方体的表面积最大是多少平方厘米?最小是多少平方厘米?
2. 一个体积是160立方厘米的长方体中两个侧面的面积分别是20平方厘米、32平方厘米,(如图)求这个长方体的底面面积是多少平方厘米?(即图中阴影部分的面积)
3. 从一个长方体上截下一个体积是32立方厘米的小长方体后,剩下部分正好是一个棱长4cm的正方体,原来这个长方体的表面积是多少平方厘米? 4. 有若干个同样大小的正方体,将它们摞成一个长方体,这个长方体的底面就是原正方体的底面。如果这个长方体的表面积是
,当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后,
,那么这些小正方体有多少个?
新的长方体的表面积比原来长方体的表面积减少
【试题答案】
1. 一种长方体木块,长6cm,宽5cm,高2cm,用3块这样的长方体木块拼成一个大长方体,这个大长方体的表面积最大是多少平方厘米?最小是多少平方厘米? 表面积最大是:
表面积最小是:
答:这个大长方体的表面积最大是272平方厘米,最小是192平方厘米。 2. 一个体积是160立方厘米的长方体中两个侧面的面积分别是20平方厘米、32平方厘米,(如图)求这个长方体的底面面积是多少平方厘米?(即图中阴影部分的面积)
解:长方体的长为:160÷20=8(cm) 宽为:160÷32=5(cm)
底面面积为:5×8=40()
答:这个长方体的底面面积是40平方厘米。
3. 从一个长方体上截下一个体积是32立方厘米的小长方体后,剩下部分正好是一个棱长4cm的正方体,原来这个长方体的表面积是多少平方厘米? 解:原来长方体的高:
长和宽都是4cm
它的表面积: 答:原来这个长方体的表面积是128平方厘米。 4. 有若干个同样大小的正方体,将它们摞成一个长方体,这个长方体的底面就是原正方体的底面。如果这个长方体的表面积是
,当从这个长方体的顶部拿去一个正方体后,
新的长方体的表面积比原来长方体的表面积减少,那么这些小正方体有多少个? 解:表面积减少的144cm2正是一个小正方体的四个侧面的面积,所以每个小正方形的面积是:144÷4=36(cm2) 共有小正方体:
答:这些小正方体有21个。
(个)
【励志故事】
当机立断
电脑名人王安博士声称,影响他一生的最大教训发生在他6岁时。
有一天,王安走在树下,突然有个鸟巢掉在他的头上,从里面滚出来一只小麻雀。他很喜欢它,于是连同鸟巢一起带回了家。他走到门口,忽然想起妈妈不允许他在家里养小动物。他只好轻轻地把小麻雀放到门后,然后急步走进屋内,请求妈妈的允许。
在他的哀求下,妈妈破例答应了他的请求。王安兴奋地跑到门后,不料,小麻雀已经不见了,一只黑猫正意犹未尽地擦拭着嘴巴。
从这件事,王安得到了一个很大的教训。只要自己认为对的事情,不可优柔寡断,必须马上付诸行动。不能作决定的人,固然没有做错事的机会,但也失去了成功的可能。