MATLAB各种概率分布画图

4.6 统计作图

4.6.1 正整数的频率表 命令 正整数的频率表 函数 tabulate

格式 table = tabulate(X) %X为正整数构成的向量，返回3列：第1列中包含X的值第2列为这些值的个数，第3列为这些值的频率。 例4-49

>> A=[1 2 2 5 6 3 8] A =

1 2 2 5 6 3 8 >> tabulate(A)

Value Count Percent 1 1 14.29% 2 2 28.57% 3 1 14.29% 4 0 0.00% 5 1 14.29% 6 1 14.29% 7 0 0.00% 8 1 14.29%

4.6.2 经验累积分布函数图形 函数 cdfplot

格式 cdfplot(X) %作样本X（向量）的累积分布函数图形 h = cdfplot(X) %h表示曲线的环柄

[h,stats] = cdfplot(X) %stats表示样本的一些特征 例4-50

>> X=normrnd (0,1,50,1); >> [h,stats]=cdfplot(X) h = 3.0013 stats =

min: -1.8740 %样本最小值 max: 1.6924 %最大值 mean: 0.0565 %平均值 median: 0.1032 %中间值 std: 0.7559 %样本标准差

图 4-10

4.6.3 最小二乘拟合直线 函数 lsline

格式 lsline %最小二乘拟合直线 h = lsline %h为直线的句柄 例4-51

>> X = [2 3.4 5.6 8 11 12.3 13.8 16 18.8 19.9]'; >> plot(X,'+') >> lsline

4.6.4 绘制正态分布概率图形 函数 normplot

格式 normplot(X) %若X为向量，则显示正态分布概率图形，若X为矩阵，则显示每一列的正态分布概率图形。

h = normplot(X) %返回绘图直线的句柄

说明 样本数据在图中用“+”显示；如果数据来自正态分布，则图形显示为直线，而其它分布可能在图中产生弯曲。 例4-53

>> X=normrnd(0,1,50,1); >> normplot(X)

图4-12

4.6.5 绘制威布尔(Weibull)概率图形 函数 weibplot

格式 weibplot(X) %若X为向量，则显示威布尔(Weibull)概率图形，若X为矩阵，则显示每一列的威布尔概率图形。

h = weibplot(X) %返回绘图直线的柄

说明绘制威布尔(Weibull)概率图形的目的是用图解法估计来自威布尔分布的数据X，如果X是威布尔分布数据，其图形是直线的，否则图形中可能产生弯曲。 例4-54

>> r = weibrnd(1.2,1.5,50,1); >> weibplot(r)

图4-13

4.6.6 样本数据的盒图 函数 boxplot

格式 boxplot(X) %产生矩阵X的每一列的盒图和“须”图，“须”是从盒的尾部延伸出来，并表示盒外数据长度的线，如果“须”的外面没有数据，则在“须”的底部有一个点。 boxplot(X,notch) %当notch=1时，产生一凹盒图，notch=0时产生一矩箱图。 boxplot(X,notch,'sym') %sym表示图形符号，默认值为“+”。

boxplot(X,notch,'sym',vert) %当vert=0时，生成水平盒图，vert=1时，生成竖直盒图（默认值vert=1）。

boxplot(X,notch,'sym',vert,whis) %whis定义“须”图的长度，默认值为1.5，若whis=0则boxplot函数通过绘制sym符号图来显示盒外的所有数据值。 例4-55

>>x1 = normrnd(5,1,100,1); >>x2 = normrnd(6,1,100,1); >>x = [x1 x2];

>> boxplot(x,1,'g+',1,0)

图4-14

4.6.7 给当前图形加一条参考线 函数 refline

格式 refline(slope,intercept) % slope表示直线斜率，intercept表示截距 refline(slope) slope=[a b]，图中加一条直线：y=b+ax。 例4-56

>>y = [3.2 2.6 3.1 3.4 2.4 2.9 3.0 3.3 3.2 2.1 2.6]'; >>plot(y,'+') >>refline(0,3)

图4-15

4.6.8 在当前图形中加入一条多项式曲线 函数 refcurve

格式 h = refcurve(p) %在图中加入一条多项式曲线，h为曲线的环柄，p为多项式系数向量，p=[p1,p2, p3,…,pn]，其中p1为最高幂项系数。

例4-57 火箭的高度与时间图形，加入一条理论高度曲线，火箭初速为100m/秒。 >>h = [85 162 230 289 339 381 413 437 452 458 456 440 400 356]; >>plot(h,'+')

>>refcurve([-4.9 100 0])

图4-16

4.6.9 样本的概率图形 函数 capaplot

格式 p = capaplot(data,specs) �ta为所给样本数据，specs指定范围，p表示在指定范围内的概率。

说明 该函数返回来自于估计分布的随机变量落在指定范围内的概率 例

4-58

>> data=normrnd (0,1,30,1); >> p=capaplot(data,[-2,2]) p = 0.9199

图4-17

4.6.10 附加有正态密度曲线的直方图 函数 histfit

格式 histfit(data) �ta为向量，返回直方图 和正态曲线。

histfit(data,nbins) % nbins指定bar的个数， 缺省时为data中数据个数的平方根。 例4-59

>>r = normrnd (10,1,100,1); >>histfit(r)

4.6.11 在指定的界线之间画正态密度曲线 函数 normspec

格式 p = normspec(specs,mu,sigma) %specs指定界线，mu,sigma为正态分布的参数p 为样本落在上、下界之间的概率。 例4-60

>>normspec([10 Inf],11.5,1.25)

图4-19

4.7 参数估计

4.7.1 常见分布的参数估计

命令 β分布的参数a和b的最大似然估计值和置信区间 函数 betafit

格式 PHAT=betafit(X)

[PHAT,PCI]=betafit(X,ALPHA)

说明 PHAT为样本X的β分布的参数a和b的估计量

PCI为样本X的β分布参数a和b的置信区间，是一个2×2矩阵，其第1例为参数a的置信下界和上界，第2例为b的置信下界和上界，ALPHA为显著水平，（1-α）×100%为置信度。

例4-61 随机产生100个β分布数据，相应的分布参数真值为4和3。则4和3的最大似然估计值和置信度为99%的置信区间为： 解：

>>X = betarnd (4,3,100,1); %产生100个β分布的随机数

>>[PHAT,PCI] = betafit(X,0.01) %求置信度为99%的置信区间和参数a、b的估计值 结果显示 PHAT =

3.9010 2.6193 PCI =

2.5244 1.7488 5.2776 3.4898

说明 估计值3.9010的置信区间是[2.5244 5.2776]，估计值2.6193的置信区间是[1.7488 3.4898]。

命令 正态分布的参数估计 函数 normfit

格式 [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X) [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,alpha)

说明 muhat,sigmahat分别为正态分布的参数μ和σ的估计值，muci,sigmaci分别为置信区间，其置信度为；alpha给出显著水平α，缺省时默认为0.05，即置信度为95%。

例4-62 有两组(每组100个元素)正态随机数据，其均值为10，均方差为2，求95%的置信区间和参数估计值。

解：>>r = normrnd (10,2,100,2); %产生两列正态随机数据 >>[mu,sigma,muci,sigmaci] = normfit(r) 则结果为 mu =

10.1455 10.0527 %各列的均值的估计值 sigma =

1.9072 2.1256 %各列的均方差的估计值 muci =

9.7652 9.6288 10.5258 10.4766 sigmaci =

1.6745 1.8663

2.2155 2.4693

说明 muci，sigmaci中各列分别为原随机数据各列估计值的置信区间，置信度为95%。 例4-63 分别使用金球和铂球测定引力常数

（1）用金球测定观察值为：6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672 （2）用铂球测定观察值为：6.661 6.661 6.667 6.667 6.664

设测定值总体为，μ和σ为未知。对(1)、(2)两种情况分别求μ和σ的置信度为0.9的置信区间。

解：建立M文件：LX0833.m

X=[6.683 6.681 6.676 6.678 6.679 6.672]; Y=[6.661 6.661 6.667 6.667 6.664];

[mu,sigma,muci,sigmaci]=normfit(X,0.1) %金球测定的估计 [MU,SIGMA,MUCI,SIGMACI]=normfit(Y,0.1) %铂球测定的估计 运行后结果显示如下： mu = 6.6782 sigma = 0.0039 muci = 6.6750 6.6813 sigmaci = 0.0026 0.0081 MU = 6.6640 SIGMA = 0.0030 MUCI = 6.6611 6.6669 SIGMACI = 0.0019 0.0071

由上可知，金球测定的μ估计值为6.6782，置信区间为[6.6750，6.6813]； σ的估计值为0.0039，置信区间为[0.0026，0.0081]。

泊球测定的μ估计值为6.6640，置信区间为[6.6611，6.6669]； σ的估计值为0.0030，置信区间为[0.0019，0.0071]。 命令 利用mle函数进行参数估计 函数 mle

格式 phat=mle %返回用dist指定分布的最大似然估计值 [phat, pci]=mle %置信度为95%

[phat, pci]=mle %置信度由alpha确定

[phat, pci]=mle %仅用于二项分布，pl为试验次数。

说明 dist为分布函数名，如：beta(分布)、bino（二项分布）等，X为数据样本，alpha为显

著水平α，为置信度。 例4-64

>> X=binornd(20,0.75) %产生二项分布的随机数 X = 16

>> [p,pci]=mle('bino',X,0.05,20) %求概率的估计值和置信区间，置信度为95% p = 0.8000 pci = 0.5634 0.9427

常用分布的参数估计函数 表4-7 参数估计函数表 函数名 调 用 形 式

PHAT= binofit(X, N)

binofit [PHAT, PCI] = binofit(X,N)

[PHAT, PCI]= binofit (X, N, ALPHA)

Lambdahat=poissfit(X)

poissfit [Lambdahat, Lambdaci] = poissfit(X)

[Lambdahat, Lambdaci]= poissfit (X, ALPHA)

函 数 说 明

二项分布的概率的最大似然估计 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间 泊松分布的参数的最大似然估计 置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的λ参数和置信区间

正态分布的最大似然估计，置信度为

[muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X)

95%

normfit [muhat,sigmahat,muci,sigmaci] = normfit(X,

返回水平α的期望、方差值和置信区

ALPHA)

间

PHAT =betafit (X)

[PHAT, PCI]= betafit (X, ALPHA) [ahat,bhat] = unifit(X)

[ahat,bhat,ACI,BCI] = unifit(X)

[ahat,bhat,ACI,BCI]=unifit(X, ALPHA) muhat =expfit(X)

[muhat,muci] = expfit(X)

[muhat,muci] = expfit(X,alpha)

返回β分布参数a和 b的最大似然估计

返回最大似然估计值和水平α的置信区间

均匀分布参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间 指数分布参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计和置信区间 γ分布参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间 返回最大似然估计值和水平α的置信区间

韦伯分布参数的最大似然估计

置信度为95%的参数估计和置信区间 返回水平α的参数估计及其区间估计 分布函数名为dist的最大似然估计 置信度为95%的参数估计和置信区间

betafit

unifit

expfit

phat =gamfit(X)

gamfit [phat,pci] = gamfit(X)

[phat,pci] = gamfit(X,alpha) phat = weibfit(X)

weibfit [phat,pci] = weibfit(X)

[phat,pci] = weibfit(X,alpha) Mle

phat = mle('dist',data)

[phat,pci] = mle('dist',data)

[phat,pci] = mle('dist',data,alpha) [phat,pci] = mle('dist',data,alpha,p1)

返回水平α的最大似然估计值和置信区间

仅用于二项分布，pl为试验总次数

说明 各函数返回已给数据向量X的参数最大似然估计值和置信度为（1-α）×100%的置信区间。α的默认值为0.05，即置信度为95%。 4.7.2 非线性模型置信区间预测

命令 高斯—牛顿法的非线性最小二乘数据拟合 函数 nlinfit

格式 beta = nlinfit(X,y,FUN,beta0) %返回在FUN中描述的非线性函数的系数。FUN为用户提供形如的函数，该函数返回已给初始参数估计值β和自变量X的y的预测值。

[beta,r,J] = nlinfit(X,y,FUN,beta0) �ta为拟合系数，r为残差，J为Jacobi矩阵，beta0为初始预测值。

说明 若X为矩阵，则X的每一列为自变量的取值，y是一个相应的列向量。如果FUN中使用了@，则表示函数的柄。

例4-65 调用MATLAB提供的数据文件reaction.mat >>load reaction

>>betafit = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta) betafit = 1.2526 0.0628 0.0400 0.1124 1.1914

命令 非线性模型的参数估计的置信区间 函数 nlparci

格式 ci = nlparci(beta,r,J) %返回置信度为95%的置信区间，beta为非线性最小二乘法估计的参数值，r为残差，J为Jacobian矩阵。nlparci可以用nlinfit函数的输出作为其输入。 例4-66 调用MATLAB中的数据reaction。 >>load reaction

>>[beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,'hougen',beta) beta = 1.2526 0.0628 0.0400 0.1124 1.1914 resids = 0.1321 -0.1642 -0.0909 0.0310 0.1142 0.0498 -0.0262

0.3115 -0.0292 0.1096 0.0716 -0.1501 -0.3026 J =

6.8739 -90.6536 -57.8640 -1.9288 0.1614 3.4454 -48.5357 -13.6240 -1.7030 0.3034 5.3563 -41.2099 -26.3042 -10.5217 1.5095 1.6950 0.1091 0.0186 0.0279 1.7913 2.2967 -35.5658 -6.0537 -0.7567 0.2023 11.8670 -89.5655 -170.1745 -8.9566 0.4400 4.4973 -14.4262 -11.5409 -9.3770 2.5744 4.1831 -41.7896 -16.8937 -5.7794 1.0082 11.8286 -51.3721 -154.1164 -27.7410 1.5001 9.1514 -25.5948 -76.7844 -30.7138 2.5790 3.3373 0.0900 0.0720 0.1080 3.5269

9.3663 -102.0611 -107.4327 -3.5811 0.2200 4.7512 -24.4631 -16.3087 -10.3002 2.1141 >>ci = nlparci(beta,resids,J) ci =

-0.7467 3.2519 -0.0377 0.1632 -0.0312 0.1113 -0.0609 0.2857 -0.7381 3.1208

命令 非线性拟合和显示交互图形 函数 nlintool

格式 nlintool(x,y,FUN,beta0) %返回数据(x,y)的非线性曲线的预测图形，它用2条红色曲线预测全局置信区间。beta0为参数的初始预测值，置信度为95%。 nlintool(x,y,FUN,beta0,alpha) %置信度为(1-alpha)×100% 例4-67 调用MATLAB数据 >> load reaction

>> nlintool(reactants,rate,'hougen',beta)

图4-20

命令 非线性模型置信区间预测

函数 nlpredci

格式 ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) % ypred 为预测值，FUN与前面相同，beta为给出的适当参数，r为残差，J为Jacobian矩阵，inputs为非线性函数中的独立变量的矩阵值。

[ypred,delta] = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J) �lta为非线性最小二乘法估计的置信区间长度的一半，当r长度超过beta的长度并且J的列满秩时，置信区间的计算是有效的。

[ypred-delta,ypred+delta]为置信度为95%的不同步置信区间。

ypred = nlpredci(FUN,inputs,beta,r,J,alpha,'simopt','predopt') %控制置信区间的类型，置信度为100(1-alpha)%。'simopt' = 'on' 或'off' (默认值)分别表示同步或不同步置信区间。'predopt'='curve' (默认值) 表示输入函数值的置信区间， 'predopt'='observation' 表示新响应值的置信区间。nlpredci可以用nlinfit函数的输出作为其输入。

例4-68 续前例，在[100 300 80]处的预测函数值ypred和置信区间一半宽度delta >> load reaction

>> [beta,resids,J] = nlinfit(reactants,rate,@hougen,beta);

>> [ypred,delta] = nlpredci(@hougen,[100 300 80],beta,resids,J)

结果为：

ypred =

10.9113

delta =

0.3195

命令 非负最小二乘

函数 nnls（该函数已被函数lsnonneg代替，在6.0版中使用nnls将产生警告信息）

格式 x = nnls(A,b) %最小二乘法判断方程A×x=b的解，返回在x≥0的条件下使得最小的向量x，其中A和b必须为实矩阵或向量。

x = nnls(A,b,tol) % tol为指定的误差

[x,w] = nnls(A,b) %当x中元素时，，当时。

[x,w] = nnls(A,b,tol)

例4- 69

>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]；

>> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]'；

>> x=nnls(A,b)

Warning: NNLS is obsolete and has been replaced by LSQNONNEG.

NNLS now calls LSQNONNEG which uses the following syntax:

[X,RESNORM,RESIDUAL,EXITFLAG,OUTPUT,LAMBDA]

=lsqnonneg(A,b,X0, Options) ;

Use OPTIMSET to define optimization options, or type

'edit nnls' to view the code used here. NNLS will be

removed in the future; please use NNLS with the new syntax.

x =

0.6929

命令 有非负限制的最小二乘

函数 lsqnonneg

格式 x = lsqnonneg(C,d) %返回在x≥0的条件下使得最小的向量x，其中C和d必须为实矩阵或向量。

x = lsqnonneg(C,d,x0) % x0为初始点，x0≥0

x = lsqnonneg(C,d,x0,options) %options为指定的优化参数，参见options函数。

[x,resnorm] = lsqnonneg(„) %resnorm表示norm(C*x-d).^2的残差

[x,resnorm,residual] = lsqnonneg(„) %residual表示C*x-d的残差

例4- 70

>> A =[0.0372 0.2869;0.6861 0.7071;0.6233 0.6245;0.6344 0.6170]；

>> b=[0.8587 0.1781 0.0747 0.8405]'；

>> [x,resnorm,residual] = lsqnonneg(A,b)

x =

0.6929

resnorm =

0.8315

residual =

0.6599

-0.3119

-0.3580

0.4130

4.7.3 对数似然函数

命令 负分布的对数似然函数

函数 Betalike

格式 logL=betalike(params,data) %返回负分布的对数似然函数，params为向量[a, b]，是分布的参数，data为样本数据。

[logL,info]=betalike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params 中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。

说明 betalike是分布最大似然估计的实用函数。似然函数假设数据样本中，所有的元素相互独立。因为betalike返回负对数似然函数，用fmins函数最小化betalike与最大似然估计的功能是相同的。

例4-71 本例所取的数据是随机产生的分布数据。

>>r = betarnd(3,3,100,1);

>>[logL,info] = betalike([2.1234,3.4567],r)

logL =

-12.4340

info =

0.1185 0.1364

0.1364 0.2061

命令 负分布的对数似然估计

函数 Gamlike

格式 logL=gamlike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的分布的参数为params（即

[a，b]）的负对数似然函数值

[logL,info]=gamlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。

说明 gamlike是分布的最大似然估计函数。因为gamlike返回对数似然函数值，故用fmins函数将gamlike最小化后，其结果与最大似然估计是相同的。

例4-72

>>r=gamrnd(2,3,100,1);

>>[logL,info]=gamlike([2.4212, 2.5320],r)

logL =

275.4602

info =

0.0453 -0.0538

-0.0538 0.0867

命令 负正态分布的对数似然函数

函数 normlike

格式 logL=normlike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的、负正态分布的、参数为params(即[mu，sigma])的对数似然函数值。

[logL,info]=normlike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。

命令 威布尔分布的对数似然函数

函数 Weiblike

格式 logL = weiblike(params,data) %返回由给定样本数据data确定的、威布尔分布的、参数为params(即[a，b])的对数似然函数值。

[logL,info]=weiblike(params,data) %返回Fisher逆信息矩阵info。如果params中输入的参数是极大似然估计值，那么info的对角元素为相应参数的渐近方差。

说明 威布尔分布的负对数似然函数定义为

例4-73

>>r=weibrnd(0.4,0.98,100,1);

>>[logL,info]=weiblike([0.1342,0.9876],r)

logL =

237.6682

info =

0.0004 -0.0002

-0.0002 0.0078