古典概型的特征和概率计算公式 学业分层测评

学业分层测评

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．下列试验中是古典概型的有( ) A ．种下一粒大豆观察它是否发芽

B ．从规格直径为(250±0.6)mm 的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径d

C ．抛一枚硬币，观察其出现正面或反面的情况 D ．某人射击中靶或不中靶

【解析】 A 中基本事件“发芽”与“未发芽”不是等可能发生的，B 中试验的基本事件有无数个，D 中“中靶”与“不中靶”也不是等可能发生的，因此A ，B ，D 都不是古典概型．故选C.

【答案】 C

2．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,2)，E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是( )

2

A. 5 1C. 5

4B ．5 3D. 4【解析】 从5个点中取3个点，列举得ABC ，ABD ，ABE ，ACD ，ACE ，ADE ，BCD ，BCE ，BDE ，CDE 共有10个基本事件，而其中ACE ，BCD 两种情84

况三点共线，其余8个均符合题意，故能构成三角形的概率为105

【答案】 B

3．一枚硬币连掷3次，有且仅有2次出现正面向上的概率为( ) 3A. 8 1C. 3

2B ．3 1D. 4【解析】 所有的基本事件是(正，正，正) ，(正，正，反) ，(正，反，正) ，

(正，反，反) ，(反，正，正) ，(反，正，反) ，(反，反，正) ，(反，反，反) ，共有8个，仅有2次出现正面向上的有(正，正，反) ，(正，反，正) ，(反，正，正) ，3

共3个．则所求概率为8

【答案】 A

4．四条线段的长度分别是1,3,5,7，从这四条线段中任取三条，则所取出的三条线段能构成一个三角形的概率是( )

1A. 4 1C. 2

1B ．3 2D. 5【解析】 从四条长度各异的线段中任取一条，每条被取出的可能性均相等，所以该问题属于古典概型．又所有基本事件包括(1,3,5)，(1,3,7)，(1,5,7)，(3,5,7)，1共4个，其中能构成一个三角形的有(3,5,7)，共1个，则所求概率为4.

【答案】 A

5．如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为( )

3A. 10 1C. 10

1B ．5 1D. 20【解析】 从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，1

其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为10故选C.

【答案】 C 二、填空题

6．三张卡片上分别写上字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．

【解析】 三张卡片的排列方法有EEB ，EBE ，BEE ，共3种．且等可能出

1

现，则恰好排成英文单词BEE 的概率为3

1

【答案】 37．从集合{a ，b ，c ，d }的子集中任取一个，这个集合是集合{a ，b ，c }的子集的概率是________．

【解析】 集合{a ，b ，c ，d }的子集有∅，{a }，{b }，{c }，{d }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，d }，{b ，c }，{b ，d }，{c ，d }，{a ，b ，c }，{a ，b ，d }，{b ，c ，d }，{a ，c ，d }，{a ，b ，c ，d }，共16个，{a ，b ，c }的子集有∅，{a }，{b }，{c }，{a ，b }，1

{a ，c }，{b ，c }，{a ，b ，c }，共8个，故所求概率为2

1

【答案】 28．从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等) ，则2名都是女同学的概率等于________．

【解析】 用A ，B ，C 表示三名男同学，用a ，b ，c 表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的所有选法为AB ，AC ，Aa ，Ab ，Ac ，BC ，Ba ，Bb ，Bc ，Ca ，Cb ，Cc ，ab ，ac ，bc ，共15种，其中都是女同学有3种，故所求的概率为31155

1

【答案】 5三、解答题

9．一辆小客车上有5个座位，其座位号为1,2,3,4,5. 乘客P 1，P 2，P 3，P 4，P 5的座位号分别为1,2,3,4,5，他们按照座位号从小到大的顺序先后上车．乘客P 1因身体原因没有坐自己的1号座位，这时司机要求余下的乘客按以下规则就座：如果自己的座位空着，就只能坐自己的座位；如果自己的座位已有乘客就座，就在这5个座位的剩余空位中任意选择座位．

(1)若乘客P 1坐到了3号座位，其他乘客按规则就座，则此时共有4种坐法．下表给出了其中两种坐法，请填入余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表中空格处) ；

(2)若乘客P 1P 5坐到5号座位的概率．

【解】 (1)余下两种坐法如下表所示：

(2)若乘客P 1用下表表示：

设“乘客P 5坐到5号座位”为事件A ，则事件A 中的基本事件的个数为4， 41所以P (A ) ＝8＝2.

1

即乘客P 5坐到5号座位的概率是2.

10．袋中有5张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号为1,2.

(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

【导学号：63580036】

【解】 (1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A ，B ，C ，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D ，E ，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A ，B ) ，(A ，C ) ，(A ，D ) ，(A ，E ) ，(B ，C ) ，(B ，D ) ，(B ，E ) ，(C ，D ) ，(C ，E ) ，(D ，E ) ，共10种．

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A ，D ) ，(A ，E ) ，(B ，D ) ，共3种．

3

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为10

(2)记F 为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：

(A ，B ) ，(A ，C ) ，(A ，D ) ，(A ，E ) ，(A ，F ) ，(B ，C ) ，(B ，D ) ，(B ，E ) ，(B ，F ) ，(C ，D ) ，(C ，E ) ，(C ，F ) ，(D ，E ) ，(D ，F ) ，(E ，F ) ，共15种．

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的． 从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：

(A ，D ) ，(A ，E ) ，(B ，D ) ，(A ，F ) ，(B ，F ) ，(C ，F ) ，(D ，F ) ，(E ，F ) ，共8种．

8所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为15

[能力提升]

1．设a 是从集合{1,2,3,4}中随机取出的一个数，b 是从集合{1,2,3}中随机取出的一个数，构成一个基本事件(a ，b ) ．记“这些基本事件中，满足log b a ≥1”为事件E ，则E 发生的概率是( )

1

A. 2 1C. 3

5B ．12 1D. 4【解析】 基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)共12种，事件E 包含(2,2)，(3,2)，(3,3)，(4,2)，(4,3)

5

共5种，则E 发生的概率是12

【答案】 B

2．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )

1A. 5 3C. 5

2B ．5 4D. 5【解析】 标记红球为A ，白球分别为B 1、B 2，黑球分别为C 1、C 2、C 3，记事件M 为“取出的两球一白一黑”．则基本事件有(A ，B 1) ，(A ，B 2) ，(A ，C 1) ，(A ，C 2) ，(A ，C 3) ，(B 1，B 2) ，(B 1，C 1) ，(B 1，C 2) ，(B 1，C 3) ，(B 2，C 1) ，(B 2，C 2) ，(B 2，C 3) ，(C 1，C 2) ，(C 1，C 3) ，(C 2，C 3) ，共15个．其中事件M 包含的基本事件有(B 1，C 1) ，(B 1，C 2) ，(B 1，C 3) ，(B 2，C 1) ，(B 2，C 2) ，(B 2，C 3) ，共6个．根62

据古典概型的概率计算公式可得其概率为P (M ) ＝15＝5.

【答案】 B

3．甲、乙两人玩数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a ，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b ，且a ，b ∈{1,2,3,4,5,6}，若|a －b |≤1，则称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两个人玩这个游戏，得出他们“心有灵犀”的概率为________．

【解析】 当a ＝1，b ＝1,2； 当a ＝2时，b ＝1,2,3； 当a ＝3时，b ＝2,3,4； 当a ＝4时，b ＝3,4,5； 当a ＝5时，b ＝4,5,6； 当a ＝6时，b ＝5,6；

所以“心有灵犀”包含的基本事件数有16个，而基本事件总数为36， 164故P ＝36＝9. 4

【答案】 94．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工．根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图3-2-1所示) ，其中样本数据分组区间为：[40,50)，[50,60)，„，[80,90)，[90,100]．

图3-2-1

(1)求频率分布直方图中a 的值；

(2)估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；

(3)从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人的评分都在[40,50)的概率．

【解】 (1)因为(0.004＋a ＋0.018＋0.022×2＋0.028) ×10＝1，所以a ＝0.006. (2)由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.022＋0.018) ×10＝0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.

(3)受访职工中评分在[50,60)的有：50×0.006×10＝3(人) ，记为A 1，A 2，A 3； 受访职工中评分在[40,50)的有：50×0.004×10＝2(人) ，记为B 1，B 2. 从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，B 1}，{A 1，B 2}，{A 2，A 3}，{A 2，B 1}，{A 2，B 2}，{A 3，B 1}，{A 3，B 2}，{B 1，B 2}．又因为所抽取2人的评分都在[40,50)的结果有1种，即{B 1，1B 2}，故所求的概率为10.