黄冈数学题库

训练26三角函数

(推荐时间：75分钟)

1．已知sin α＝π1α∈(0，tan β＝523

(1)求tan α的值；(2)求tan (α＋2β) 的值．

c sin (B －C )2．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且1－2a sin (B ＋C )

cos B 2

3．若函数f (x ) ＝sin 2ax －sin ax cos ax (a ＞0) 的图象与直线y ＝m (m 为常数) 相切，并且切点

π的横坐标依次成公差为(1)求m 的值；(2)若点A (x 0，y 0) 是y ＝f (x ) 图象的对称中2

心，且x 0∈[0，3π，求点A 的坐标．4

4. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c . m ＝(1,1)，n ＝sin B sin C ，cos B cos

m ⊥n . (1)求A 的大小；(2)若a ＝1，b ＝c . 求S △ABC .

φ5．设函数f (x ) ＝2sin x cos 2cos x sin φ－sin x (0＜φ＜π)，在x ＝π处取最小值．(1)求φ的值；2

(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，已知a ＝1，b ＝，f (A ) C . 2

6．(2010·福建) 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/时的航行速度匀速行驶，经过t 时与轮船相遇．

(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？

(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小) ，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．

答案

1．解(1)∵sin α＝πα∈(0，，52

121－55∴cos α＝1－sin 2α＝

sin α15∴tan αcos α2

5

1

2tan β133(2)∵tan β∴tan 2β341－tan 2β11－2

3213tan α＋tan 2β242. ∴tan (α＋2β) ＝1－tan αtan 2β13124

2．解由已知得

2a －c sin (B －C )2a sin A

∴2sin A －sin C sin (B －C )2sin A sin A

∴2sin A －sin C ＝2sin (B －C ) ，

∴2sin (B ＋C ) －sin C ＝2sin (B －C ) ，

2sin B cos C ＋2cos B sin C －sin C ，

＝2sin B cos C －2cos B sin C ，

∴4cos B sin C ＝sin C ，

1又sin C ≠0，∴cos B 4

B 为锐角．∴cos B 21＋cos B 42

3．解11(1)f (x ) －cos 2ax ) －2ax 22

11＝－2ax ＋cos 2ax ) 22＝－π1(2ax ＋＋242

∵y ＝f (x ) 的图象与y ＝m 相切．

∴m 为f (x ) 的最大值或最小值．

即m ＝1＋1－m 22

π(2)2π所以f (x ) 2

又T ＝2ππa ＞0，|2a |2

所以a ＝2.

x

1即f (x ) ＝－

22

x

π0，则4x 0k π(k ∈Z ) 4令sin

k ππx 0＝416

k ππ3由0≤及k ∈Z . 4164

得k ＝1,2,3，

因此对称中心点

A 4．解因为m ⊥n ，所以sin B sin C ＋cos B cos C ＝0，2

所以cos (B ＋C ) ＝－3cos A 22

因为A 为△ABC 的内角，所以0

π所以A ＝6

(2)若a ＝1，b c . 由余弦定理得

b 2＋c 2－a 2＝2bc cos A ，所以得c 2＝1，

1所以S △ABC ·sinA 2＝244

5．解(1)∵f (x ) ＝2sin x cos 2φcos x sin φ－sin x 2

1＋cos φ＝2sin x cos x sin φ－sin x 2

＝sin x ＋sin x cos φ＋cos x sin φ－sin x

＝sin x cos φ＋cos x sin φ＝sin (x ＋φ)

又∵f (x ) 在x ＝π处取最小值．

∴sin (π＋φ) ＝－1.

π又∵0＜φ＜π，∴φ＝2

π(2)由(1)知f (x ) ＝sin (x ＝cos x . 2

∵f (A ) 3∴cos A 22

π又∵A 是三角形的内角，∴A 6

又∵a ＝1，b ＝，∴由正弦定理得sin B ＝b sin A a ×1221π3π又∵a ＜b ，∴B B ＝44

π7π当B C 412

当B 3ππC ＝412

π7π∴C ＝1212

6．解方法一(1)如图(1)，设相遇时小艇航行的距离为S 海里，则

S ＝900t 2＋400－2×30t ×20×

cos (90°－30°)

＝900t 2－600t ＋400

图(1)

＝1900(t －2＋300. 31故当t ＝S min ＝10，3

3此时v 1303

即小艇以30海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

(2)设小艇与轮船在B 处相遇，则

v 2t 2＝400＋900t 2－2×20×30t ×cos(90°－30°)，

故v 2＝900－6004002t t 600400∵0

232即20，解得t ≥t t 3

2又t v ＝30. 3

2故v ＝30时，t 3

此时，在△OAB 中，有OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．

图(2)

方法二(1)若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C 处相遇(如图(2)．

在Rt △OAC 中，OC ＝20cos 30°＝10，AC ＝20sin 30°＝10.

又AC ＝30t ，OC ＝v t .

10101此时，轮船航行时间t v ＝1303033

即小艇以30

海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．

图(3)

(2)猜想v ＝30时，小艇能以最短时间与轮船在D 处相遇，此时AD ＝DO ＝30t .

又∠OAD ＝60°，

∴AD ＝DO ＝OA ＝20，

2解得t ＝3

据此可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度的大小为30海里/时．这样，小艇能以最短时间与轮船相遇．

证明如下：

如图(3)，由(1)得OC ＝103，AC ＝10，故OC >AC ，且对于线段AC 上的任意点P ，有OP ≥OC >AC . 而小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，故小艇与轮船不可能在A ，C 之间(包含C ) 的任意位置相遇．

设∠COD ＝θ(0°

由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为

t ＝10＋10θ3t v cos θ30

∴10＋θv cos θ30

15由此可得，v ＝sin (θ＋30°)

又v ≤30，故sin(θ＋30°)≥2

从而，30°≤θ＜90°.

由于θ＝30°时，tan θ取得最小值，且最小值为3

于是，当θ＝30°时，t ＝10＋10

θ2330

图(4)

方法三(1)同方法一或方法二．

(2)设小艇与轮船在B 处相遇．依据题意得：v 2t 2＝400＋900t 2－2·20·30t ·cos(90°－30°)，(v 2－900) t 2＋600t －400＝0.

①若0

Δ＝360000＋1600(v 2－900)

＝1600(v 2－675) ≥0，

得v ≥15－300±202－675从而，t ＝v ∈[15，30) ．2v －900

－300－20v 2－675当t 2v －900

令x ＝2－675，则x ∈[0,15)，

t ＝－300－20x －204x 2－225x －153当且仅当x ＝0，即v ＝15时等号成立．

－300＋20v 2－67524当t t 33v 2－900

2综上得，当v ∈[15，30) 时，t >3

2②若v ＝30，则t ＝3

2综合①②可知，当v ＝30时，t 取最小值，且最小值等于3

此时，在△OAB 中，OA ＝OB ＝AB ＝20，故可设计航行方案如下：

航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．