2011福州一中自主招生考试 --数学试卷
福州一中2011年高中招生综合素质测试数学试卷
（满分100分，考试时间60分钟）
学 校 姓 名 准考证号 注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡的相应位置上．
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．） 1．右图是某几何体的三视图及相关数据，则下列判断错误的是（ ） ．．
b
2
=±2；②2a ⨯
3a =6a ；③|
2
3
6
222222
-2sin 45 +(-1) 2011=0；
④
b +c b
=．其中正确的个数有（ ） a +c a
A ．0 B．1 C．2 D．3
3．某救灾募捐活动中，文艺工作者积极向灾区捐款．其中8人捐款统计如下表：
设这8人捐款数的众数为a ，中位数为b ，平均数为c ，则下列各式正确的是（ ）
A ．a =b c D ．a =b =c
4．如右图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点A 、B 、C ，则该圆弧所在圆的圆心坐标为（ ）
A ．(2, 0) B．(2,1) C．(1,2) D．无法确定
5．如右图，在∆ABC 中，AB =5, AC =4, BC =3，经过点C 且与边AB 相切的动圆 与CA 、CB
分别相交于点P 、Q ，则线段PQ 长度的最小值是（ ）
A
512
A ．2 B ． C ． D ．25
6．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序非负实数对(p , q ) 是点M 的“距离坐标”．根据上述定义，“距离坐标”是(1,2) 的点的个数是（ ）
A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．）
B
D
1x 2-x -6x 2+2x +1
+) ÷7．化简(2的结果为 。
x +3x x 2-9x +3
8．如图，在两面墙之间有一根底端在A 点的竹竿，当它靠在一侧墙上时，竹竿的顶端在
B 点；当它靠在另一侧墙上时，竹竿的顶端在D 点．已知∠BAC =60 ，∠DAE =45 ，
AC =2米，则DE 的高度为米．（墙面垂直地面）
9．若实数a ，b 满足a +b =1，则a +4b 的最小值是 。 10．如图，△ABC 的三边长分别为3、5、6，BD 与CE 都是△ABC •的外角平分线，M 、N 是直线BC 上两点，且AM ⊥BD 于D ，AN ⊥CE 于E ，则DE 的长等于 。
222
M
C
N
11．下面为杨辉三角系数表，它的作用之一是指导读者按规律写出形如(a +b ) n （其中n 为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a +b ) 6展开式中所缺的系数．
(a +b ) 1=a +b
222
(a +b ) =a +2ab +b
33223
(a +b ) =a +3a b +3ab +b
则
(a +b ) 6=a 6+6a 5b +15a 4b 2+a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6．
⎧a 1x +b 1y =c 1⎧4a 1x +5b 1y =9c 1⎧x =4
的解是⎨，求方程组⎨的解”提出各自的
y =10a x +b y =c 4a x +5b y =9c ⎩⎩222⎩222
(a +b ) 4=a 4+4a 3b +6a 2b 2+4ab 3+b 4
．． ．．． ．
12．三个同学对问题“若方程组⎨
想法．甲说：“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能不能把第二个方程组中两个方程的两边都除以9，通过换元替代的方法来解决”．参照他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ．
三、解答题（本大题共3小题，满分40分．）
13．（本小题满分12分）如图，矩形ABCD 中，E 是BC 边上的一点，连接AE 、DE ． △DCE 沿DE 翻折后，点C 恰好落在AE 上，记为点F ．（Ⅰ）求证： ∆ADF ≌∆EAB ； （Ⅱ）若AD =10，tan ∠EDF =
A D
1
, 求矩形ABCD 的面积． 3
k
14．（本小题满分14分）如图，双曲线y =与直线l :y =-kx +b (k >0, b >0) 有且
x
只有一个公共点A ，AC ⊥x 轴于C ，直线l 交x 轴于点B ．（Ⅰ）求点A
（Ⅱ） 已知∆ABC 的面积等于1B C
或向右移动1个单位长度（向上和向右的可能性相同）．求3次移动后，该点在直线的概率．
15．（本小题满分14分）已知二次函数y =ax -2ax +c 的图像与x 轴交于
2
A (-1,0) 、
2B 两点，其顶点为M ．（Ⅰ）根据图像，解不等式ax -2ax +c >0；（Ⅱ）若点
D (-3,6) 在二次函数的图像上，试问：线段OB 上是否存在N 点，使得∠ADB =∠BMN ？若存在，求出N 点坐标；若不存在，说明理由．
福州一中2011年高中招生（面向市区以外）
综合素质测试数学参考答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）
x =91
7．； 8．22 ； 9．1 ； 10．7 ； 11．20 ； 12
y =18x
三、解答题（本大题共3小题，满分40分）
13．(Ⅰ) 证明： ∆DCE 沿DE 翻折得到∆DFE ，
∴∆DCE ≌∆DFE ， ∴DC =DF , ∠DFE =∠C =90 ，„„„„2分 又矩形ABCD 中AD //BC , AB =CD , ∠B =90， ∴∠DAE =∠AEB , AB =DF ．„„„„„4分 在∆ADF 与∆EAB 中，
。
A D
B C
⎧∠B =∠DFA =90。
⎪
⎨∠DAE =∠AEB ， ⎪DF =AB ⎩
∴∆ADF ≌∆EAB ．„„„„„„„„„„„„„ 6分
(Ⅱ) R t ∆DFE 中，tan ∠EDF =
EF 1
=，设EF =x , 则DF =3x ，„„„„„„7分 EF 3
∴AF =AE -EF =AD -EF =10-x ，
在Rt ∆ADF 中， AF +DF =AD ，
∴(10-x ) +(3x ) =10 ，解得x =2．„„„„„„„„„„„„„„„10分 ∴DC =DF =3x =6， ∴S 矩形ABCD =10⨯6=60．„„„„„„„„„„12分
2
2
22
2
2
k ⎧y =⎪2
14、（Ⅰ）解：联立⎨，得 kx -bx +k =0． x
⎪⎩y =-kx +b
∵双曲线与直线有且只有一个公共点A ， ∴∆=b -4k =0, 即b =4k ,
b >0, k >0 ∴b =2k ．„„„„„„„„„„3分 ∴kx -2kx +k =0 ， k (x -1) 2=0．
2
2
2
22
解得：x =1， 即A 点横坐标为1．„„„„6分 （Ⅱ）∵直线l 的方程为y =-kx +2k ，
令y =0得：l 与x 轴交点B 为(2,0)，„„„„„„„„„„„„„7分 ∴OB =2．
又A (1,k ) ，AC ⊥x 轴, ∴OC =1，AC =k ，BC =2-1=1． 又S ABC =
11
⋅AC ⋅BC =1， 即⋅k ⋅1=1， 22
解得： k =2 ．
∴ 直线l 的方程为 y =-2x +4．„„„„„„„„„„„„„10分 动点从原点出发每次向上或向右移动1个单位，根据树状图知有8种可能结果：
、(右，右，上）、(右，上，右）、(右，上，上）， (右，右，右）
、(上，右，上）、(上，上，右）、(上，上，上）． (上，右，右） 其对应的坐标分别是：
（3,0）（2,1）（2,1）（1,2）（2,1）（1,2）（1,2）（0,3） 、、、、、、、．„„„12分
其中恰好在直线l :y =-2x +4上的共有3种， ∴该点在直线l 上的概率P =
2
3
．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„14分 8
15．(Ⅰ) ∵函数y =ax -2ax +c 图象的对称轴为直线x =1， ∴A 、B 两点关于直线x =1对称，
又A 点的坐标为(-1, 0) ， ∴B 点的坐标为(3,0) ．„„„„„„„„„2分 ①当a >0时，抛物线的开口向上，
∴不等式ax -2ax +c >0的解集为x 3；„„„„„„„4分 ②当a
2
∴不等式ax -2ax +c >0的解集为-1
2
（Ⅱ）∵A (-1,0) 、D (-3,6) 都在此函数图象上，
∴a +2a +c =0 即 c =-3a ； 9a +6a +c =6 即 c =6-15a ． ∴ a =
13 ，c =-． 22
∴此二次函数的解析式为：
y =
1231
x -x -=(x -1) 2-2． 222
函数图象的顶点为M (1,-2) ．„„„„8分
假设线段OB 上存在N (t ,0) (0≤t ≤3) 点，使得
过D 作DE ⊥x 轴于E ，过M 作MF ⊥x 轴于F ∵D (-3,6) ，B (3,0) ，M (1,-2) ，
∴DE =6,
BE =OB +OE =6，
∴△DEB 为等腰直角三角形，∠DBA =45．„„„„„„„„„„„„„10分 同理 ∠MBN =45．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„11分
N 又 ∠A D B =∠B M ，
∴△ADB ∽△NMB ．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„12分
AB DE 465==， 解得t =． ，即BN MF 3-t 23
5
∴线段OB 上存在点N (,0) ，使得∠ADB =∠BMN ．„„„„„„„„„14分
3
∴