_高等数学上册第九章答案

习题9-1 多元函数的基本概念

1. 求下列各函数的定义域： （1

）z =ln(y -x

（2

）u =

2. 求下列各极限： （1

）

lim

；

(x , y ) →(0,0)（2

）

(x , y lim

) →；

（3）

lim

tan(xy )

(x , y ) →

(2,0)y .

（4）lim(x 2

(x 2+y 2)

x +y 2

) e

-

y →∞

→∞

令u =x 2

+y 2

，原式=lim

u u →∞e u =lim 1

u →∞e u

=0

（5）

(x , y lim

)→(

0,0

1令t ==lim t -sin t 1-cos t x

2

1t →0+t 3=lim t →0+3t 2=lim t →0+

3t 2=6

习题9-2 偏导数

1. 求下列函数的偏导数： （1）z =sin(xy ) +cos 2(xy ) ；

（2）z =(1+xy ) y ；

（3）u =arctan(x -

y ) z .

（4）设z =y 2∂z 3x +ϕ(xy )，其中ϕ(u )可导，证明x 2∂x +y 2=xy ∂z ∂y

解 ∂z ∂x =-y 2∂z 2y

3x 2+y ϕ'(xy ), ∂y =3x

+x ϕ'(xy )

左边=x 2

∂z ∂x +y 2

=-y 23+x 2y ϕ'(xy )+y 2=xy ⎡⎢2y ⎣3x +x ϕ'(xy )⎤⎥⎦

=右边

2. 求下列函数的∂2z ∂2z ∂2z

∂x 2，∂y 2和∂x ∂y

.

（1）z =arctan

y x

；

（2）z =y x .

习题9-3 全微分

1. 求下列函数的全微分： y （1）z =e x

；

（2）u =x yz

.

（3）u =x +sin

y

+e yz 2

. 解

∂u =1∂u =1c y +ze yz ∂u

=ye yz ∂x ∂y 22∂z

，所求的全微分为 du =dx +⎛ 1y ⎝2cos 2+ze yz ⎫

⎪⎭

dy +ye yz dz ‘

（4）u =tan

x 2+y 2+z 2)

解

∂u ∂x =∂u ，

∂y =

∂u =

∂z

du =

xdx +ydy +zdz )

2. 求函数z =

y

，当x =2，y =1，∆x =0.1，∆y =-0.2时的全增量和全微分。

x

3. 设f (

x , y , z )=

df (1,1,1) 1z

-1解

∂f 1⎛x ∂x =z ⎫⎝y ⎪⎭

⋅1y

, ∴

∂f

∂x =1

(1, 1), 1

1∂f 1⎛x z

-1∂y

=z ⎫⎝y ⎪⎭

⋅⎛ -x ⎫∂f

⎝y 2⎪⎭

, ∴

∂y =-1

(1,1,1)

∂f ∂f ∂z

=ln x y ⋅⎛ ⎝-1⎫z 2⎪⎭

, ∴

∂z

=0

(1,1,1)

故 d f (1, 1, )1

=d -x d

y 习题9-4

多元复合函数的求导法则

1. 设z =u 2

ln v ，而u =

x

y

，v =3x -2y ，求∂z ∂z ∂x ，∂y .

2. 设z =arcsin(x -y ) ，而x =3t ，y =4t 3

，求

dz

dt

.

3. 设u =e ax (y -z )

a 2

+1

，而y =a sin x ，z =cos x ，求du dx

. 4. 求函数u =f (x , xy , xyz ) 的一阶偏导数（其中f 具有一阶连续偏导数）

5. 设z =xy +xF (u ) ，而u =

y x ，F (u ) 为可导函数，证明x

∂z ∂x +y ∂z

∂

y

=z +xy .

∂2z ∂2z ∂26. 设z =f (x 2

+y 2

) ，其中f 具有二阶导数，求z

∂x 2，∂x ∂y ，∂y

2.

习题9-5 隐函数的求导公式

y dy 1.

设ln =arctan ，求.

x dx

2. 设

∂z ∂z x z

=ln ，求及.

∂x ∂

y z y

3. 设Φ(u , v ) 具有连续偏导数，证明由方程Φ(cx -az , cy -bz ) =0所确定的函数z =f (x , y ) 满足a

∂z ∂z

+b =c . ∂x ∂y

4. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数： （1）⎨

⎧x +y +z =0，求dx dy

⎩x 2+y 2+z 2

=1

dz ，dz

.

（2）⎧⎪2

⎨u -v +x =0

∂u v -y =0

, ∂u , ∂v , ∂v ⎪⎩u +2

，求∂x ∂y ∂x ∂y 解 方程组两边分别对x , y 求偏导数得

⎧⎪∂u ∂⎪2u ⎨

∂x -v ∂x

=-1∂u -2v ∂v 1⎪∂u ∂v ⇒∂x =1+4uv , = ⎪⎩∂x

+2v ∂x 1+4uv ∂x =0

⎧∂u ∂v

⎪2u ∂y -∂y =0∂u 1∂v 2u ⎪

⇒=, =⎨

∂y 1+4uv ∂y 1+4uv ⎪∂u +2v ∂v =1

⎪∂y ⎩∂y

习题9-6 多元函数微分学的几何应用

) 在与t 0=1. 求曲线r =f (t ) =(t -sin t ) i +(1-cos t ) j +(4k

t

π

相应的点处的切线及

2

2

法平面方程。

2. 求曲线y 2

=2mx ，z 2

=m -x 在点(x 0, y 0, z 0) 处的切线及法平面方程。

⎧x 23. 求曲线⎨+y 2+z 2-3x =0

2x -3y +5z -4=0

，在点(1,1,1)处的切线及法平面方程。

⎩

4. 求椭球面x 2

+2y 2

+z 2

=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程。

5. 在曲面z =xy 上求一点，使这点处的法线垂直于平面x +3y +z +9=0，并写出这法线方程．

解 设所求点为(x 0, y 0, z 0) ，z x =y , z y =x ，

法向量n =(z x , z y , -1) =(y 0, x 0, -1) ，

由题意知

y 0x 0-1==，得x 0=-3, y 0=-1, z 0=3 131

x +3y +1z -3

== 131

习题9-7 方向导数与梯度

法线方程：

1. 求函数z =x 2+y 2在点(1,2) 处沿从点(1,2)

到点(2,2的方向的方向导数。

2. 求函数u =xyz 在点(5,1,2) 处沿从点(5,1,2) 到点(9,4,14)的方向的方向导数。

3. 求函数u =x +y +z 在球面x 2+y 2+z 2=1上点(x 0, y 0, z 0) 处，沿球面在该点的外法线方向的方向导数。

222

4. 设f (x , y , z ) =x +2y +3z +xy +3x -2y -6z ，求grad f (0,0,0)及grad f

(1,1,1).

5. 求函数u =xy z 在点P 0(1,-1,2) 处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数。

2

6. 求函数u =() 在P , 1, 1) 沿着方向l =(2, 1, -1) 的方向导数0(1

解：

y

x

z

∂u ∂l

P o

．

∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z

y z -1y =z () (-) P 02

x x y z -11=z () () P 0

x x y z y =() l n ) P 0

x x 26, 16, -216

P 0

=-1,

P 0

=1,

P 0

=0,

l =()

16

16

16

∴

∂u

∂l

P 0

=(-1) ⨯+1⨯+0⨯(-) =-.

习题9-8 多元函数的极值及其求法

1. 求函数f (x , y ) =e 2x (x +y 2+2y ) 的极值。

2. 求函数z =xy 在适合附加条件x +y =1下的极大值。

3. 在平面xOy 上求一点，使它到x =0，y =0及x +2y -16=0三直线的距离平方之和为

最小。

4. 将周长为2p 的矩形绕它的一边旋转而构成一个圆柱体，问矩形的边长各为多少时，才可使圆柱体的体积为最大？

5. 求函数z =f (x , y ) =xy +

11

+(xy ≠0) 的极值 x y

1(1,

解:

z x =y -

令

11

, z =x -y x 2y 2

z x =0, z y =0⇒x (y , =)

z xx =2x -3, z xy =1, z yy =2y -3⇒A =2, B =1, C =2

∆=AC -B 2=3>0，且A >0

所以(x , y ) =(1,1)为函数的极小值点，极小值为6. 求表面积为6而体积最大的长方体的体积.

解 设长方体的长, 宽, 高分别为x , y , z , 则问题归结为在满足条件2(xy +yz +zx ) =6时求长方

f (1,1) =3

体的体积V =xyz 的最大值. 它的拉格朗日函数为L (x , y , z , λ) =xyz +λ(3-xy -xz -yz ), x >0, y >0, z >0,

令

∂L ∂L ∂L =yz +λ(-y -z ) =0, =xz +λ(-x -z ) =0, =xy +λ(-x -y ) =0, ∂x ∂y ∂z

⎧⎪yz +λ(-y -z ) =0有⎪⎨xz +λ(-x -z ) =0xy +λ(-x -y ) =0 ⎪⎪⎩3-xy -xz -yz =0

解方程组有 x =y =z =1 长方体的最大体积为1.

复习题九

求函数f (x , y ) =1.

lim (x , y ) →

(1

f (x , y ) 2

,0)

⎧2. 设f (x , y ) =⎪x 2y

⎨x 2+y 2

, x 2+y 2≠0，求f x (x , y ) ，f y (x , y

) .

⎪⎩

0, x 2+y 2=03. 求下列函数的一阶和二阶偏导数： （1）z =ln(x +y 2) ；

（2）z =

x y

.

4. 设z =f (u , x , y ) ，u =xe y

，其中f 具有二阶连续偏导数，求∂2z

∂x ∂y

.

5. 设x =e u

cos v ，y =e u sin v ，z =uv ，试求

∂z ∂∂x 和z ∂

y

. 6. 求螺旋线x =a cos θ，y =a sin θ，z =b θ在点(a ,0,0) 处的切线及法平面方程。

7. 已知ϕ(x , y ) 具有连续偏导数且ϕ(x -z , y -z ) =0确定函数z =z (x , y ) ，试计算

∂z ∂z

+ ∂x 解:

ϕ1(1-

∂z ∂∂x ) +ϕz

2(-∂x

) =0

∂z ϕ1∂x =

ϕ

1+ϕ2

ϕ1(-

∂z ∂y ) +ϕ-∂z

2(1∂y

) =0

∂z ϕ∂y =

2ϕ

1+ϕ2

∂z ∂x +∂z ∂y

=1 8. 已知二元函数u (x , y ), v (x , y ) 在区域D 内满足 （1）具有连续偏导数； （2）

∂u ∂x =∂v ∂u ∂v ∂y , ∂y =-∂x

，u 2+v 2≡C （C 常数）； 证明 u (x , y ) , v (x , y 在区域)

D 内均为常数 证 (1)当C =0时, u =v =0, 从而u (x , y ), v (x , y ) 均为常数.

⎧⎪2u ∂u

∂v (2)当C ≠0时, 由u 2+v 2

≡C , 两边关于x , y 分别求偏导数得⎪⎨∂x +2v ∂x =0

⎪⎪⎩2u ∂u ∂v ∂y

+2v ∂y =0

又

∂v ∂x =-∂u ∂y , ∂v ∂y =∂u

∂x

, 则上述方程组变为 ⎧⎪⎪

2u ∂u

∂u ⎨

∂x -2v ∂y =0 ⎪⎪⎩2v ∂u ∂x

+2u ∂u ∂y =0其系数行列式

2u -2v ∂u 2v 2u

=4(u 2+v 2) ≠0, 所以

∂x =∂u ∂y =0, 且∂v ∂x =∂v

∂y =0, ∂y

从而u (x , y ), v (x , y ) 均为常数.

9. 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R （万元）与电台广告费用x 1（万元）及报纸广告费用x 2（万元）之间的关系有如下的经验公式：

R (x , y ) =15+14x +32y -8xy -2x 2-10y 2

（1）在广告费用不限的情况下，求最优广告策略； （2）若广告费用为1.5万元，求相应的最优广告策略。

解：(1)利润函数为L =R -(x +y ) =15+13x +31y -8xy -2x 2-10y 2

⎧∂L

=13-8y -4x =0⎪3535⎪∂x 令⎨⇒x =, y =, (, ) 为L (x , y ) 唯一的驻点

4444⎪∂L =31-8x -20y =0

⎪⎩∂y

35

L (, ) =39. 25（万元） 44

当电视广告费与报纸广告费分别为0. 75万元和1. 25万元时，最大利润为39. 25万元，此即

为最佳广告策略.

(2)利润函数为L =R -(x +y ) =15+13x +31y -8xy -2x 2-10y 2

求广告费用为1. 5万元的条件下的最佳广告策略，即为条件：x +y =1. 5下，

L (x , y ) 的最大值

令F (x , y ) =L (x , y ) +λϕ(x , y ) =15+13x +31y -8xy -2x -10y +λ(x +y -1. 5)

2

2

⎧F x ' =13-8y -4x +λ=0⎪'

令⎨F y =31-8x -20y +λ=0⇒x =0, y =1. 5，这是唯一的驻点， ⎪

⎩x +y -1. 5=0

又由题意知L (x , y ) 一定存在最大值，故L (0, 1. 5) =39（万元）为最大值. 10.

=

证明: 设M 0(x 0, y 0, z 0) 为曲面上任意一点 令F (x , y , z ) =

;

F z =

F x =

; F y =

x -x 0) +y -y 0) +z -z 0) =0

所以截距和为

+=2