2010年高考数学名校大题天天练试卷3

数学：2010年高三名校大题天天练（三）

1. （满分10分）某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰。已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为，且各轮问题能否正确回答互不影响。

（1）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率； （2）求该选手至多进入第三轮考核的概率。

43215555

2. （满分12分）已知函数f (x ) =2sin

x x x cos +cos ； 442

（1）求函数f (x ) 的最小正周期及最值； （2）令g (x ) =f (x +

π

3

) ，判断函数g (x ) 的奇偶性，并说明理由。

3．（满分12分）如图, 在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AC =3，AB =5, BC =4，AA 1=4，点D 是AB 的中点，

（1）求证：AC ⊥BC 1； （2）求证：AC 1//平面CDB 1；

4. （满分12分）设函数f (x ) =2x 3-3(a -1) x 2+1(a ≥1) （1）求f (x ) 的单调区间；

（2）讨论f (x ) 的极值。

5．（满分12分）设{a n }使等差数列，{b n }是各项都为正数的等比数列，且

a 1=b 1=1，a 3+b 5=21，a 5+b 3=13。

（1）求{a n }，{b n }的通项公式；

⎧a n ⎫

（2）求数列⎨⎬的前n 项和S n 。

⎩b n ⎭

6．（满分12分）在∆PAB 中，已知点A -6, 0、B （1）求动点P 的轨迹；

（2）设M (-2, 0)、N (2，0)，过点N 作直线l 垂直于AB ，且l 与直线MP 交于点Q ，试在x 轴上确定一点T ，使得PN ⊥QT ；()，0，动点P 满足=PB +4

)

（3）在（2）的条件下，设点Q 关于x 轴的对称点为R ，求OP ⋅OR 的值。

7．（本小题满分12分）如图，正四棱柱ABCD -A 点E 在CC 11BC 11D 1中，AA 1=2AB =4，上且C 1E =3EC ．

（Ⅰ）证明：AC ⊥平面BED ；1

D 1

C 1 1

（Ⅱ）求二面角A 1-DE -B 的大小．

A 1

E

D A

C

8. （本小题满分12分）如果有穷数列a 1，a 2，a 3， ，a m （m 为正整数）满足条件a 1=a m ，2， ，m ），我们称其为“对称数列”． a 2=a m -1，„，a m =a 1，即a i =a m -i +1（i =1，

2521与数列8，，，，，42248都是“对称数列”例如，数列1，，，，．

（1）设{b n }是7项的“对称数列”，其中b 1，b 2，b 3，b 4是等差数列，且b 1=2，b 4=11．依c 26， ，c 49是首项为1，公比为2的等比数列，（2）设{c n }是49项的“对称数列”，其中c 25，

次写出{b n }的每一项；

（3）设{d n }是100项的“对称数列”，其中d 51，d 52， ，d 100是首项为2，公差为3的等差数

求{c n } 各项的和S ；

，，2 ，100) ． 列．求{d n }前n 项的和S n (n =1

0) (其中t ≠0) 是函数f (x ) =x 3+ax 与g (x ) =bx 2+c 的9．（本小题满分13分）点P (t ，

图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线. （Ⅰ）用t 表示a , b , c ；

（Ⅱ）若函数y =f (x ) -g (x ) 在（－1，3）上单调递减，求t 的取值范围.

10.( 本小题满分14分) 已知数列{a n }，{b n }中，a 1=t (t >0且t ≠1), a 2=t 2，且x =是函数f (x ) =

t

1

(a n -1-a n ) x 3-(a n -a n +1) x 的一个极值点. 3

（1）求数列{a n }的通项公式；

2*

（2） 已知点P n 的坐标为（1，（n ∈N ) ，若直线1+a n x -2a n y -3=0始终与OP b n ）n

()

-1111n 平行（o 为原点），求证：当

2b 1b 2b n

n

对任意n ∈N 都成立.

*

1、（满分10分）（1）P =

432496

⨯⨯⨯=5555625

142433101

（2）P =+⨯+⨯⨯=

555555125

2、（满分12分）

解：（1） f (x

) =sin

x x ⎛x π⎫

+=2sin +⎪ 22⎝23⎭

∴f (x ) 的最小正周期T =

2π

=4π． 12

当sin

⎛x π⎫⎛x π⎫

+⎪=-1时，f (x ) 取得最小值-2；当sin +⎪=1时，f (x ) 取得最大值2． ⎝23⎭⎝23⎭

π⎫⎛x π⎫⎛

+⎪．又g (x ) =f x +⎪．

3⎭⎝23⎭⎝

（2）由（Ⅰ）知f (x ) =2sin

∴g (x ) =2sin ⎢ x +

⎡1⎛

⎣2⎝x π⎫π⎤⎛x π⎫

=2cos ． =2sin ++ ⎪⎪2223⎭3⎥⎝⎭⎦

x ⎛x ⎫

g (-x ) =2cos -⎪=2cos =g (x ) ．

2⎝2⎭

∴函数g (x ) 是偶函数． 3．（满分12分）

证明：（1）在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1， ∵底面三边长AC =3，AB =5，BC =4 ∴ AC ⊥BC ，

又直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中 AC ⊥CC 1，

且BC CC 1=C ，BC ，CC 1⊂平面BCC 1B 1 ∴AC ⊥平面BCC 1B 1 而BC 1⊂平面BCC 1B 1 ∴AC ⊥BC 1；

（2）设CB 1与C 1B 的交点为E ，连结DE ，

4.

5. （满分12分）

解：（1）列方程组解得公差d =2，公比q =2，

所以a n =1+(n -1) d =2n -1, b n =2n -1 （2）

a n 2n -1352n -32n -1

=n -1, ∴S n =1++2+ +n -2+n -1

2222b n 2

2n +3 n -1

2

2S n -S n =S n =6-

6. (满分12分)

x 2y 2

-=1(x >2) （1）动点的轨迹方程为42

（2）T (4, 0) （3）⋅=4 7. 解法一：

依题设知AB =2，CE =1．

（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD ⊥AC ．

由三垂线定理知，BD ⊥AC ························ 3分 1．

D 1

1

AA 1AC A 1

1 EF G

==在平面ACA 内，连结交于点，由于 AC 11

FC CE

故Rt △A =∠CFE ， 1AC ∽Rt △FCE ，∠AAC 1

∠CFE 与∠FCA 1互余．于是AC ⊥EF ． 1

BED 内两条相交直线BD ，EF 都垂直， AC 1与平面

E

⊥平面BED ． 所以AC ··························· 6分 1

（Ⅱ）作GH ⊥DE ，垂足为H ，连结A 1H ．由三垂线定理知A 1H ⊥DE ，

故∠A 8分

1HG 是二面角A 1-DE -B 的平面角． ··················

EF ==

CG =

CE ⨯CF ，EG ==． =

3EF

EG 11EF ⨯FD =

，GH =⨯=EF 33DE =又AC 1

AG =AC 11-CG =

A G ．tan ∠A 1HG =1=

HG 所以二面角A 1-DE -

B 的大小为 ················ 12分 解法二： 以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D -xyz ．

依题设，B (2，2，，0) C (0，2，，0) E (0，21) ，，A 1(2，0，4) ．

（Ⅰ）因为AC ⊥BD ，AC ⊥DE ． DB =0，AC DE =0，故AC 111 1

，．

分 DE =(0，21) ，，DB =(2，2，0) AC =(-2，2，-4) ，DA 1=(2，0，4) 1又DB DE =D ，所以AC 6分 ⊥平面DBE ． ·················· 1（Ⅱ）设向量n =(x ，y ，z ) 是平面DA 1E 的法向量，则

n ⊥DE ，n ⊥DA 1．故2y +z =0，2x +4z =0．

1，-2) ． ················· 令y =1，则z =-2，x =4，n =(4，9分

n ，AC 等于二面角A 1-DE -B 的平面角， 1

=

=

． 42

． ··············· 12分 42

所以二面角A 1-DE -B 的大小为arccos

8．解：（1）设数列{b n }的公差为d ，则b 4=b 1+3d =2+3d =11，解得 d =3，

∴

5811，，，852． 3分 数列{b n }为2，，，

（2）S =c 1+c 2+ +c 49=2(c 25+c 26+ +c 49) -c 25

=21+2+22+ +224-1=2225-1-1=226-3 8分

（3）d 51=2，d 100=2+3⨯(50-1) =149．

d 2， ，d 50是首项为149，公差为-3的等差数列． 由题意得 d 1，

()()

当n ≤50时，S n =d 1+d 2+ +d n =149n +

n (n -1) 3301

(-3) =-n 2+n ． 222

当51≤n ≤100时，S n =d 1+d 2+ +d n

=S 50+(d 51+d 52+ +d n )

=377+5 n 2-( =

(n -50n ) -(

+2

51) ⨯

3

32299n -n +750．0 22

⎧32301-n +n ，1≤n ≤50，⎪⎪22

综上所述，S n =⎨ 12分

3299⎪n 2-n +7500，51≤n ≤100．⎪⎩22

9．（I ）因为函数f (x ) ，g (x ) 的图象都过点（t ，0），所以f (t ) =0，

32

即t +at =0. 因为t ≠0, 所以a =-t .

g (t ) =0, 即bt 2+c =0, 所以c =ab .

又因为f (x ) ，g (x ) 在点（t ，0）处有相同的切线，所以f '(t ) =g '(t ). 而f '(x ) =3x +a , g '(x ) =2bx , 所以3t +a =2bt .

2

2

2323

将a =-t 代入上式得b =t . 因此c =ab =-t . 故a =-t ，b =t ，c =-t . 6分

（II ）解法一y =f (x ) -g (x ) =x -t x -tx +t , y '=3x -2tx -t =(3x +t )(x -t ) .

当y '=(3x +t )(x -t )

由y '0, 则-

t t

由题意，函数y =f (x ) -g (x ) 在（－1，3）上单调递减，则

t t

(-1, 3) ⊂(-, t ) 或(-1, 3) ⊂(t , -).

33t

所以t ≥3或-≥3. 即t ≤-9或t ≥3.

3

又当-9

∴

a n +1-a n

=t , ∴{a n +1-a n }是首项为t 2-t ，公比为t 的等比数列

a n -a n -1

当t ≠1时，a n +1-a n =t n +1-t n ，⇒a n =t n (t ≠1) ,

所以 a n =t n (t ≠1) . 6分

2a n 2t n 11n 1

（2）由已知得：b n ==, ∴=(t +n ) . 2

b n 21+a n 1+t 2n t

∴

11n 1

b n 22

1111111

++... +

=2n -(1+2-n )

22

-n

2

-1111

综上所述当

2b 1b 2b n

n

14分