圆的基本性质知识点整理

3.1 圆（1）

在同一平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周， 所经过的封闭曲线叫做圆，定点O叫做 ，线段OP叫做 。 如果P是圆所在平面内的一点，d表示P到圆心的距离，r表示圆的半径，那么就有：

d＜点P在圆 ； d 点P在圆上； d＞点P在圆 ；

如图，在ABC中，∠BAC＝Rt∠，AO是BC边上的中线，BC为

O的直径.

（1）点A是否在圆上？请说明理由. （2）写出圆中所有的劣弧和优弧.

如图，在A岛附近，半径约250km的范围内是一暗礁区，往北300km有一灯塔B，往西400km有一灯塔C.现有一渔船沿CB航行，问：渔船会进入暗礁区吗？

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3.1圆（2）

（1）经过一个已知点能作 个圆； ．．

（2）经过两个已知点A,B 能作 个圆；过点A,B任意作一个圆,圆心应该在怎样的一条直线上？

（3）不在同一条直线上的三个点 一个圆

经过三角形各个顶点的圆叫做 ，这个外接圆的圆心叫做三角形的 ，三角形叫做圆的 ；

三角形的外心是 的交点。

锐角三角形的外心在 ； 直角三角形的外心在 ； 钝角三角形的外心在 。

作图：已知△ABC，用直尺和圆规作出△ABC的外接圆

3.2图形的旋转

图形旋转的性质

图形经过旋转所得的图形和原图形 ；

对应点到 的距离相等，任何一对对应点与 连线所成的角度等于 。

1、如图，射线OP经过怎样的旋转，得到射线OQ？

2、如图，以点O为旋转中心，将线段AB按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的线段AB，并求直线AB与直线AB所成的锐角的度数。

3、如图,以点O为旋转中心,将△ABC按顺时针方向旋转60°,作出经旋转所得的图形。

3.3垂径定理（1）

圆是 图形，它的对称轴是 。 如图，直径CD垂直于弦AB，根据对称性你能发现哪些相等的量？填一填：∵CD是直径，CD⊥AB ∴

（文字描述）垂径定理： 。

如图，圆心O到圆的一条弦AB的距离OC叫做 。

记半径为r，弦长为a，弦心距为d，这三者之间的关系式

为 。

运用“半径、半弦、弦心距”之间的关系求解下列题目

1、⊙O的弦AB的长为8cm,弦AB的弦心距为3cm,则⊙O的半径为( ) (A)4cm. (B)5cm. (C)8cm. (D)10cm.

2、已知⊙O的半径为13cm,一条弦的弦心距为5cm.求这条弦的长

3、如图所示，为一条排水管的截面图，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB为16，求截面圆圆心O到水面的距离OC

3.3垂径定理（2）

（文字描述）垂径定理的逆定理1：

。 （符号描述）∵CD是直径，AP=BP

∴

（文字描述）垂径定理的逆定理2：

。 （符号描述）∵CD是直径，AC＝BC

∴

如图所示，圆弧AB的中点C到弦AB的距离PC叫做 。 弓高h、半径r和弦心距d之间的关系是 。 垂径定理综合运用

1、如图,一圆弧形钢梁的拱高为8m,跨径为40m.求这钢梁圆弧的半径长.

2、已知:如图,⊙O的直径PQ分别交弦AB,CD于点M,N, AM＝BM,AB∥CD.求证:DN＝CN.

3、如图,⊙O的直径CD垂直弦AB于点E,且CE＝3cm, DE＝7cm.求AB的长.

4、已知O的半径为5cm,弦AB∥CD,AB＝6cm,CD＝8cm.求AB与CD之间的距离

.

3.4圆心角（1）

顶点在圆心的角叫做 。 圆心角定理：

在 中，相等的圆心角所对的 相等，所对的 也相等。 在 中，相等的圆心角所对两条弦的 相等 符号语言

在⊙O中：∵∠AOB=∠COD

∴ (弦相等) (弧相等) (弦心距相等)

我们把n°的圆心角所对的弧叫做 的弧 练一练：

1、下列命题中，不正确的是（ ） A、圆是轴对称图形

B、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C、圆是轴对称图形，但不是中心对称图形 D、圆是中心对称图形

2、如图，AB，CD是O的直径，若∠AOC=70°，则AC的度数是 ，BD的度数是 ，AD的度数是 。 3、已知：如图，∠1＝∠2. 求证：AC＝BD.

4、如图，O的直径AB垂直于弦CD于点E，∠COD＝100°. 求BC，AD的度数.

圆心角定理的逆定理：

在 中，如果两个 、 、 、 中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对量 。

1、如图，等边三角形ABC内接于O，连结OA，OB，OC，延长AO，分别交BC于点P，交BC于点D，连结BD，CD，

① 判断四边形BDCO是哪一种特殊四边形，并给出证明。

四边形BDCO是 ，证明如下： ∵AB=BC=CA

∴∠AOB= = =120° ∴∠BOD= 又∵

∴△BOD是 三角形

同理，△COD是

∴ 记四边形BDCO是 ② 若O的半径为r，求等边三角形ABC的边长

2、已知，如图，△ABC为等边三角形，以AB为直径的O分别

交AC，BC于点D，E，求证：AD=DE=EB.

3、 下列说法正确的是 ① 圆心角相等，所对的弦相等； ③ 弦相等，所对的圆心角相等 ② 等弧所对的弦相等 ④ 在同圆或等圆中，相等的弦所对的弧相等

顶点在 ，角的两边都和圆 的角叫做圆周角

圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的 度数的一半。

已知一条弧所对的圆周角等于70°，则这条弧所对的圆心角是 °。 一条50°的弧所对的圆心角是 °，圆周角是 °。

一条弧所对的圆心角的度数为95°，则这条弧是 °，它所对的圆周角是 °。

一条弧的度数是180°，则它所对的圆心角是 °， 圆周角是 °。

推论：半圆（或 ）所对的圆周角是 。

如图所示，∠C=90°，则∠AOB= ，AB是⊙O的 。 推论：90°的圆周角所对的弦是 。

练习：如图，等腰三角形ABC的顶角∠BAC为40°，以腰AB为直径作半圆，交BC于点D，交AC于点E，求BD，DE和AE的度数。

变式1：已知，如图，AB为圆O的直径，AB=AC，BC交圆O于点D，AC交圆O于点E，求证：BD=CD

变式2：如图，已知圆心角∠AOB的度数为100°,则圆周角∠ACB的度数是( ) A.80° B.100° C.120° D.130°

3.5圆周角（2）

推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 相等， 的圆周角所对的弧也相等。 基本图形：如图所示：∵BC=BC

∴∠ =∠

练一练：

1.如图,ABC内接于圆,ABAC,BC的度数为60. 求B,C的度数.

2.已知：如图,AB是O的直径,弦AB与半径OD平行.求证：CDBD.

综合练习：

已知半径为5的O

中，弦ABAC5，则∠BAC的度数是（ ） A．15

B．210

C．105或15

D．210或

30

A

如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，∠A BC=30°过圆心O作 OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠°．

已知，如图：AB为⊙O的直径，AB＝AC，BC交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC＝450。给出以下五个结论：①∠EBC＝22.50，；②BD＝DC；③AE＝2EC；④劣弧AE是劣弧DE的2倍；⑤AE＝BC。其中正确结论的序号是 。





O

E

B

D20 题图

C

3.6圆内接四边形

如果一个四边形的各个顶点在 ，那么这个四边形叫做 ，这个圆叫做 。

性质：圆内接四边形的对角 。

圆内接四边形的外角等于它的 。

练一练：已知圆内接四边形有一个内角是50°,则它的对角的度数为 °.

如图,AB是半圆O的直径,∠BAC＝40°,则∠D= .

已知圆内接四边形ABCD中,∠A :∠B:∠C＝2:3:7.求∠D的大小.

综合练习：已知，如图，AD是△ABC的外角∠EAC的平分线，与△ABC的外接圆交于点D，求证：DB=DC

分析：要证明DB=DC，只需证明∠ =∠ 证明：

3.7正多边形

我们把 、 的多边形叫做正多边形；任何正多边形都有一个 。

计算：已知一个正多边形的内角为120°，这个正多边形是 。 已知一个正多边形的外角为45°，这个正多边形是 。 正五边形的内角等于 °。

选择：下列图形中，是中心对称图形的是 ，

是轴对称图形的是

① ② ③ ④

作图：用直尺和圆规做圆的内接正六边形

3.8弧长及扇形的面积（1）

在半径为R的圆中，n°的圆心角所对的弧长l的计算公式为： 公式变形： 半径R= 圆心角的度数n=

公式运用：（1）半径为3的圆弧的度数为100°，则这条弧长为 ；

（2）半径为5的圆弧长为5π，则这条弧所对的圆心角的度数为 ； （3）已知圆弧的度数为60°，弧长为6π，则圆的半径为 。

3.8弧长及扇形的面积（2）

如果扇形的半径为R，圆心角为n°，扇形的弧长为l， 那么扇形面积S= = 公式运用

1、已知圆的半径为6cm，求下列各扇形的面积

（1） 圆心角为135°的扇形 （2）弧长为4π的扇形

2、已知一个扇形的面积为12πcm2，圆心角为216°，求它的弧长。 练一练

1. 如图,水平放置的圆柱形排水管的截面半径为12cm,截面中有水部分弓形的高为6cm.求截面中有水部分弓形的面积.

2.如图为某水管截面中水面面积示意图，其中水管的直径为2.5米，∠AOB=45°，求截面中有水部分的面积.

3.如图所示，折扇的骨柄长a=16cm，折扇扇面的宽度是骨柄长的一半，折扇张开的角度为120°，求折扇扇面的面积

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