[备考2014志鸿优化设计]2013版中考数学总复习

第1讲 实数

知识梳理

一、实数的分类

二、实数的有关概念及性质 1．数轴

(1)规定了______、________、____________的直线叫做数轴； (2)实数与数轴上的点是一一对应的． 2．相反数

(1)实数a的相反数是____，零的相反数是零； (2)a与b互为相反数a＋b＝____. 3．倒数

(1)实数a(a≠0)的倒数是____； (2)a与b互为倒数______. 4．绝对值

(1)数轴上表示数a的点与原点的______，叫做数a的绝对值，记作|a|. (a>0)，

(2)|a|＝ (a＝0)，

 (a

5．平方根、算术平方根、立方根

(1)平方根

2

①定义：如果一个数x的平方等于a，即x＝a，那么这个数x叫做a的平方根(也叫二次方根)，数a的平方根记作______．

②一个正数有两个平方根，它们互为________；0的平方根是0；负数没有平方根．

(2)算术平方根

2

①如果一个正数x的平方等于a，即x＝a，那么这个正数x叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作____．零的算术平方根是零，即0＝0.

②算术平方根都是非负数，即a≥0(a≥0)．

a(a≥0)，22

a)＝a(a≥0)，a＝|a|＝

－a(a

(3)立方根

3

①定义：如果一个数x的立方等于a，即x＝a，那么这个数x叫做a的立方根(也叫三次方根)，数a的立方根记作______．

②任何数都有唯一一个立方根，一个数的立方根的符号与这个数的符号相同． 6．科学记数法、近似数、有效数字 (1)科学记数法

把一个数N表示成______(1≤a＜10，n是整数)的形式叫做科学记数法．当N≥1时，n等于原数N的整数位数减1；当N＜1时，n是一个负整数，它的绝对值等于原数中左起第一个非零数字前零的个数(含整数位上的零)．

(2)近似数与有效数字

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位，这时从______第1个不为0的数字起，到末位数字止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字．

三、非负数的性质 1．常见的三种非负数

2

|a|≥0，aa≥0(a≥0)． 2．非负数的性质

(1)非负数的最小值是零；

(2)任意几个非负数的和仍为非负数；

(3)几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0. 四、实数的运算 1．运算律

(1)加法交换律：a＋b＝______.

(2)加法结合律：(a＋b)＋c＝________. (3)乘法交换律：ab＝____.

(4)乘法结合律：(ab)c＝______.

(5)乘法分配律：a(b＋c)＝__________. 2．运算顺序

(1)先算乘方，再算乘除，最后算加减；(2)同级运算，按照从____至____的顺序进行；(3)如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的．

3．零指数幂和负整数指数幂

(1)零指数幂的意义为：a＝____(a≠0)；

－p

(2)负整数指数幂的意义为：a＝______(a≠0，p为正整数)． 五、实数的大小比较 1．实数的大小关系

在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数____．

正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小． 2．作差比较法

(1)a－b＞

0a＞b；(2)a－b＝

0a＝b；(3)a－b＜

0a＜B． 3．倒数比较法 11

若a＞0，b＞0，则a＜B．

ab

4．平方法

因为由a＞b＞0ab，所以我们可以把ab的大小问题转化成比较a和b的大小问题．

(提示：本书[知识梳理]栏目答案见第122—123页) 自主测试

1

1．(2012湖北黄石)的倒数是( )

3

11A B．3 C．－3 D．－ 332．－2的绝对值等于( )

11

A．2 B．－2 C． D．－22

3．下列运算正确的是( )

31－1

A．－|－3|＝3 B．＝－3 C9＝±3 D．－27＝－3

3

4．(2012北京)首届中国(北京)国际服务贸易交易会(京交会)于2012年6月1日闭幕，本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元．将60 110 000 000用科学记数法表示应为( )

99 1011

A．6.011×10 B．60.11×10C．6.011×10 D．0.6011×10

5．已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图所示，则下列判断正确的是(

)

A．m＞0 B．n＜0 C．mn＜0 D．m－n＞0

2

6．计算：|－5|＋

16－3.

考点一、实数的分类

【例1】 (2012云南)写出一个大于2且小于4的无理数：__________.

22

解析：设这个无理数为a，∵2＝4,4＝16，则4＜a＜16，∴只要这个无理数的底数满足4～16511等．

5，11等(答案不唯一)

方法总结 本题在一定范围内确定一个无理数，首先明确无理数的意义，再确定这个无理数左右两边最接近的整数，从而确定这个无理数．

3

触类旁通1在实数5，2，4中，无理数是( )

7

3

A．5 B． C2 D．4

7

考点二、相反数、倒数、绝对值与数轴

【例2】 (1)(2012湖南娄底)2 012的倒数是( )

11A B C．2 012 D．－2 012 2 0122 012

(2)(2012湖南株洲)－9的相反数是( )

11

A．9 B．－9 C． D．－

99

(3)(2012湖南娄底)写出一个x的值，使|x－1|＝x－1成立，你写出的x的值是__________．

1

解析：(1)2 012.

2 012

(2)只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0，∴－9的相反数是9. (3)∵|x－1|＝x－1，∴x－1≥0，x≥1，故答案不唯一，只要x≥1即可． 答案：(1)A (2)A (3)答案不唯一，如2等．

方法总结 1.求一个数的倒数，直接用1除以这个数；求一个数的相反数，直接在这个数的前面加上负号，0除外，有时需要化简得出．

2．解有关绝对值和数轴的问题时常用到字母表示数的思想、分类讨论思想和数形结合思想．

3．相反数是它本身的数只有0；绝对值是它本身的数是0和正数(即非负数)；倒数是它本身的数是±1.

触类旁通2下列各数中，相反数等于5的数是( )

11

A．－5 B．5 C D．

55

考点三、平方根、算术平方根与立方根

2

【例3】 (1)(－2)的算术平方根是( ) A．2 B．±2 C．－2 D．2

(2)实数27的立方根是__________．

22

解析：(1)(－2)的算术平方根，即(－2)＝|－2|＝2； 3

(2)27的立方根是27＝3. 答案：(1)A (2)3

方法总结 1.对于算术平方根，要注意：(1)一个正数只有一个算术平方根，它是一个正数；(2)0的算术平方根是0；(3)负数没有算术平方根；(4)a具有双重非负性：①被开方数a是非负数，即a≥0；②算术平方根aa≥0. 3332．(a)＝a，＝A．

触类旁通34的平方根是( ) A．2 B．±2 C．16 D．±16

考点四、科学记数法、近似数、有效数字

2

【例4】 (2012湖南常德)我国南海海域的面积约为350 000 km，该面积用科学记数法

2

应表示为__________km.

n

解析：用科学记数法表示的数必须满足a×10(1≤|a|＜10，n为整数)的形式，则3 500

6

000＝3.5×10.

6

答案：3.5×10

方法总结 1.用科学记数法表示数，当原数的绝对值大于或等于1时，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数中左起第一位非零数字前零的个数．

2．取一个数精确到某一位的近似数时，应对“某一位”后的第一个数进行四舍五入，而之后的数不予考虑．

3．用科学记数法表示的近似数，乘号前面的数(即a)的有效数字即为该近似数的有效数字；而这个近似数精确到哪一位，应将用科学记数法表示的数还原成原来的数，再看最后一个有效数字处于哪一个数位上．

－4

触类旁通4某种细胞的直径是5×10毫米，这个数是( )

A．0.05毫米 B．0.005毫米 C．0.000 5毫米 D．0.000 05毫米 考点五、非负数性质的应用

22

【例5】 若实数x，y满足x－2＋(3－y)＝0，则代数式xy－x的值为__________．

22

解析：因为x－2≥0，(3－y)≥0，而x－2＋(3－y)＝0，所以x－2＝0,3－y＝0，

22

解得x＝2，y＝3，则xy－x＝2×3－2＝2.

答案：2

2

方法总结 常见的非负数的形式有三种：|a|a(a≥0)，a，若它们的和为零，则每一个式子都为0.

2

触类旁通5若|m－3|＋(n＋2)＝0，则m＋2n的值为( ) A．－4 B．－1 C．0 D．4 考点六、实数的运算

－10

【例6】 计算：(1)2＋3cos 30°＋|－5|－(π－2 011).

(2)(－1)

2 011

501－3－＋cos 68°＋＋

|33－8sin 60°|. π2

13－10

(1)分析：2＝，cos 30°＝，|－5|＝5，(π－2 011)＝1.

221313

解：原式＝＋3×＋5－1＝＋＋5－1＝6.

2222

5031－3－1－33

(2)分析：＝(2)＝2＝8，cos 68°＋＝1，sin 60°＝.

π22

3

＝－8＋3. 2

－

点拨：(1)根据负整数指数幂的意义可把负整数指数幂转化为正整数指数幂运算，即a解：原式＝－1－8＋1＋33－8×10

＝p(a≠0)．(2)a＝1(a≠0)．

p



a

方法总结 提高实数的运算能力，首先要认真审题，理解有关概念；其次要正确、灵活地应用零指数、负整数指数的定义、特殊角的三角函数、绝对值、相反数、倒数等相关知识及实数的六种运算法则，根据运算律及顺序，选择合理、简捷的解题途径．要特别注意把好符号关．

考点七、实数的大小比较

【例7】 比较2.5，－3，7的大小，正确的是( )

A．－3＜2.5＜7 B．2.5＜－3＜7 C．－3＜7＜2.5 D．7＜2.5＜－3

22

解析：由负数小于正数可得－3最小，故只要比较2.5和7的大小即可，由2.5＜(7)，得2.5＜7，

所以－3＜2.5＜7. 答案：A

方法总结 实数的各种比较方法，要明确应用条件及适用范围．如：“差值比较法”用于比较任意两数的大小，而“商值比较法”一般适用于比较符号相同的两个数的大小，还有“平方法”、“倒数法”等．要依据数值特点确定合适的方法．

触类旁通6在－6,0,3,8这四个数中，最小的数是( ) A．－6 B．0 C．3 D．8

1．(2012湖南长沙)－3的相反数是( ) 11

A． B．－3 C．－ D．3 33

2．(2012湖南娄底)娄底市针对城区中小学日益突出的“大班额”问题，决定自2012年起启动《中心城区化解大班额四年(2012年～2015年)行动计划》，计划投入资金8.71亿元，力争新增学位3.29万个.3.29万用科学记数法表示为( )

5643

A．3.29×10 B．3.29×10 C．3.29×10 D．3.29×10

3．(2012湖南湘潭)文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比输入的数的平方小1，若输入7，则输出的结果为( )

A．5 B．6 C．7 D．8

4．(2012湖南常德)若向东走5米记作＋5米，则向西走5米应记作__________米．

2b

5．(2012湖南长沙)若实数a，b满足：|3a－1|＋b＝0，则a＝__________.

26．(2012湖南常德)规定用符号[m]表示一个实数m的整数部分，例如＝0，[3.14]3＝3，按此规定[10＋1]的值为__________．

7．(2012湖南娄底)计算：|－2|＋(－3)－4＝__________.

1．下列各数中，最小的数是( ) A．0 B．1 C．－1 D．－2 2．若|a|＝3，则a的值是( )

1

A．－3 B．3 C． D．±3

3

3．下列计算正确的是( )

1A．(－8)－8＝0 B．×(－2)＝1 2

C．－(－1)＝1 D．|－2|＝－2

4．如图，数轴上A，B两点对应的实数分别为1和3，若点A关于点B的对称点为C，则点C所表示的实数是(

)

A．3－1 B．13 C．2＋3 D．23＋1

1

5．(1)实数____．

2

(2)写出一个比－4大的负无理数__________．

6．若将三个数－3，7，11表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是__________．

11

7．定义一种运算☆，其规则为a☆b根据这个规则，计算2☆3的值是__________．

ab

8．如图，物体从点A出发，按照A→B(第1步)→C(第2步)→D→A→E→F→G→A→B→„的顺序循环运动，则第2 012步到达点________处．

9．计算：|－2|＋(－1)

2 012

－(π－4).

参考答案

【知识梳理】

一、正整数 正无理数

二、1.(1)原点 正方向 单位长度

1

2．(1)－a (2)0 3.(1)(2)ab＝1

a

4．(1)距离 (2)a 0 －a

3

5．(1)①±a(a≥0) ②相反数 a (3)①a

6．(1)a×10 (2)左边

四、1.(1)b＋a (2)a＋(b＋c) (3)ba (4)a(bc) (5)ab＋ac

1

2．(2)左 右 3.(1)1 (2)

a

五、1.大

导学必备知识 自主测试

111．C ∵－3×－＝1，∴－的倒数是－3. 33

2．A

1－1

3．D A中－|－3|＝－3，B中＝3，C中9＝3.

3

n

4．C 因为科学记数法的形式为a×10，用科学记数法表示较大的数，其规律为1≤a

10

＜10，n是比原数的整数位数小1的正整数，所以60 110 000 000＝6.011×10.

5．C 因为从数轴可知：m小于0，n大于0，则mn＜0，m－n＜0.

2

6．解：|－5|16－3＝5＋4－9＝0. 探究考点方法

3

触类旁通1.C 因为5是整数，4＝2是整数．

7

1111

触类旁通2.A 因为5的相反数是－55555

触类旁通3.B

－2,－3,－4,

触类旁通4.C 因为0.05＝5×100.005＝5×100.000 5＝5×100.000 05＝5×10－5

，故选C.

22

触类旁通5.B 因为|m－3|≥0，且(n＋2)≥0，又因为|m－3|＋(n＋2)＝0，所以m－3＝0且n＋2＝0.所以m＝3，n＝－2，所以m＋2n＝3＋2×(－2)＝－1.

触类旁通6.A 因为根据正数大于0,0大于负数，正数大于负数，解答即可． 品鉴经典考题 1．D

n

2．C 因为科学记数法的形式为a×10，用科学记数法表示较大的数，其规律为1≤a＜10，n是比原数的整数位数小1的正整数，3.29万＝32 900，所以3.29万用科学记数法

4

表示为3.29×10.

2

3．B 7，则输出的数为(7)－1＝7－1＝6. 4．－5

22

5．1 ∵|3a－1|≥0，b≥0，且|3a－1|＋b＝0，

110b

∴3a－1＝0，b＝0，∴a＝，b＝0，∴a＝＝1.

336．4 ∵9＜1016，即3＜10＜4，

10＋1＜510＋1]＝4. 7．1 原式＝2＋1－2＝1. 研习预测试题

1．D 因为正数和02＞1，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，所以－2最小．

2．D 绝对值为3的数有＋3和－3两个，且互为相反数．

10

3．B (－8)－8＝－16，－×(－2)＝1，－(－1)＝－1，|－2|＝2.

2

4．A 因为数轴上A，B两点对应的实数分别为13， 所以OA＝1，OB＝3.所以AB＝OB－OA3－1. 由题意可知，BC＝AB3－1.

所以OC＝OB＋BC＝3＋(3－1)＝3－1. 5．(1)2 (2)－4＋2(答案不唯一)

6.7 3＜0，11＞3,1＜7＜3. 5113257. 因为2☆3＝＋＝＝. 623666

8．A 由题意知，每隔8步物体到达同一点，因为2 012÷8＝251余4，所以第2 012步到达A点．

9．解：原式＝2＋1－1＝2.