第一课时根式及分数指数幂教案
第一课时根式及分数指数幂
教学目的：
1. 掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中 2. 理解分数指数幂的概念. 掌握有理指数幂的运算性质. 3. 会对根式、分数指数幂进行互化. 4．培养学生用联系观点看问题. 教学重点：1. 分数指数幂的概念.
2. 分数指数幂的运算性质.
教学难点：对分数指数幂概念的理解. 授课类型：新授课 教学过程：
一、复习引入
1．整数指数幂的概念 a n =a ⋅ a ⋅a a (n ∈N *)；
n 个a
a 0=1(a ≠0) ； a -n =
1
(a ≠0, n ∈N *) a n
2．运算性质：
a m ⋅a n =a m +n (m , n ∈Z )
(a m ) n =a mn (m , n ∈Z )
(ab ) n =a n ⋅b n (n ∈Z )
3．注意
① a m ÷a n 可看作a m ⋅a -n ∴a m ÷a n =a m ⋅a -n =a m -n
a n a n n -n a n n -n
② () 可看作a ⋅b ∴() =a ⋅b =n
b b b
二、讲解新课
1、根式
知识回顾：中学的平方根和立方根是如何定义的呢？ 一般地，如果x =a ，那么x 叫做a 的平方根， a的正平方根叫做a 的算术平方根，正数有两个平方根， 负数没有平方根，0的平方根是0，0的算术平方根也是0。 一般地，如果x =a ，那么x 叫做a 的立方根。 类比上述两定义，一般地，如果
一个数的四次方等于a ，则这个数叫做a 的四次方根；
一个数的五次方等于a ，则这个数叫做a 的五次方根；…… 定义形成：
32
一般地，如果x =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,且n ∈ N+. 定义1：如果x =a (n>1, n ∈N ) ，那么x 叫做a 的n 次方根。 定义2：式子x =a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 【小试牛刀1】 一、填空：
（1）27的立方根等于
（2）-32的五次方根等于 （3）a 6的三次方根等于
（4）25的平方根等于 （5）16的四次方根等于 （6）0的七次方根等于
n n
*
n
总结：根式性质：
① 当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数。
记作：x =a
② 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）。记作： x =±a ；
负数没有偶次方根。
③ 0的任何次方根为0。记作：0=0 ④ (a ) n =a
【师生探究1】a =a 一定成立吗？
n
n
总结：当n 为奇数时，a =a 。
当n 为偶数时，二、化简下列等式
3
a
2
n
=a =
4
{
a (a >0) -a (a
2
(a >b ) （1）-8） （2）-10） （3）3-π） （4）a -b ）
【变式】去掉‘a>b’结果如何？
2、分数指数幂
【师生探究2】：观察下列式子，并总结出一定的规律（a>0）
210=
25
2
=25=2=34=3
102
312=a
12
343
3
123
124105
=
(a )
4
=a
3
=a
a 10=
(a 2) 5=a 2=a
问题：1、从以上四个例子你能发现什么结论？
2、a 2, , c 5如何表示？
结论1：方根的结果与分数指数幂是相通的，分数指数幂只是方根的另一种写法。
规定a
【小试牛刀2】
一 将下列各根式和分数指数幂进行互化：
m n
=a m (a >0, m , n ∈N *, n >1)
m n
(2
) (4) x (3a ) a (>0(-y ) x (>y )
2
334
【点拨】利用a
问题3、a 分析：a
-
=
-
m n
=?(a >0, m , n ∈N *, n >1)
0-m n
m n
=a
m n
=
a 0a
m n
=
1
a m
(a >0, m , n ∈N *, n >1
结论2：a
-
=
1a
m n
二、学案例题2（学生板书）
1
解下列方程 （1）x = （2）2x 4-1=15
8
-13
3
规定：（1）0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
（2）有关化简的习题中，规定若无特殊说明，底数中的字母均为正数。 3、有理指数幂的运算性质：
a m ⋅a n =a m +n (m , n ∈Q ) (a m ) n =a mn (m , n ∈Q ) (ab ) n =a n ⋅b n (n ∈Q )
【课堂练习】
1、学案例题1 +预习引导2 —求值：
1⎛1⎫
（1
）8⨯100 ⎪. （2）7-324-6+3.
9⎝4⎭
-
2
312
-3
（3）23⨯. 5⨯ （4
12
-12
x >0, y >0) 2、学案例题3已知a +a =3，求下列各式的值：
a a
3212
（1）a +a -1；（2）a 2+a -2；（3）
+a -a
-
3
212
-
3、学案例题4 已知f (x ) =2x -2-x , g (x ) =2x +2-x .
（1）求[f (x )]2-[g (x )]2的值；（2）设f(x)f(y)=4,g(x)g(y)=8, 求
1
2
g (x +y )
的值。
g (x -y )
4 学案预习引导5 f (x ) =(x -2) -(3x -7) 4、课堂小结
的定义域为__________________.
（师）通过本节学习，要求大家理解分数指数幂的意义，掌握分数指数幂与根式的互化，熟练运用有理指数幂的运算性质.
5、课后作业
1、（必做题）学案上的课后检测 2、（选做题）化简：
（1
（2）
a -1
)+
2
1-a 2+1-a 3
备选题:
1、若10a =5,100b =2, 则a +2b =
2
1-3
（5x -4+(x -1) 3有意义，则x 的取值范围是： 2、要使
2
3、若a>1，b
，且a +a
b -b
=a b -a -b =