1.映射与函数的概念
第1讲 映射与函数的概念
一、映射
(1) 映射的概念:设A,B是两个集合,如果按照某种对应法则f ,对于集合A中的任何一个元素,
在集合B中都有惟一的元素与它对应,这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射,记作
f :A →B .
(2) 象和原象:给定一个集合A到B的映射,且a ∈A ,b ∈B ,如果元素a 和元素b 对应,那么,我们把元素b 叫做元素a 的象,元素a 叫做元素b 的原象.
二、函数
(1) 传统定义:如果在某变化过程中有两个变量x ,y ,并且对于x 在某个范围内的每一个确定的值,
按照某个对应法则f ,y 都有惟一确定的值和它对应,那么y 就是x 的函数,记为y =f (x ) .
(2) 近代定义:函数是由一个非空数集到另一个非空数集的映射.
(3) 函数的三要素:函数是由定义域、值域以及从定义域到值域的对应法则三部分组成的特殊的映射. (4) 函数的表示法:解析法、列表法、图象法.
理解好函数概念还必须注意以下几点:
① 函数是一种特殊的映射,集合A、B都是非空的数的集合.
② 确定函数的映射是从定义域A到值域C上的映射,允许A中的不同元素在C中有相同的象,但不允许C中的元素在A中没有原象.
③ 两个函数只有当定义域、值域、对应法则都分别相同时,这两个函数才相同.
④ 函数的定义域、值域、对应法则f 统称为函数的三要素,其中对应法则f 是核心,f 是使对应得以实
现的方法和途径,是联系x 与y 的纽带.定义域是自变量x 的取值范围,是函数的一个重要组成部分.同一个函数的对应法则,由于定义域不相同,函数的图像与性质一般也不相同. ⑤ 函数的图像可以是一条或几条平滑的曲线也可以是一些离散的点,一些线段等. ⑥
它是一个常量;f (x ) 是x f (a ) 的含义与f (x ) 的含义不同.f (a ) 表示自变量x =a 时所得的函数值,
的函数,通常它是一个变量. 定义法
用数学概念的基本定义解决相关问题的方法,称之为定义法.利用定义解题的关键是把握住定义的本质特征.
[例1] 已知函数f (x ) 的定义域为[-1,5],在同一直角坐标系下,函数y =f (x ) 的图象与直线x =1的交点个数为( )
A .0个 B .1个 C .2个 D .0个或1个 解析:∵f (x ) 的定义域为[-1,5],而1∈[-1,5] ∴点(1,f (1))在函数y =f (x ) 的图象上 而点(1,f (1))又在直线x =1上
∴直线x =1与函数y =f (x ) 的图象必有一个交点(1,f (1))
根据函数的定义知,函数是一个特殊的映射,即对于定义域[-1,5]中的任何一个元素,在其值域中有唯一确定的元素f (1)与之对应,故直线x =1与y =f (x ) 的图象有且只有一个交点.选B.
三、典型例题
题型一. 映射与函数的概念
[例1] 判断下列各组中两个函数是否为同一函数.
解析:(1)函数的定义域、对应法则均相同,所以是同一函数.
(2)y = =x +1,但x ≠1,故两函数定义域不同,所以它们不是同一函数.
(3)函数f (x ) = ·的定义域为{x |x ≥0}.
而g (x ) = 的定义域为{x |x ≤-1或x ≥0},
它们的定义域不同,所以它们不是同一函数. (4)去掉绝对值号可知f (x ) 与g (x ) 是同一函数.
总结评述:当一个函数的对应法则和定义域确定后,其值域随之得到确定,故函数的三要素(定义域、值域、对应法则) 可简化为两要素(定义域、对应法则) ,所以两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时为同一函数.
练习:下列各组函数中,表示相同函数的是 (D )
x a
(A )f (x )=ln
x ,
2
g (x )=2ln x (B )f (x )=a
2
log
(a >0, a ≠1)
a a
x
, g (x )=x
(a >0, a ≠1),
g (x )=
(C )f (x )=
(1)A =
-x
, g (x )=1-x (x ∈[-1, 1](D )f (x )=log
x
3
例2、下列对应是否为从A 到B 的映射?能否构成函数?
R , B =R , f :x →y =
1x +1
不,不
(2)A =⎨a
⎩
⎧1
⎧⎫11*⎫
a ∈N ⎬, B =⎨b b =, n ∈N ⎬, f :a →b = 是,是 2n a ⎭⎩⎭
(3)A ={平面α内的矩形}, B ={平面α内的圆},
f :作矩形的外接圆。是,不
2
(4)A ={x x ≥0},B=R f:x →y =x ,不,不
总结评述:欲判断对应f :A →B 是否是从A 到B 的映射,必须做两点工作:①明确集合A 、B 中的元素.②根据对应法则判断A 中的每个元素是否在B 中能找到惟一确定的对应元素.
例3( 06年浙江卷)函数f :{1,2,3}→ {1,2,3},满足f(f(x))=f(x),这样的函数个数( D ) A. 1 B. 4 C. 8 D. 10
练习:设集合M ={-1, 0, 1}, N ={2, 3, 4, 5, 6}, 映射f :M →N , 使对任意的x ∈M 都有 x+f(x)+xf(x)是奇数,这样的映射f 共有()个
A 、22 B 、15 C 、50 D 、27
解:分步为-1,0,1找象, 当x 为偶数时,f(x)必为奇数, 当x 为奇数时,f(x)可奇可偶, 所以当x=0时,f(x)只取3,5中一个, 当x=-1或,1,f(x)可取2,3,4,5,6中任意一个, 由乘法原理知, 这个的映射的个数共有5×5×2=50 题型二. 求定义域
例4(1)求下列函数的定义域:f (x ) =
x -5x +6+
2
(x -1)
x +x
的定义域.
(2)已知函数f (x ) 的定义域是(a , b ) ,求函数F (x ) =f (3x -1) +f (3x +1) 的定义域. (3)已知函数f(2x )的定义域是[-1,1],求f(log2x) 的定义域.
解:由函数解析式有意义,得 ⎧x 2-5x +6≥0⎪⎧x ≥3或x ≥2
⎨
x -1≠0⇒⎪
⎨x ≠1⇒0
x +x >0
⎪⎩x >0故函数的定义域是(0, 1) (1, 2] [3, +∞) .
⎧a +1
(2)由⎧a
33
⎪a -1b -1 . ⎪⎩3
b -13
,即b -a >2
此时,
a +1b -13
3
,函数的定义域为(
a +1b -31
3
); (2)∵y=f(2x ) 的定义域是[-1,1],即-1≤x≤1,12
≤2x ≤2. ∴函数y=f(log1
2x) 中2≤log2x≤2.即log 2
2
≤log2x≤log24, ∴
2
≤x≤4.
故函数f(log2x) 的定义域为[
2
,4]
练习:
题型三. 实际问题中函数定义域的确定
四、作业: 1. 求函数f(x)=
lg(|x |-x ) -x
2
的定义域.
解 由⎪⎨
⎧|x |-x >0⎧x 0
∴-1<x <0. ∴函数f(x)=
lg(|x |-x ) -x
2
的定义域为(-1,0).
2.已知向量a =(1, 1), b =(1, 0), c 满足a ⋅c =0,且a =c ,b ⋅c >0
(1)求向量c (2)若映射f :(x , y ) →(x ', y ') =x a +y c ,
① 求映射f 下(1, 2) 的原象;
② 若将(x , y ) 作点的坐标,问是否存在直线l ,使得直线l 上任一点在映射f 的作用下,仍在直线l 上,
若存在,求出l 的方程,若不存在,请说明理由.
⎧x +y =0
⎧x =1⎪2
2
x +y =2解:(1)设c =(x , y ), 则⎨ ∴⎨ ∴c =(1, -1)
⎩y =-1⎪x >0⎩
(2)①∵x (1, 1) +y (1, -1) =(1, 2) , ∴x =
32
, y =-
12
∴原象是(, -
2
312
) ;
② 假设l 存在,设其方程为y =kx +b (k ≠0)
∴x a +y c =(x +y , x -y ) .∵点(x +y , x -y ) 在直线l 上,∴x -y =k (x +y ) +b 即(1+k ) y =(1-k ) x -b 与y =kx +b 表示同一直线 ∴b =0, k =-1±
直线l 存在,其方程为y =(-1±2,∴
2) x