概率论教案2-3
一般地,设X 是以p (x ) 为密度的连续型随机变量.并设Y =f (X ) ,则Y 也是连续型随机变量.本节讨论如何从X 的分布出发,应用一定的方法和技巧,求Y 的分布.
一 离散型随机变量函数的分布列
例1 设某球员在固定点投篮的命中率是0.8,他投篮5次,用X 表示进球数,则 X ~B (5, 0. 8) ,其概率分布列为
如果采用的计分办法是每进一球得2分,则该球员的得分为Y =2X ,Y 的取值为0,2,4,6,8,10.Y 的值也是这个随机试验(即该球员投篮5次)的结果, 所以,Y 也是随机变量,那么如何求Y 的概率分布呢?我们注意到X 和Y 的取值是一对一的关系,所以有如下等价事件:
{Y =0}={X =0},{Y =2}={X =1},{Y =4}={X =2},„, 于是, P {Y =0}=P {X =0}=
155
,P {Y =2}=P {X =1}=
2055
,P {Y =4}=P {X =2}=
16055
,„,
从而,得Y 的概率分布列为
若函数Y =f (X ) 不是一对一的,则Y 的概率分布列的求法就不象上面那么简单.
二 连续型随机变量的函数
设X 为连续型随机变量,Y =f (X ) 是连续函数.则Y 也是连续型随机变量,根据X 的概率密度p (x ) 求出Y 的概率密度p Y (y ) .一般步骤如下:
(1)先求Y 的分布函数F Y (y ) =P {Y ≤y } :从不等式Y =f (X ) ≤y 解出X ∈I (其中I 是x 轴上的一个区间或若干区间的并集),于是得到等价事件“Y ≤y ”=“X ∈I ”,所以,
F Y (y ) =P {Y ≤y }=P {X ∈I }=⎰p (x ) dx ,其中右端的I
I
表示定积分的积分范围;
(2)对F Y (y ) 求导,得到 p Y (y ) =F Y '(y ) . 例3 设X 的概率密度为
⎧1
⎪x , x ∈(0, 2),
p (x ) =⎨2
⎪其它. ⎩0,
令Y =3X -1,求Y 的概率密度p Y (y ) .
解法1 注意X 的取值范围是区间(0, 2),故Y =3X -1的实际取值范围是Y ∈(-1, 5) .任取
y ∈(-1, 5) ,考虑Y 的分布函数
F Y (y ) =P {Y ≤y }=P {3X -1≤y }. 由不等式3X -1=y ,解出 X ≤
y +1y +1
∈(0, 2) ,故 .由于
33
y +1
y +1y +1
⎧111y +1⎫
3=xdx =x 23=(y +1) 2. 3P X ≤=p (x ) dx F Y (y ) =P {Y ≤y }=⎨⎬⎰-∞⎰0240363⎭⎩
于是 p Y (y ) =F Y '(y ) =
1
(y +1) ,y ∈(-1, 5) , 18
⎧1
(y +1), y ∈(-1, 5),
所以 p Y (y ) =⎪ ⎨18
⎪其它. ⎩0 ,
解法2 设X 的分布函数是F (x ) ,则
y +1⎫y +1⎧
F Y (y ) =P {Y ≤y }=P {3X -1≤y }=P ⎨X ≤) . ⎬=F X (
3⎭3⎩
利用复合函数导数的法则,当y ∈(-1, 5) 时,有
'(y ) =[F X (p Y (y ) =F Y
y +1y +111y +111
) ]'y =p X () ⋅=⋅⋅=(y +1) .
33233183
上述推导实质在于将Y =3X -1的分布函数在y 的值F Y (y ) 转化为X 的分布函数 在
y +1y +1
) ,这样就建立了分布函数之间的关系,然后,通过求导得到Y 的密处的值F X (
33
度函数,这种方法称为“分布函数法”.
定理 设X ~N (μ, σ2) ,Y =aX +b (a ≠0) ,则Y ~N (a μ+b , (a σ) 2) . 证明 仅证a >0的情况. X 的概率密度为
p (x ) =
12πσ
e
-(x -μ) 22σ2
,x ∈(-∞, +∞) .
用F X (x ) 和F Y (y ) 分别表示X 和Y 的分布函数,则有
⎧y -b ⎫y -b
) F Y (y ) =P {Y ≤y }=P {aX +b ≤y }=P ⎨X ≤⎬=F X (
a ⎭a ⎩
.
利用复合函数导数的法则,有
'(y ) =p Y (y ) =F Y
y -b 1y -b d
) ⋅=F X () =p X (a a dy a
12πσ
y -b
-μ) 2
-a 2σe (
⋅
1
=a
12π⋅a σ
-
[y -(a μ+b ) ]2
2(a σ) e
.
根据正态分布的定义,便知 Y ~N (a μ+b , (a σ) 2) .
推论 如果X ~N (μ, σ2) ,则 证明 在定理中,取a =
1
X -μ
σ
~N (0, 1) .
σ
,b =-
μ
即可得到. σ
X -μ
由推论可知,任何正态分布都可转化为标准正态分布.通常记X *=的标准化随机变量.
例4 设X ~N (0, 1) ,Y =X 2,求Y 的概率密度p Y (y ) .
1π
-x 2
2
σ
,并称X *为X
解 X 的概率密度为p (x ) =
e
(-∞
分布函数.因为,Y 的实际取值范围是 y ∈[0, +∞),所以当y >0时,
F Y (y ) =P {Y ≤y }=P X 2≤y
{}=P {-
y ≤X ≤
y =F X (y ) -F X (-y ).
}
所以 p Y (y ) =F Y '(y ) =p X (y ) ⋅
y ⎧-12⋅1, ⎪e
即 p Y (y ) =⎨2πy
⎪
0, ⎩
1y
,
y >0, 其它.