中点问题的解题思路
中点问题的解题思路
有关“中点的问题”是几何中最常见的重要问题之一，命题者常常以它为素材编写令人叫绝的考查学生思维能力的有深度和广度的好题．“中点问题”常常涉及到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”和“三角形的中位线”问题．下面举例说明中点问题的解题思路．
例1 如图1，在四边形ABCD 中，AD =BC ，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，延长AD 、BC 与MN 的延长线分别交于E 、F ．
求证：∠AEN =∠BFM ．
思路分析：从表面上看欲证∠AEN =∠BFM 非常困难，这样我们可考虑把两个角移到同一个三角形中去考虑，联结AC 并取AC 的中点G ，再联结GM 、GN ，从而使结论得证．
证明：联结AC ，取AC 的中点G ，联结GM 、GN ．
∵ M 、N 分别为AB 、CD 的中点， ∥∴GM 11∥AD ． BC ，NG
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∴∠GMN =∠BFM ，∠GNM =∠AEN ．
又∵ AD =BC ，∴ MG =NG ．
∴ ∠GMN =∠GNM ．
∴ ∠BFM =∠AEN ．
例2 已知：如图2，AD 为△ABC 的高，∠B =2∠C ，M 为BC 的中点．
求证：DM =1AB ．
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思路分析：由M 为BC 的中点以及要证明的DM =
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1AB ，易想到用中位线定2
1理构造AB ，即取AC 的中点N ，联结MN 、DN ，只需证MN =DM ，这可由“在2
直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”及∠B =2∠C 证明．
证明：取AC 的中点N ，联结MN 、DN ．
∵M 为BC 的中点，∴ MN ∥AB ，MN =
∴∠B =∠NMC ．
∵AD 为△ABC 的高，N 为AC 的中点，
∴DN =CN ．∴ ∠C =∠NDC ．
∵∠NMC =∠NDC +∠MND ，∠B =2∠C ，
∴∠MDN =∠MND ．∴ MD =MN ．
∴DM =1AB ． 21AB ． 2
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