1集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语

一、考点解读

从近几年考查的趋势看，高考对集合的考查往往体现在其概念、运算及简单的运用上，并经常作为工具广泛运用于函数、方程、不等式、三角函数以及曲线、轨迹等知识中，在高考中占有重要的地位．在去年的新课标高考中，集合又一次成为高考的必考内容，考查的形式是一道选择题或填空题，考查的分值在每一份试卷中约占5分，难度不大．纵观去年新课标高考，集合考题考查的主要特点是： 一是注重基础知识的考查；

二是与函数、方程、不等式、三角等知识相结合，在知识交汇处命题； 三是在集合的定义运算方面进行了新的命题．

本专题考查的重点是集合的交、并、补等基本运算，同时也考查集合的特性及元素与集合间的关系以及韦恩图，要求会用分类讨论和数形结合的思想研究集合问题，特别注意韦恩图、数轴在求解交、并、补集中的直观作用．

常用逻辑用语也是高考的必考内容之一，在去年新课标高考试卷中，一般命制一道选择题或填空题，主要考查逻辑联结词与四种命题、全称量词与存在量词以及充分条件和必要条件，既注重对命题真假以及充要条件的判断，又注重对逻辑推理能力、创新能力及数学素养的考查．高考中对充要条件的考查相当广泛，涉及高中数学的很多知识点．

由于该专题的绝大多数内容都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计今年基本上还是这个考查趋势，具体为：

1、以选择题或者填空题的形式考查集合的基本关系和基本运算，考查中涉及函数的定义域、不等式的解、方程的解等问题，要特别注意一些新定义试题．

2、以选择题或者填空题的方式考查逻辑用语的知识，其中重点是充要条件的判断和含有一个量词的命题的否定．

二、备考策略

集合的基本内容是概念、基本关系和运算，高考考查的重点是集合的运算，解答集合有关问题，首先正确理解集合的意义，其中要特别注意区分集合的含义，

即集合表达的究竟是什么，准确地化简集合是关键．注意数形结合在集合问题中的应用．其次关注元素的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助数轴和韦恩图加以解决．

常用逻辑用语的基本内容是四种命题及其关系、充要条件、逻辑联结词和量词，只要把其中的基础知识掌握即可．

1、一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立、一真一假的．

2、判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．

3、含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．

4、特称命题的否定是全称命题、全称命题的否定是特称命题．

三、典例透析

考点一：集合的含义与表示

集合是数学中最基本的概念之一，集合语言是现代数学的基本语言，因此集合的概念是历年高考的必考内容之一，本知识点的考查一般有两种形式：一是考查集合的相关概念，题型以选择题、填空题为主，二是考查集合语言、集合思想的理解与应用．其中新课标特别强调表达与描述同一问题的三种语言（自然语言、图形语言和集合语言）之间的关系．

例1、已知集合，则为实数，且的元素个数为（ ） ，为实数，且 A．3 B．2

C．1 D．0

解析：

由答案：B 解得或，即中有2个元素，故选B．

考点二：集合间的基本关系

在高考试题中结合不等式的求解与函数的定义域、值域等知识，考查利用两个集合之间的子集关系求解参数的取值范围是高考命题的重点，解决此类问题应注意以下两点：一是要明确集合的意义，二是要注意在利用两个集合的子集关系确定不等式时端点值的取舍问题，一定要代入检验，否则可能产生增解或漏解现象．

例2、已知集合，若，则a的取值范围是（ ）

A． B．

C．

解析：

由 D． 有，即，故选C．

答案：C

考点三：集合间的基本运算

从近三年的考情来看，对于集合的基本运算，高考命题以两个集合的交集和补集的运算为主，其中多以与对数不等式、一元二次不等式的求解相结合作为高考命题的热点，试题难度不大．在进行两个集合的运算时，多借助数轴或韦恩图． 例3、设集合M＝{y|y＝|cosx－sinx|，x∈R}

，22

，则M∩N为（ ）

A．(0，1) B．(0，1]

C．[0，1） D．[0，1]

解析：

对于M，由二倍角公式得y＝|cosx－sinx|＝|cos2x|，故0≤y≤1，对于N，22

因为

故答案为C． ，由，得，所以－1

考点四：集合中的新定义问题

以集合为背景的新定义问题，历来是高考命题创新型试题的一个热点，常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托，考查的是考生创造性解决问题的能力．

求解集合中的新定义问题，主要抓两点：(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．

例4、设S是整数集Z的非空子集，如果a，b∈S，有ab∈S，则称S关于数的

a，b，c乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V＝Z，且

∈T，有abc∈T；x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（ ）

A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的

B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的

C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的

D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的

解析：

T全部是奇数，V全部是偶数，那么T，V对乘法是封闭的，但如果V是全部偶数和1，3，那么此时T，V都符合题目要求，但是在T里面，任意取的数是－1和－3，那么相乘等于3，而T里面没有3，所以T对乘法不封闭．排除B、C、D选项，所以“至少有一个”是对的．

答案：A

考点五：逻辑联结词与四种命题

高考考查逻辑联结词有“或”、“且”、“非”，判断含有这些逻辑联结词的命题的真假是高考命题的一个重点，对于“

真；对于“”命题，一真则真，全假才假；“”命题，一假则假，全真才”与p真假相反．四种命题中的否命题与命题的否定是两个不同的概念，也是考生易失分点，命题的否定是否定命题的结论，而命题的否命题是对原命题的条件和结论同时进行否定． 例5、已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a＋b＋c≥3”的否命题是（ ） 222

A．若a＋b＋c≠3，则a＋b＋c

B．若a＋b＋c＝3，则a＋b＋c

C．若a＋b＋c≠3，则a＋b＋c≥3 222

D．若a＋b＋c≥3，则a＋b＋c＝3 222

解析：

命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以选择A． 答案：A

考点六：全称量词与存在量词

对于判定特称命题（存在性命题）为真只要找出一个元素使命题成立即可，而判定全称命题为真则需要严密的推断，判定全称命题为假时举一反例即可，对于全称命题的否定，要将全称量词改为存在量词，对于特称命题（存在性命题）的否定，要将存在量词改为全称量词．

例6、已知命题，则为（ ）

A． B．

C．

解析： D．

本题主要考查了特称命题的否定，而特称命题的否定是全称命题，即，则

答案：A

考点七：充分条件和必要条件

在高考中对充分条件和必要条件的考查主要有两种形式：一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件．判断充分、必要条件要从两个方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因为颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分． 例7、对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y＝f(x)是奇函数”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

解析：

由“y＝f(x)是奇函数”可以推出“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”，反过来，逆推不成立，所以选B．

答案：B ，故选A．

备考模拟

一、选择题

1、i是虚数单位，若集合S＝

，则（ ）

A． B．

C． D．

显示提示

答案：B

解析：因为i是虚数单位，所以，故选B．

2、若集合，则（ ）

A． B．

C． D．显示提示

答案：B

解析：，

，，故选B．

3、若集合M＝{0，1，2}，N＝{(x，y)|x－y≥0，x＋y≤4，x，y∈M}，则N中22

元素的个数为（ ）

A．9 B．6

C．4 D．2

显示提示

答案：C

解析：由题意知（0，0），（1，0），（1，1），（2，0）符合，选C．

4、在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]＝{5n＋k|n∈Z}，k＝0、1、2、3、4，给出如下四个结论：

①2011∈[1]；

②－3∈[3]；

③Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；

④“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a－b∈[0]”．

其中，正确结论的个数是（ ）

A．1 B．2

C．3 D．4

显示提示

答案：C

解析：因为2011＝5×402＋1，则2011∈[1]，结论①正确；

因为－3＝5×(－1)＋2，则－3∈[2]，结论②不正确；

因为所有的整数被5除的余数为0，1，2，3，4五类，则Z＝[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]，结论③正确；

若整数a，b属于同一“类”[k]，可设a＝5n＋k，b＝5n＋k(n，n∈1212Z)，则a－b＝5(n－n)∈[0]； 12

反之，若a－b∈[0]，可设a＝5n＋k，b＝5n＋k(n，n∈Z)，则a－b112212

＝5(n－n)＋(k－k)∈[0]； 1212

∴k＝k，则整数a，b属于同一“类”，结论④正确，故选C． 12

5、设S是至少含有两个元素的集合，在S上定义了一个二元运算“*”(即对任意的a，b∈S，对于有序元素对(a，b)，在S中有唯一确定的元素a*b与之对应)．若对任意的a，b∈S，有a*(b*a)＝b，则对任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（ ）

A．(a*b)*a＝a B．[a*(b*a)]*(a*b)＝a

C．b*(b*b)＝b D．(a*b)*[b*(a*b)]＝b

显示提示

答案：A

解析：选项B中，[a*(b*a)]*(a*b)＝b*(a*b)＝a，成立；选项C中，b*(b*b)＝b，成立；选项D中，把(a*b)看做一个整体，记为c，则

(a*b)*[b*(a*b)]＝c*(b*c)＝b，成立，故只有选项A中的结论不恒成立．

6、若p是真命题，q是假命题，则（ ）

A．p∧q是真命题 B．p∨q是假命题

C．p是真命题 D．q是真命题

显示提示

答案：D

解析：对于“”命题，一假则假，全真才真；对于“”命题，一真则真，全假才假；“”

与真假相反．因为p是真命题，q是假命题，所以p∧q是假命题，p∨q是真命题，p是假命题，q是真命题，故选D．

7、命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（ ）

A．所有不能被2整除的整数都是偶数

B．所有能被2整除的整数都不是偶数

C．存在一个不能被2整除的整数是偶数

D．存在一个能被2整除的整数不是偶数

显示提示

答案：D

解析：本题主要考查含有一个量词的命题的否定形式，否定原命题结论的同时把相应的量词作相应改变，故选D．

8、有四个关于不等式的命题：

p：1

p：2

p：x，y∈R，3＋

p：x，y∈R，x＋y≥xy＋xy 3322

4其中真命题是（ ）

A．p，p1

14 B．p，p 2423C．p，p D．p，p 3

显示提示

答案：C

解析：命题p正确；x＋y－4x－2y＋6＝(x22

1

－2)＋(y－1)＋1>0，命题p不正确；22

233222命题p3正确；x＋y－xy－xy＝(x＋y)(x－y)，当x＋y

命题p不正确．故正确选项为C． 4

9、“α≠β”是“sinα≠sinβ”的（ ）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

显示提示

答案：B

解析：由于α＝2π＋β时，α≠β，但此时sinα＝sinβ，故条件是不充分的；由于sinα≠sinβ时，如果α＝β，则sinα＝sinβ，故由sinα≠sinβα≠β，故条件是必要的．

10、已知命题p：若x>0，y>0，则xy>0，则p的否命题是（ ）

A．若x>0，y>0，则xy≤0

B．若x≤0，y≤0，则xy≤0

C．若x，y至少有一个不大于0，则xy

D．若x，y至少有一个小于或等于0，则xy≤0

显示提示

答案：D

解析：否命题应在否定条件的同时否定结论，而原命题中的条件是“且”的关系，所以条件的否定形式是“x≤0或y≤0”．

11、已知a与b均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题

其中的真命题是（ ）

A．P，P B．P，P 1413

C．P，P D．P，P 2324显示提示

答案：A

解析：由

可得

，

，故选A．

12、若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b

互补，记那么是a与b互补的（ ）

A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

显示提示

答案：C

解析：由，化简得，即，故

，即ab＝0，故，则且ab＝0

，则

且ab＝0，反之也成立，故选C．

二、填空题

13、设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：

①集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集；

②若S为封闭集，则一定有0∈S；

③封闭集一定是无限集；

④若S为封闭集，则满足STC的任意集合T也是封闭集．

其中真命题是________(写出所有真命题的序号)．

显示答案

答案：①②

解析：设x＝a＋bi，y＝a＋bi，a，b，a，b为整数，则x＋y＝(a11221122

[**************]1＋a)＋(b＋b)i，x－y＝(a－a)＋(b－b)i，xy＝(aa－bb)＋(ab＋ab)i，

由于a，b，a，b为整数，故a±a，b±b，aa－bb，ab＋ab都是整数，[**************]1

所以x＋y，x－y，xy∈S，故集合S＝{a＋bi|a，b为整数，i为虚数单位}为封闭集，①是真命题；若S是封闭集，取x＝y∈S，则根据封闭集的定义，x－y＝x－x＝0∈S，故命题②正确；集合S＝{0}显然是封闭集，故封闭集不一定是无限集，命题③不正确；集合S＝{0}

T不是封闭集，故命题④不是真命题． {0，1}＝TC，容易验证集合

14、设集合

，若_________

显示答案 ，则实数m的取值范围是 答案：

解析：当时，集合A是以（2，0）为圆心，以为半径的圆，集合B

是在两条平行线之间，

，因为

此时无解；当时，集合A是以（2，0）为圆心，以和

为半径的圆环，集合B是在两条平行线之间，必有

，．又因为

．