(初三)旋转

旋转

一、旋转图案的识别

例1（1）（浙江金华）将叶片图案旋转180后，得到的图形是( )。

（2）（广西梧州）下列四组图形中，图①按顺时针方向旋转120后可以得到图②的那一组是（ ）。

a b a b a b a b

B C D A

图2二、旋转作图

例2（黑龙江鸡西市）如图3，在形网格中有一个四边形图案。（1）请你画出此图案绕点O 顺时针方向旋转90，180，270的图案，你会得到一个美丽的图案。

（2）若网格中每个小正方形的边长为1，旋转后点A 的对应点依次为A 1，A 2，A 3，求四边形AA 1A 2A 3的面积；（3）这个美丽的图案能够说明一个著名结论的正确性，请写出这个结论。

图3

图4

三、旋转过程的语言叙述

例3 （锦州市）如图5，我们称每个小正方形的顶点为“格点”，以格点为顶点的三角形叫做“格点三角形”。根据图形解答下列问题：(1)图中的格点△DEF是由格点△ABC通过怎样的变换得到的？(写出变换过程)(2)在图中建立适当的直角坐标系，写出△DEF各顶点的坐标。

图5

图5

图5

四、旋转性质解几何题目

例4(青岛市) 如图8，P 是正三角形 ABC 内的一点，且PA ＝6，PB ＝8，PC ＝10．若将△PAC 绕点A 逆时针旋转后，得到△P'AB ，则点P 与点P' 之间的距离为______，∠APB ＝_____°．

C

旋转中的新题型

一、阅读理解题

例1在平面内，如果一个图形绕一个定点旋转一定的角度后能与自身重合，那么就称这个图形是旋转对称图形，转动的这个角称为这个图形的一个旋转角．例如：正方形绕着它的对角线的交点旋转90°后能与自身重合，所以正方形是旋转对称图形，它有一个旋转角为90°． （1） 判断下列命题的真假（在相应的括号内填上“真”或“假”）．

①等腰梯形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°．（ ） ② 矩形是旋转对称图形，它有一个旋转角为180°（ ）

（2）填空：下列图形中，是旋转对称图形，且有一个旋转角为120°的是 （写出所有正确

结论的序号）：①正三角形；②正方形；③正六边形；④正八边形 ． （3）写出两个多边形，它们都是旋转对图形，都有一个旋转角为72°，并且分别满足下列条件

①是轴对称图形，但不是中心对称图形： ②既是轴对称图形，又是中心对称图形：

二、平移、旋转题

例2（湖北孝感）如图，在平面直角坐标系中，先把梯形ABCD 向左平移6个单位长度得到梯形A 1B 1C 1D 1.

（1）请你在平面直角坐标系中画出梯形A 1B 1C 1D 1 ；

（2）以点C 1为旋转中心，把（1）中画出的梯形绕点C 1顺时针方向旋转900 得到梯形A 2B 2C 2D 2 ，请你画出梯形A 2B 2C 2D 2．

三、动手操作题

例3（浙江省）如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得他们的斜边长为10cm ，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B 、C 、F 、D 在同一条直线上，且点C 与点F 重合（在图3至图6中统一用F 表示）

（图1） （图2） （图3） （图4） （图5） （图6）

小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决．

（1）将图3中的△ABF 沿BD 向右平移到图4的位置，使点B 与点F 重合，请你求出平移的距离； （2）将图3中的△ABF 绕点F 顺时针方向旋转30°到图5的位置，A 1F 交DE 于点G ，请你求出线段FG 的长度；（3）将图3中的△ABF 沿直线AF 翻折到图6的位置，AB 1交DE 于点H ，请证明：AH ﹦DH 练习：

7两次后，再挖去一个小圆孔，那么展开后的图形应为（

）

图

7 A ． B ．

C ．

D

．

2（福建福州）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案． 提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．

① ② ③ ④ ⑤

旋转变换在解题中的应用

当条件比较分散时，可通过旋转变换把分散的条件集中在一个三角形，其中旋转的角度是构图的关键．通常把图形旋转到特定的位置或是特殊的角度，当三角形绕某一顶点旋转90°时，可出现等腰直角三角形，当三角形绕某一顶点旋转60°时，可出现等边三角形．于是可把陌生问题转化为熟悉问题，把复杂问题转化为简单问题．

一、三角形旋转到特殊位置

例1 如图1，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠A =25°，以点C 为旋转中心将△ABC 旋转α角到△A 1B 1C 的位置，使B 点恰好落在A 1B 1上．求旋转角α的度数．

二、三角形旋转90度

例2 如图2，P 为正方形ABCD 内一点，若P A =a ，PB =2a ，PC =3a (a ＞0) ，求:(1)∠APB 的度数;(2)正方形ABCD 的面积．

三、三角形旋转60度

例3 如图3，在凸四边形ABCD 中，∠ABC =30°，∠ADC =60°，AD =DC ．证明:BD =AB ＋BC ．

2

2

2

与旋转变换有关的作图问题

与旋转有关的作图问题既具有开放性又具有探索性，它的基本特征是根据题意设计几种不同的方案，从而解决实际问题；或者设计不同的图案，体会数学的异样性，解题的关键是充分发挥想像力和动手能力，当然也夹杂着一些计算能力、推理能力的考查.

例1 图中的方格图均是由边长为1的正方形组成的，请你通过图形变换将图中阴影部分的图形割补成一个正方形

.

例2 如图，已知四边形纸片ABCD ，现需将该纸片剪拼成一个与它面积相等的平行四边形纸片. 如果限定裁剪线最多有两条，能否做到：_______（用“能”或“不能”填空）. 若填“能”，准确定裁剪线的位置，并说明拼接方法；若填“不能”，请简要说明理由.

________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________

题图 答图

旋转与证明

1. 如图，已知正方形ABCD 中，E 、F 分别是BC 、CD 上的点，且AF 平分∠DAE ．求证：AE=DF+BE．

2. 如图，在正方形ABCD 的边BC ，CD 上分别有点E ，F ，∠EAF=45°，AH ⊥EF ． 求证：（1）AH=AB；（2）猜想EF 与BE 、DF 的关系并给出证明．

3. 如图，正方形ABCD 中，

AB=3，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且∠BAE=30°，∠DAF=15°，求△AEF 的面积．

4. 如图，正方形被两条与边平行的线段EF ，GH 分割成四个小矩形，P 是EF 与GH 的交点，若矩形PFCH 的面积恰是矩形AGPE 面积的2倍，试确定∠HAF 的大小并证明你的结论．

5. 已知，正方形ABCD 中，∠MAN=45°，∠MAN 绕点A 顺时针旋转，它的两边分别交CB 、DC （或它们的延长线）于点M 、N ，AH ⊥MN 于点H ．

（1）如图①，当∠MAN 绕点A 旋转到BM=DN时，请你直接写出AH 与AB 的数量关系： ； （2）如图②，当∠MAN 绕点A 旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH 与AB 的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH ⊥MN 于点H ，且MH=2，NH=3，求AH 的长．（可利用（2）得到的结论）

旋转之后巧计算

学习了弧长的计算公式及扇形面积的计算公式，我们可以解决有关的计算问题．但在中考试题中出现了一些旋转型计算问题，需要我们认真分析，探究解题的技巧． 一、旋转后求弧长

例1．如图1，一块边长为10cm 的正方形木板ABCD ，在水平桌面上绕点D 按顺时针方向旋转到A ′B ′C ′D ′的位置时，顶点B 从开始到结束所经过的路径长为（ ） Ａ．20cm

图1 图2

例2 ．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=3cm ，将△ABC绕点B 旋转到△A′BC′的位置，且使点A ，B ，C′三点在同一条直线上，则点A 经过的最短线路的长度是______．

C A '

C ' A B

二、旋转后求面积

例3．如图4，把直角△ABC的斜边AB 放在定直线l 上，按顺时针的方向在直线l 上转动两次，使它转到△A2B 2C 2的位置，设AC=3，BC=1，则顶点A 运动到点A 2的位置时，点A 所经过的路线与直线l 围成的面积为________．

A 1

C 3B

l

C A 3A B 1

图4 三、旋转后求圈数

例4．如图5，（1）把⊙O放在一条长度等于其周长的线段上，从一个端点无滑动的滚动到另一个端点，⊙O将转动______周．

（2）如图6，若把⊙O放在边长等于其周长的正三角形ABC 上，沿着A B C A 的线路无滑动一周回到原来的位置，则⊙O将转动几周? 说明理由． C

C

M

O O A

O B β A B

A B

O '

M '

图7

Ｂ． Ｃ．10πcm

Ｄ．

cm

旋转答案

例1（1）D ；（2）D ．例2解析：解决画图题的方法就是利用“对应点到旋转中心的距离相等、对应点到旋转中心连线所成的角相等”的性质，找出图形关键点旋转后的位置，而后顺次连线，即作出所需图形。（1）如图4。（2）S

四边形AA1A2A3=S四边形BB1B2B3-S △BAA1

2

2

2

=（3+5）2-4×

12

×3×5=34，故四边形AA 1A 2A 3的面积

为34。（3）结论：AB +BC=AC。

例3解析：这是旋转类试题的新题型，把旋转前后的图形都给出，而后展开思维、想象，用语言叙述变换过程，一般变换过程的方法不唯一。下面提供方法供参考：

方法一：将△ABC 以点C 为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△A1B 1C ，再将△A1B 1C 向右平移3个格就得到△DEF；方法二：将△ABC向右平移3个格得到△A1B 1C 1，再将△A1B 1C 1以点C 1为旋转中心，按逆时针方向旋转90°就得到了△DEF；方法三：将△ABC以点B 为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△A1BC 1，再将△A1BC 1向下平移4个格得到△A2B 2C 2，再将△A2B 2C 2向右平移7个格就得到了△DEF；方法四：将△ABC以点A 为旋转中心，按逆时针方向旋转90°得到△AB1C 1，再将△AB1C 1向下平移4个格得到△A2B 2C 2，再将△A2B 2C 2向下平移5个格就得到了△DEF。(2)答案不唯一，如：

图6

图7

方法一：如图6建立直角坐标系，则点D(0,0)、E(2,-1)、F(2,3)； 方法二：如图7建立直角坐标系，则点D(-2,0)、E(0,-1)、F(0,3)。

例4解析：由旋转的特征知PA /=PA=6，P /B=PC=10，∠P /AB=∠PAC ，由△ABC 是正三角形 ABC ，则∠BAC=600，从而∠P /AP=600，所以△P /AP 是正三角形，所以P /P=6cm ，∠APP /=600；在△P /BP 中，P /P=6cm ，P /B= 10，PB ＝8，由勾股定理的逆定理知△P /BP 是直角三角形，∠BPP /=900，从而∠APB ＝1500。

旋转中的新题型

一、阅读理解题

分析：本题阅读是前提，理解期中的内容、思想和方法是关键，通过阅读明确旋转对称图形的本质含义．由此进行合理的“模仿”与“迁移”．并注意与范例进行比较，防止出错．

例1解：（1）①假②真；（2）①、③；（3）①如正五边形，正十五边形；②如正十边形，正二十边形 点评：阅读理解题是近几年中考中的一道亮丽风景，通常给出一段文字背景材料，或提供解答某一问题的全过程，或给出一部分新知识，要求考生在阅读的基础上，用归纳的方法从具体、特殊的事实中探究其存在的规律，把潜藏在表面现象中的本质挖掘出来，为解决后面的问题得启迪．

阅读理解题是题型，它能从不同的角度很好考查学生的阅读理解能力、数据处理能力、文字概括能力、联想猜想、探索发现能力，反映了课改理念，是今后命题的趋向．

例2分析：（1）欲解答这一问题，就要正确看清平面直角坐标系中的图形; （2）结合平移、旋转知识画出符合要求的图形．

解：如图

点评：利用网格特征进行图形的平移、旋转变换，进而设计出一些图案，是中考中的一个热点，在学习时应注意这方面题型的训练．

例3分析： 图3中的两个三角形是矩形中的两部分，且是全等的两部分，抓住此即可解题. 解：（1）图形平移的距离就是线段BC 的长

又∵在Rt △ABC 中，斜边长为10cm ，∠BAC ＝30，∴BC ＝5cm ， ∴平移的距离为5cm ．

（2）∵∠A 1F A =30 ，∴∠GFD =60 ，∠D ＝30°． ∴∠FGD =90 ．（1分）

在Rt EFD 中，ED ＝10 cm，∵FD

＝

∵FC =

2

cm ．

（3）△AHE 与△D H B 1中，∵∠FAB 1=∠ED F =30 ， ∵FD =FA ，EF =FB =FB 1， ∴FD -FB 1=FA -FE ，即AE =D B 1．

又∵∠AH E =∠D H B 1，∴△A H E ≌△D H B 1（AAS ）．

∴AH =D H ．

点评：中考中有很多实际操作题，但是考试中有时候不可能实际操作，这就需要同学们在平时动手，培养自己的实践操作能力. 练习： 答案： 1. C

2. 解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．

旋转变换在解题中的应用

一、三角形旋转到特殊位置

例1分析:将△ABC 旋转到点B 落在A 1B 1上的特殊位置时，即确定了旋转角α的大小．于是∠A 1BB 1

是平角，它是解题的切入点，通过平角可列方程求出角α ．

解:∵△ABC ≌△A 1B 1C (旋转前后的图形全等) ． ∴∠A =∠A 1且CB =CB 1．

∵∠ADC =∠A 1DB ， ∴∠A 1BD =α ． 在△ABC 中，∠ABC =90°－25°=65°．

∵∠BCB 1=α(对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角) ．

∴∠CBB 1=

12

(180°－α)

∵点A 1、B 、B 1在同一直线上， ∴α＋65＋

12

(180－α)=180．

解之得α=50°．

思考 例1中，若∠A =θ，那么α与θ有何数量关系?(答: α=2θ)

二、三角形旋转90度

例2 分析:三条已知的线段P A 、PB 、PC 具有一个共公顶点，且它们不能构成三角形．但是当把△ABP 按顺时针方向旋转90°后，即会出现等腰直角三角形，于是P A 旋转后的线段与PC 构成了一个新的三角形．

解:(1)将△ABP 绕点B 顺时针方向旋转90°得△CBQ ． 则△ABP ≌△CBQ 且PB ⊥QB ．

于是PB =QB =2a ，PQ

．

在△PQC 中，∵PC =9a ，PQ ＋QC =9a ．

22

∴PC 2=PQ 2＋QC 2． ∴∠PQC =90°． ∵△PBQ 是等腰直角三角形， ∴∠BPQ =∠BQP =45°． 故∠APB =∠CQB =90°＋45°=135°． (2)∵∠APQ =∠APB ＋∠BPQ =135°＋45°=180°， ∴三点A 、P 、Q 在同一直线上．

在Rt △AQC 中，AC 2=AQ 2＋QC 2=(a ＋

a ) 2＋a 2=(10＋

a 2． 故S 正方形ABCD =

12

AC 2=(5＋

a 2．

思考 例2中，如果把△CBP 绕点B 逆时针方向旋转90°得△ABM ，怎样解以上问题?(答: (1)△PBM 是等腰直角三角形， 且由勾股定理的逆定理得∠APM =90°;(2)过点B 作BN ⊥AP ，垂足为N ．则PN =BN

，于是在△ABN 中可求出边长AB 的平方，即得正方形的面积．)

三、三角形旋转60度

例3分析:所证结论即是三条线段BD 、AB 、BC 能构成一个直角三角形．因此需利用图形变换把它们集中到一个三角形中．

证:连接AC ．

∵AD =DC ，∠ADC =60°， ∴△ADC 是等边三角形．

故将△DCB 绕点C 顺时针方向旋转60°时可得△ACE ．连接BE ． 于是△DCB ≌△ACE 且CB =CE ，∠BCE =60°． ∴△BCE 是等边三角形，∴BC =BE ，∠CBE =60°． ∵∠ABC =30°， ∴∠ABE =90°．

222222

故AB ＋BC =AB ＋BE =AE =BD ．

与旋转变换有关的作图问题

例1分析：由于要拼成的正方形的面积为“5”（由5个小正方形组成），则正方形的边长为5，而.

解：①连接A 1A 3、A 1A 5；

②将△A 1A 2A 3绕A 3沿顺时针方向旋转90° ③将△A 1A 5A 6绕A 5沿逆时针方向旋转90°；

④将小正方形A 1A 6A 7A 8先向左平移2个单位，再向上平移1个单位. 则四边形A 1A 3A 4A 5即为所求的正方形.

例2析解：如图，取四边形ABCD 各边的中点E 、G 、F 、H 连接E F 、G H ，则E F 、G H 为裁剪线.E F 、G H 将四边形ABCD 分成1、2、3、4四个部分，拼接时，图中的1不动，将2、4分别绕点H 、F 各旋转180°，3平移，拼成的四边形满足条件

.

5= 2

2

2

题图 答图

点评：图形变换前后面积不变是解决此类问题的切入点.

旋转与证明

参考答案

1. 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。 专题：证明题。

分析：延长CB 到G ，使BG=DF，连接AG ，易证△ADF ≌△ABG ，得∠5=∠G ，∠1=∠3，进而证明∠FAB=∠EAG ，进而证明AE=EB+BG=EB+DF．

解答：证明：延长CB 到G ，使BG=DF，连接AG （如图） ∵AD=AB，∠D=∠ABG=90°， ∴△ADF ≌△ABG （SAS ）， ∴∠5=∠G ，∠1=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠2=∠3，

∴∠2+∠4=∠3+∠4， 即∠FAB=∠EAG ， ∵CD ∥AB ，

∴∠5=∠FAB=∠EAG ， ∴∠EAG=∠G ，

∴AE=EB+BG=EB+DF．

2. 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质。 专题：证明题；探究型。 分析：（1）求证AH=AB，无法直接证明三角形ABE 和AHE 全等，那么可构建全等三角形来求解．将正方形ABCD 顺时针旋转90°，AD 和AB 重合，从而根据旋转的性质及全等三角形的判定不难求得结论； （2）要求EF ，BE ，DF 的关系，可以通过全等将BE ，DF 转化为EH ，HF 来求解．

解答：解：（1）如果，将正方形ABCD 以A 为顶点，以AD 为边顺时针旋转90°与AB 重合．设旋转后的正方形为AD 1C 1B 1那么B 与D 1重合．且E 1，B ，E 三点共线． 由旋转的性质可知∠E 1AF=90°，AF=AE1 ∴∠E 1AE=90°﹣45=45°=∠EAF ． 三角形AE 1E 和AEF 中，

∵∠E 1AE=∠EAF ，AF=AE1，AE=AE， ∴△AE 1E ≌△AFE ．

∵AH ，AB 为两三角形对应边EF ，E 1E 上的高， ∴AH=AB．

（2）由（1）得，AH=AB． 在直角三角形AHF 和AFD 中， ∵AH=AB，AF=AF， ∴△AHF ≌△ADF （HL ）． ∴HF=DF．

由（1）得出的全等三角形可知：BE=EH． ∴EF=EH+HF=BE+DF．

3. 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；旋转的性质。 专题：计算题。

分析：将△ADF 绕A 点顺时针方向旋转90°到△ABG 的位置，得到△ABG ，求证：△AEF ≌△AEG ，要求△AEF 的面积求△AEG 即可，且AB 为底边上的高，EG 为底边．

解答：解：将△ADF 绕A 点顺时针方向旋转90°到△ABG 的位置， ∴AG=AF，∠GAB=∠FAD=15°， ∠GAE=15°+30°=45°， ∠EAF=90°﹣（30°+15°）=45°， ∴∠GAE=∠FAE ，又AE=AE， ∴△AEF ≌△AEG ，∴EF=EG， ∠AEF=∠AEG=60°， 在Rt △ABE 中，

AB=BAE=30°， ∴∠AEB=60°，BE=1，

在Rt △EFC 中，∠FEC=180°﹣（60°+60°）=60°， EC=BC﹣

BE=1，EF=2

（1）， ∴EG=2

（1），S △AEG =EG•AB=3

﹣

∴S △AEF =S△AEG =3

4. 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；矩形的性质。 专题：证明题；转化思想。

分析：作出辅助线BM ，AM ，FH ，把求∠HAF 的度数转化为求其全等三角形的对应角∠MAF 的度数．

解答：解：如图，连FH ，延长CB 到M ，使BM=DH，连接AM ， ∵Rt △ABM ≌Rt △ADH ，

∴AM=AH，∠MAB=∠HAD ，

∴∠MAH=∠MAB+∠BAH=∠BAH+∠HAD=90°，

如图设正方形边长为a ，AG=m，GP=n，则FC=a﹣n ，CH=a﹣m ， 因为面积是二倍所以列式得到：a 2﹣（m+n）a+mn=2mn，

在直角三角形FCH 中FH 2=（a ﹣n ）2+（a ﹣m ）2，将上面的式子联立得到： FH 2=MF2=（m+n）2，即得到FH=MF， ∵AF=AF，AH=AM， ∴△AMF ≌△AHF ， ∴∠MAF=∠HAF ， ∴∠HAF=∠MAF=45°．

点评：本题考查的全等三角形的证明，考查了正方形对边平行且各内角均为90°的性质，构建△DAH 的全等三角形△BAM 并进行求证是解本题的关键．

5. 考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。

专题：证明题；探究型。

分析：（1）由三角形全等可以证明AH=AB，

（2）延长CB 至E ，使BE=DN，证明△AEM ≌△ANM ，能得到AH=AB，

（3）分别沿AM 、AN 翻折△AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，然后分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCE ，设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，在Rt △MCN 中，由勾股定理，解得x ．

解答：

解：（1）如图①AH=AB．（1分）

（2）数量关系成立．如图②，延长CB 至E ，使BE=DN．

∵ABCD 是正方形，

∴AB=AD，∠D=∠ABE=90°．

∴Rt △AEB ≌Rt △AND ．（3分）

∴AE=AN，∠EAB=∠NAD ．

∴∠EAM=∠NAM=45°．

∵AM=AM，

∴△AEM ≌△ANM ．（4分）

∵AB 、AH 是△AEM 和△ANM 对应边上的高，

∴AB=AH．（5分）

（3）如图③分别沿AM 、AN 翻折△ AMH 和△ANH ，得到△ABM 和△AND ，

∴BM=2，DN=3，∠B=∠D=∠BAD=90°．

分别延长BM 和DN 交于点C ，得正方形ABCD ，

由（2）可知，AH=AB=BC=CD=AD．

设AH=x，则MC=x﹣2，NC=x﹣3，

在Rt △MCN 中，由勾股定理，得MN 2=MC2+NC2

∴52=（x ﹣2）2+（x ﹣3）2（6分）

解得x 1=6，x 2=﹣1．（不符合题意，舍去）

∴AH=6．（7分）

点评：本题主要考查正方形的性质和三角形全等的判断，不是很难

旋转之后巧计算

一、旋转后求弧长

例1．析解：正方形木版ABCD 在水平桌面上绕点D 按顺时针方向旋转的过程中，正方形的每一点在作以点D 为圆心的圆周运动，所以点B 所经过的路径是以点D 为圆心，以BD 长为半径，以B ，B′为端点的一段圆弧（如图2），其半径为102cm ，圆心角为90°，所以弧长为⨯2π⨯102=52（cm ）．故选Ｄ． 41

例2 ．析解：点A 经过的最短路线是以B 为圆心，AB 为半径，圆心角为∠ABA′的扇形BAA′的弧长． 因为AB=AC

cos A =23，∠ABA′=180°－∠A′BC′=150°，

所以点A

180=3C A ' B (cm)． A 二、旋转后求面积

例3． 析解：本题旋转了两次，第一次是以B 为圆心，AB 为半径转了120°

（因为tan∠ABC=AC

AB =C ' ，第二次以C″为圆心，BC″为半3，∠ABC=60°）

径转了90°，所以点A 经过的路线与直线l 所围成的面积为

S=S扇形BAA′+S△A′BC+S扇形C″A′A″

=112012 π⨯2+⨯1⨯[1**********]． π⨯=π+2180122

三、旋转后求圈数

例4．析解：第（1）问比较简单，结论是⊙O将转动1周．本题是真实目的是在第（2）问上．

⊙O的初始位置有OA⊥AC，当它按题意要在AB 上滚动时，⊙O必须先绕A 点转动一个角β，使其半径OA⊥AB，显然∠β是∠A的补角，∠β=180°－∠A=120°，尽管这一过程是⊙O绕点A 旋转完成的，实际上⊙O自身也正好是转动了这么个角β，图7就很直观地显示了这一点，我们不妨在⊙O上取一点M ，使AM 为⊙O之直径，当⊙O绕A 点旋转一角β之后，点M 到达M′的位置，显然，这一过程可分解为两个部分，圆心O 移动O′的位置，而⊙O绕圆心旋转了一角β．

由第（1）问的答案知⊙O分别在AB ，BC ，CA 上滚动时，各旋转了一周，共计3周，

⊙O又分别在点A ，点B ，点C 处从一边过渡到另一条边时又各旋转了120°，共计120°×3=360°，即又是一周，所以⊙O沿A B C A 滚动一周回到原来位置时，将转动4周．

C C

M O O A O B β A B A B O '

M ' 图7