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狄利克雷问题(10.30)

09-14

狄利克雷问题

狄利克雷问题（Dirichlet problem）就是在给定边界条件的区域D内求解拉普拉斯方程的问题，即

2u0, u(x)f(x)(xD)

当区域D是一个长为L，宽为l的矩形时，即

Dx,y:0xl, 0yL

此时狄利克雷问题就变成了求解带有若干边界条件的二阶偏微分方程，即

uxxuyy0

u(x,0)f1(x), u(x,L)f2(x), u(0,y)g1(y), u(l,y)g2(y)

根据叠加原理，分别求解当g1g20和f1f20时方程的解，其解的加和即为原方程的解。同时g1g20与f1f20这两种情形是等价的，因此只需要求解其中一个问题，并改变相应的变量就可以得到另一个解。因此我们这里求解g1g20的情形，即

uxxuyy0

u(x,0)f1(x), u(x,L)f2(x), u(0,y)u(l,y)0

根据变量分离法，首先假设函数u(x,y)可以写作

u(x,y)X(x)Y(y)

代入微分方程可得

X(x)Y''(t)X"(x)Y(y)

移项整理得

X''(x)Y''(y)v20 X(x)Y(y)

（可以证明，当上式中的比例常数为非负数时，方程只有0解，与题设不符） 于是有

X"(x)v2X(x)

Y"(y)v2Y(y)

对于方程X"(x)v2X(x)0，其对应的特征根方程有两个共轭的复根vi，因此其通解为

X(x)e0(C1cosvxC2sinvx)

将边界条件u(0,y)u(l,y)0代入微分方程可得

X(0)X(l)0

所以

C10, sinvl0

进而有

vln, v

所以 n l

X(x)C2sinnx l

当C21时，就得到了特征值v2(n/l)2对应的特征函数，即

X(x)sinnx l

对于方程Y"(y)v2Y(y)0，其对应的特征根方程有两个不同的实根v，因此其通解为

Y(y)C3evyC4evy

由于双曲余弦函数

evyevy

coshvy 2

双曲正弦函数

evyevy

sinhvy 2

所以函数Y(y)可以表示为

Y(y)ncoshvynsinhvy 将vn代入上式得 l

Y(y)ncoshnnynsinhy ll

所以u(x,0)f1(x)

un(x,y)sinn

lnnxncoshynsinhy ll

由上式可知，对于每个不同的n，都有一个un(x,y)与之对应。而u(x,0)f1(x)，u(x,L)f2(x)，由于f1(x)，f2(x)都是给定的函数，所以此处得到的还不是方程的解。 构造函数U(x,y)为一切un(x,y)的加和，即



U(x,y)un(x,y)sin

n1n1nlnnxncoshynsinhy ll

由初始条件u(x,0)f1(x)，u(x,L)f2(x)可得

nnf1(x)sinxncosh0nsinh0ansinx lln1n1

其中

ann

nf2(x)sinln1nLnLnxncoshnsinhbsinx nlln1l

其中

bnncosh

可以解得 nLnLnsinh ll

nan

bnancoshnL

bcschnLacothnL nnnLllsinhln

所以

U(x,y)sin

n1nlnnLnLnxancoshybncschancothsinhlllly 

其中

2lnanf1(x)sinxdx l0l

bn

因为f1f20时的情形为： 2lnf(x)sinxdx 20ll

uxxuyy0

u(x,0)u(x,L)0, u(0,y)g1(y), u(l,y)g2(y)

由于此情形与g1g20时的情形完全等价，所以此情形下的解为

V(x,y)sinnnnlnlnycncoshxdncschcncothsinhx

n1L

其中

所以，方程最终的解为 LLLLc2LnnL0g1(y)sinLydy d2LnnL0g2(y)sinLydy

u(x,y)U(x,y)V(x,y)


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