游戏中的数学--论博饼中的概率
游戏中的数学
——论博饼中的概率
厦门外国语学校 高一(13)班 17号 林宇辉
一.引言:
对于闽南的人们来说,每逢中秋佳节,家人团聚之时,便会举行一种名为“博饼”的十分有趣的游戏。这小小的博饼游戏,却包含着关系到随机变量的神奇规律和排列组合规律的奥秘。在下面,我们就将对这个问题进行深入的探讨。
二.博饼规则:
博饼开始时由参加游戏的人围成一桌(3~12人,以十人最佳) (准备:桌上摆一个瓷碗,六个骰子并放上相应的礼品。) 从指定的一个人开始,按照逆时针的方向,每个人每次把6个骰子一起投进大碗里,并查看骰子投出的结果,对照规则表,根据所指定的规则获得相应的礼品(月饼,日常生活用品等)。之后众人依次轮流投骰子(一次六个),直到所有礼品被博完并结束当前的一轮,则视为游戏结束。
传统对应规则:投骰子结果与礼品的对应为
1. 有1个“四点”的得一秀饼(秀才) 。拿完为止。 共32个。
2. 有2个“四点”的得二举饼(举人) 。拿完为止。共16个。
3. 有4个相同点数的(红四除外)得四进饼(进士) 。拿完为止。共8个。
4. 有3个“四点”的得三红饼。 共4个。 5. 若骰子点数分别为1至6组合的得对堂饼(榜眼,探花) 。共2个。
6. 若是有4个“四点”,或是有5个相同点数,5个“四点”,若是6个“四点”,4个“四点”加上2个“一点”,都是状元,且等级依次升高,得状元饼。共1个。
对应规则和名称如图示:
注意事项:
1. 当出现大于等于两个“状元”的时候,等级大的获得状元
2. 同是四红比较所带的点数纸盒的大小,大者等级大。
3. 同是五子,先比较相同数字的大小,再比较所带数字的大小。
4. 同是五红,比较所带数字的大小。
5. 出现完全相同的状元时,先博得者等级大。
6. 如博到状元插金花可兼得两个对堂。
7. 在同一场比赛中,同一选手两次或两次以上博到状元,取其最后一次的成绩为最终成绩。
8. 若出现六个相同的数字,皆有特殊情况出现(在此不给予讨论)
9. 如果骰子跳出瓷碗,则该选手本轮成绩无效且要轮空一次。
10. 若对堂(2个)或三红(4个)已经被人拿完,再有人博到,则此人按游戏进行的反方向,向离自己最近的一个对堂(三红)持有者拿回奖品。(即游戏结束前博到的“三红”“对堂”都有可能被“抢”走)
·以上将博饼基本游戏规则描述完毕。
三.论证准备:
在正常情况下,我们无法控制自己投出骰子的轨道。因此,我们无法控制自己投出骰子的结果,即每次投骰子博得的结果是随机的。
又因为每个骰子的六个面朝上的几率都是相同的,所以我们要研究的是一个古典概率模型的问题。面对这一类问题,我们可以使用随机变量进行分析。(设投骰的结果为X ,讨论X 符合耕种情况的概率)
假设和定义:
(1) 按照骰子面朝上图案中的点数,分别将每个骰子得到的结果
对应为随机变量: “
“”=5;“”=6;
(2) 为了表达方便明了,分别将六个骰子设为
“第一个骰子”,“第二个骰子”,“第三个骰子”,
“第四个骰子”,“第五个骰子”,“第六个骰子”。
并分别用变量 a, b, c, d, e, f 依次表示每个骰子投得的结果 (即a 表示第一个骰子投得的点数,以此类推)
(3) 将每次六个骰子投得的结果,分别对应为一个六维向量
(a,b,c,d,e,f )。因此,每次投得的结果都有一个六维向量与之一一对应,即 X=(a,b,c,d,e,f )
(4) 每个骰子投得一个确定的点数,共有6种可能,所以总共的
结果有 =46656种可能。
为了描述清晰,设每个“基本事件”出现的概率为 ”=1;“”=2;“”=3;“”=4;
P(“基本事件”)=ε 即ε=
(5) 在论证中会出现分步计算。即可能出现
第一步:讨论在不考虑顺序的情况下特征数出现的概率; 第二步:讨论有几种顺序可能;
其中
“特征数”指:决定投骰结果的关键数字
“不考虑顺序”指:在指定骰子号数的情况下,计算出现“特征数”,满足得奖条件的概率
“指定骰子号数”指:规定出现“特征数”的骰子的编号 “顺序可能”指:总共存在几种“指定骰子号数”组合的可能
* 全文中若不做特殊说明,取
“骰子投出的数”,a, b, c, d, e, f, u, w, x, y, z∈{1,2,3,4,5,6}
·以上,论证准备完毕,下面开始进入论证
四.计算证明博饼中每项奖品在每把中出现的概率:
(1)对堂:
解法一:
对堂是形如 (1,2,3,4,5,6)的结果(顺序任意交换)。 若不考虑顺序,
∵每投出一个确定的点数的概率为 ∴P (X=(1,2,3,4,5,6))= ε
考虑各种顺序的可能,
即为给1,2,3,4,5,6这六个数字排序有多少种可能, ∴ P (X=“对堂”)= )= P (X=(1,2,3,4,5,6)
=720ε
解法二:
将每个骰子分开讨论。
在符合条件的情况下,6个数字中,
a ∈{1,2,3,4,5,6}
b ∈( {1,2,3,4,5,6} \ )
c ∈( {1,2,3,4,5,6} \
d ∈( {1,2,3,4,5,6} \
e ∈( {1,2,3,4,5,6} \
f ∈( {1,2,3,4,5,6} \
∴n(a)=6 n(b)=5 n(c)=4 n(d)=3 n(e)=2 n(f)=1
∴P (X=“对堂”)=P(a) P(b) P(c) P(d) P(e) P(f)= ε
·综上得, P(“对堂”)= 720ε= 1.543%·
(2)三红:
三红是形如(4,4,4,x,y,z )(x≠4, y≠4,z ≠4) 的结果(顺序任意交换)。
若不考虑顺序,
∴P (X=(4,4,4,x,y,z ))= = ε
考虑各种顺序的可能,
即 4,4,4,这三个数字在六个位置(骰子)中组合有多少种可能。
∴P (X=“三红”)= P (X=(4,4,4,x,y,z ))= =2500
ε
·综上得, P(“三红”)= 2500ε= 5.358%·
(3)四进:
四进是形如(x,x,x,x,y,z )(x≠4, y≠x, z≠x) 的结果(顺序任意交换)。
若不考虑顺序,
∵第一个骰子可选择除4外的任意数(1,2,3,5,6)
∴P (a ≠4)= 又∵第二、三、四个骰子要跟第一个骰子点数相同,
∴P (b=a)= P(c=a)= P(d=a)= 又∵第五、六个骰子跟第一个骰子点数不相同相同,
∴P (X=(x,x,x,x,y,z ))= ∴P (e ≠a )= P(f ≠a )= = = 125ε
考虑各种顺序的可能,
即x, x, x, x这四个相同数字在六个位置(骰子)中组合有多少种可能。
∴P (X=“四进”)= P (X=(x,x,x,x,y,z ))=
=1875ε
·综上得, P(“四进”)= 1875ε= 4.019%·
(4)二举:
二举是形如(4,4,w,x,y,z )(x, y, z, w≠4) 的结果(顺序任意交换)。 若不考虑顺序,
∵第一, 第二个骰子为4
∴P (a=4)= P(b=4)= 又∵剩余骰子为除4外的任意数
∴概率皆为 P (w ≠4)= ∴P (X=(4,4,w,x,y,z ))= = ε
考虑各种顺序的可能,
∴P (X=“二举”)= P (X=(4,4,w,x,y,z ))=
=9375ε
·综上得, P(“二举”)= 9375ε= 20.094%·
(5)一秀:
一秀是(1)形如(4,u,w,x,y,z )(u, x, y, z, w≠4) (顺序任意交换);
(2)非对堂 的结果
若不考虑顺序,
∵同二举解法
∴P (X=(4,u,w,x,y,z ))= = = 3125ε
考虑各种顺序的可能,
∴P (X=“一秀”)= P (X=(4,u,w,x,y,z ))- P(X=“对堂”)
= - 120ε= 18630ε
·综上得, P(“一秀”)= 18630ε= 39.931%·
(6)状元:
状元插金花:
状元插金花是形如(4,4,4,4,1,1)的结果(顺序任意交换)。 解法一
若不考虑顺序,
∴P (X=(4,4,4,4,1,1))= ε
考虑各种顺序的可能,
∵每个骰子的结果只有4和1
∴即为考虑 4,4,4,4这四个数字在六个位置(骰子)中的组合有多少种可能。
∴P (X=“状元插金花”)= P (X=(4,4,4,x,y,z ))=
=15ε
解法二
其实只需考虑 4,4,4,4,1,1 这6个数字在六个位置中排序的结果。 又∵4个4是完全相同的的,2个1也是完全相同的, ∴P (X=“状元插金花”)= = = 15ε
·综上得, P(状元插金花”)= 15ε= 0.032%·
五红:
五红是形如(4,4,4,4,4,x )(x≠4) 的结果
若不考虑顺序,
∴P (X=(4,4,4,4,4,x ))= = ε
考虑各种顺序的可能,
∴P (X=“五红”)= P (X=(4,4,4,4,4,x ))=
=30ε
·综上得, P(“五红”)= 30ε= 0.064%·
五子:
五子是形如(x,x,x,x,x,z )(x≠4,z ≠x) 的结果(顺序任意交换)。 若不考虑顺序,
∴P (X=(x,x,x,x,x,z ))= = ε
考虑各种顺序的可能, ∴P (X=“五子”)= P (X=(x,x,x,x,x,z ))=
=150ε
·综上得, P(“五子”)= 150ε= 0.321%·
四红:
四红是(1)形如(4,4,4,4,x,y )( x, y≠4) (顺序任意交换);
(2)非状元插金花
的结果
若不考虑顺序,
∴P (X=(4,4,4,4,x,y ))= = ε
考虑各种顺序的可能,
∴P (X=“四红”)= P (X=(4,4,4,4,x,y ))- P (X=“状元插
金花”)= - 15ε= 360ε
·综上得, P(“四红”)= 360ε= 0.771%·
特殊情况:
黑六勃 ——(x,x,x,x,x,x ) (x )
P (X=“黑六勃”)= = 4ε
遍地锦 ——(1,1,1,1,1,1)
P (X=“遍地锦”)= =1ε
红六勃 ——(4,4,4,4,4,4)
P (X=“红六勃”)= =1ε
·综上得,P (“黑六勃”)= 4ε= 0.009%·
P (“遍地锦”)= P(“红六勃”)= ε= 0.002%·
∴ P(X=“状元”)=P(“状元插金花”)+ P (“五红”)+ P (“五子”)+ P(“四红”)+ P(“黑六勃”)+ P(“遍地锦”)+ P(“红
六勃”)= 561ε
·综上得,P (“状元”)= 561ε= 1.202%·
(7)特殊情况: 四进带一秀
P (X=“四进带一秀”)=
=P(X=“四进”) =1875
= 600ε
四进带二举
P (X=“四进带二举”)=
=P(X=“四进”) =1875
= 75ε
五子带一秀
P (X=“五子带一秀”)=
=P(X=“五子”) =150 = 30ε
·综上得,P (“四进带一秀”)= 600ε= 1.286%·
P (“四进带二举”)= 75ε= 0.160%· P (“五子带一秀”)= 30ε= 0.064%·
(8)无:
P (X=“什么都没有”)=1-P(“对堂”)- P(“三红”)- P(“四进”)
- P(“二举”)- P(“一秀”)- P(“状元”)+ P(“四进带一秀”)+ P(“四进带二举”)+ P(“五子带一秀”)= 13700ε
·综上得,P (“无”)= 13700ε= 29.364%·
·至此,博饼所有等级获得的概率已经分析完毕。
(注:(1)论证中的 一秀 包括“四进带一秀”和“五子带一秀”中
的 一秀
(2)论证中的 二举 包括“四进带二举”中的 二举 )
五.对求得结果的总结:
根据计算,论证,得出了博饼中每一次投骰子获得各种等级的所有概率。在此将结论整理如下:
(1). 基本结论:
(2). 其他结论:
(3). 数学期望
(4)解释博饼中出现的现象
博饼中常说“四进”最难博。
其原因并不是因为博得“四进”的概率最低,而是因为将所有的“四进”(8个)博完的预期次数是最多的。(199次,远大于第二的对堂60多次)
(有趣的是,博得“四进”的概率小于“三红”,但是“四进”的等级比“三红”低)
一整轮博饼所需要的时间。
按照概率,在199次投骰子后结束一轮博饼的可能是最大的。 大多数博饼将进行200次左右结束。
根据不同场景和气氛,从一个人投骰子到下一个人所需的时间变化很大。
这里取平均一分钟3~4次,则进行一轮完整博饼的时间大概在50~70分钟。
(因为运气因素,所以实际情况可能会有较大误差。但若样本数量很大,则平均花费时间和预期就不会有太大误差)
博得“状元插金花”的机会
每把博得“状元插金花”的概率为0.03215% 。 ∴博得一次“状元插金花”的预期次数为 3110.4次。 平均一人一整轮博饼能投骰子20次(十人参与游戏) , ∴一个人平均参加155次博饼才能博得一次“状元插金花”。
平均每轮博饼会有2~3个状元,
一个人平均每四轮博得一次状元(参加十人博饼,参与人数
越少博得状元的频率越高)
红六勃
传说中最难博到的“六个4”
按照数学期望平均每46656次投骰子出现一次 假设一个人参加的博饼游戏中平均参与人数为10人, 一轮平均投骰子20次,
且设在博饼活动地区的人平均每年参加2~3次博饼, 并在10~60岁坚持每年参加博饼活动
则平均370人中有一人有机会在一生中博得一次红六勃。
为什么小孩,孕妇或有的人博饼的运气很好 这不是这篇文章能解决的事。
较为正常的解释是因为博得次数较少,所以博得的结果的随
机性比较大。如果大量的进行投骰子实验(或参与博饼),才会得到于求得概率(数学期望)比较接近的结果。
至此,对求得结果的总结已经完毕。
注:本篇文章所获得的结论为理论上的结论,在单次或少量
博饼中可能存在不小的误差。而大量进行独立重复试验则能得到与结论相接近,符合的结果
六.参考文献:
书籍:《普通高中课程标准实验教科书 数学选修2-3》—人民教
育出版社—刘绍学、钱佩玲、张建跃等
网络:http://baike.baidu.com/view/328580.htm
2013年8月3日
厦门外国语学校 林宇辉