同济高等数学(第五版)150教时

同济《高等数学》(第五版) 150教时

教学建议书

1 总体建议

1.1 总课时分配：

第1章 分析引论

16 第2章 导数与微分

14

第3章 中值定理与导数的应用

14 第4章 不定积分

14 第5章 定积分

12

第6章 定积分的应用

4

第7章 空间解析几何与向量代数

10 第8章 多元函数微分学

16 第9章 重积分

12

第10章 曲线积分与曲面积分

14 第11章 无穷级数

12 第12章 常微分方程

12

排课150教时，在实际执行教学计划时，01学期5节/周，17周共85教时。02学期4节/周，18周共72教时，理论总课时为157教时，有一定的机动余地。

1.2 备课与讲课： 备课：

〔1〕每一章在计划教时内，在不改变教学要求、尽量尊重教材的基础上，适

当重组教学内容，编写讲稿，使其具有更好的条理性，更强的逻辑性，突出数学思想与数学

方法。讲稿应体现教师的创新思路，应有教师的个人特色。

〔2

〕教学内容的广度与深度。

以高等数学(Ⅰ) 教学大纲为基准，对局部的概念、数学技能与方法的教学，根据各专

业的不同，作适当的延拓与删减。

〔3〕关于定理的证明：

数学定理的证明是培养学生逻辑推理能力，巩固学生数学基础的一个重要手段，要证明。 但由于课时的限制，不全证。选择证明思路不类同的，有一定启发作用的典型定理在课堂教 学上证明。要注意启发学生的证明思路。对不太难的，证明方法与思路已在其它定理的证明

中出现过的，应由学生自证。

〔４〕每学期初、高等数学(Ⅰ) 责任教师会召开备课会议，需要统一、讨论的问题，每位任课教师应早作准备。

讲课：

讲课一定要体现教师的个人特色，不教条，应有创造性的工作，通过讲课激发学生学数学的积极性，但从控制课时，增大讲课信息量，巩固学生的学习成果这几个方面看，讲课应注意：

〔1〕不要花大量时间放在板书定义、定理上。可运用电化教学的功能或事先作好教学准备。也不要将大量的时间放在重复计算或简单计算上。增大教学信息量。

〔2〕每章一定要讲习题课，通过习题课对重要概念作加深理解，纠正作业中的倾向性错误，疑难习题解析等。

1.3 学生作业与课外习题

学数学必需做一定数量的习题。考虑到理工科学生的学习任务重，由于学习时间的限制，学生不大可能做大量的习题，建议高等数学的必要习题量为800-1000题左右。

习题可选自教材，或选自：“高等数学(Ⅰ) 教学同步练习册”(我校自编) ，但在学期初的备课会议上应确定。

教师应精选习题，每一个习题的思维过程，体现的数学思想与方法应具有代表性，特别是供教师批改的作业题，更应精选，能通过作业反映学生学习中的主要问题，作量量不能太少，每次课后至少布置3-5个作业题。

教师应认真批改作业题，典型错误及时与学生交流，每次作业应登记，应给学生一个适当的成绩。期终数学成绩总评时，应作为评分依据之一。高等数学(Ⅰ) 在全校统一按排教师答疑。

1.4 考试

每学期全校组织一次期中考，统一命题，课任教师独立阅卷，通过期中考，评估半个学期的教学。期终考试教考分离，统一命题，成立阅卷组阅卷，阅卷组对全校作整体阅卷分析，写出阅卷报告。课任教师对各自任教班级写出试卷分析。

2 分章教学实施建议 第1章 分析引论 16

〔1〕课时分配：极限概念

3

无穷小、大概念及比较 3 极限运算 4 函数连续性 4 习题课 2 〔2〕本章重点：初等方法求极限

∞0∞

、 (代数式，三角式，指数对数式) ，∞-∞, 1) ；∞0

无穷小，无穷大概念，无穷小的比较及定阶；判断函数的连续点与间断点并分类、连续函数的中值性质等。

本章难点：极限概念的建立。

〔3〕教材中本章共有37个定理(推论或准则) ，可选择有代表性的9个定理(§1.3定理1(唯一性) ，定理2 (局部有界性) ，定理4 (归并性) ，§1.5定理33) ，定理6，§

1.6 准则Ⅰ，§1.7 定理2 §1.9定理3 §1.10定理3) 在课堂教学中证明，余下的定理可让学生自证。§1.3定理3′是一个有用的结果。 〔4〕教材在证明结果：lim (1+

n →+∞

1n

) =e 时，证明过程太繁复，一个可供选择的简捷n

证法：

记x n =(1+) n , x n +1=x n ⋅1≤[对s.t.

1n

(1+

11

+ +(1++1n +1]=x ⇒{x }↑.

n +1n

n +1

11

+≤1的正整数q >1，整数p >1恒有 p q

1

x n () p ≤ ≤1⇒x n ≤q n , 所以，{x n }有界„„.

q

〔5〕有了复合函数的极限运算法则后，给出求1当

∞

lim α=0, ⎧lim αβ⎪x β

时，lim (1+α) =e x =A （A 为有限值） ⎨x lim β=∞⎪⎩x

这样，可简化1型的过程。

〔6〕教材提法“函数的几种特征”，有的院校提出改成“具有某些特性的函数”，理由是，

不是所有函数都具有界性、奇偶性、周期性„„的。

关于极限保号性定理的叙述：与教材不同的叙述为：f(x)在 (x 0) 内有定义，f(x)＞0(或 ＜0) ，lim f(x)=A存在，则A ≥0 (或A ≤0)

即叙述中少了一个等号。

x →x 0

∞

第2章 导数与微分 14

〔1〕课时分配： 导数概念

2

微分

2

求导(微分) 方法

7 相关变化率(微分)

1 习题课

2

〔2〕本章重点：导数概念、求导(微分) 方法

本章难点：复合函数微分法、相关变化率 〔3〕定理证明：§2.2 定理2 定理

3

〔4〕教材中的取对数求导法建议，改成：用y ′=y〔lny 〕′求导或dy=yd〔lny 〕求微分。

这样做简洁，而且可进行加法运算。

〔5〕本章习题课中，可以对前面已学的所有数学概念作一个联系总结：

微分三角形

dy

很重要

dx

第3章 微分中值定理及导数的应用 14

〔1〕课时分配： 微分中值4定理

3

洛必达法则

2 函数性质研究

6 曲率

1 习题课

2

方程近似解

不讲

〔2〕本章重点：Lagrange

中值定理，洛必达法则，微分方法研究函数性质

本章难点：Taylor ZK)

〗

〔3〕证明微分中值定理，主要是证明Lagrange 定理，重点在于启发学生的证明思路。证明结束后可引导学生得到一些结果(如几何解释、单调性，连续函数保号性，连续函数的大小可比性等)

〔4〕用导数研究函数性质。内容散、杂、多。应整理、归纳、尽量条理化。如用导数证不等式的一个原理为：f(x)在〔a,b 〕连续，在(a,b)上f ′(x)≥0且等号仅在有限个点或可列 个点上成立，则在〔a,b 〕上f(x)↑。

〔5〕高等数学中求得的曲线的渐近线多为这样的浙近线：能伸展到无穷远的曲线，当动点沿曲线运动到无穷远时，动点到定直线的距离越来越趋于零。教材关于浙近线的定义为“„ 动点到定直线的距离趋于零”。

第4章 不定积分 14

〔1〕课时按排：不定积分概念

2

不定积分方法

10 习题课

2

积分表的使用——自学

〔2〕

本章重点：不定积分概念与不定积分方法

本章难点：识别积分——应用何种积分方法

〔3〕积分方法的教学是一种运算技能的教学。应设计具有特色的行之有效的教学方法。应

训练学生对常规问题的积分法，培养学生对非常规问题的积分思想。

〔4〕二个函数类积分：∫R(x)dx、∫R(sinx,cosx)dx的教学，不要将太多的时间放在用待定系数法对R(x)的分解算法上，增加教学：R(x)的非待定系数法的分解方法；∫R(x)dx的简单积分法；由R(sinx,cosx)关于sinx,cosx 的奇偶性，确定积分∫R(sinx,cosx)dx的积分法思想。

第5章 定积分 12

〔1〕课时分配：微积分基本定理

2

定积与概念算法

8 广义积分

2

反常积分与审敛法T 函数——不教

〔2〕本章重点：微积分基本定理，定积分算法

本章难点：微积分基本定理，对积分区间，被积函数的控制变换〖ZK) 〗

〔3〕原函数存在定理是本章重点，是全书重点，一定要花大气力教好它，如学生素质好，可作适当深化。

〔4〕定积分积分方法的教学从二条思路展开：一是从积分方法上展开；二是从定积分的

一些基本结论求定积分这一方向展开。

b

〔5〕通过教学培养学生对积分的变换思路(对积分区间控制变换：对被积函数的控制变换思想等)

⎰

a

f(x)dx=

? β

f ( ) dt; ⎰α

第6章 定积分应用 4

〔1〕课时分配： 定积分微元法

1

定积分几何应用、物理应用

3 〔2〕 本章重点：定积分微元法

〔3〕重点讲好定积分的微元法：具有可加性的量A 非均匀地分布在区间〔a,b 〕上，求量A ，可用方法：

b

∀〔x,x+dx〕⊂

a,b 〕，〔x,x+dx〕上量A 微分：△A ≈dA=f(x)dx则A=

⎰f (x ) dx.

a

讲述几何、物理中有代表性的几个问题，余下部分由学生自学，课时不要突破4学时。

第7章 空间解析几何与向量代数 10

第8章 多元函数微分学 16

〔1〕课时分配：多元函数微分法

8

多元微分学几何应用、多元极值

5二元函数Taylor 公式

1 最小二乘法——不讲 习题课

2

〔2

〕本章重点：二、三元函数微分法，多元微分学几何应用，多元极值。

难点：多元复合函数微分法

〔3〕多元复合函数微分法是本章重点也是难点，要下功夫教好它。在设计教案时，可有计 划地使这部分内容多次重复、并用多种方法(链式图法、一阶全微分形式不变性法) 使学生掌 握这部分内容。

〔4

〕方向导数、梯度这二个概念在工程上很重要，应讲清它的几何意义、工程背景。 〔5〕多元极值，可按教材的讲法或引入矩阵有定性后介绍多元极值的二阶充分条件。在条 件极值中，Lagrange 乘子是如何引入的? 有什么工程背景? 可根据学生的素质决定讲与不讲。

第9章 重积分

12

〔1〕二重积分：三重积分的概念统一引出，重积分性质统一讲述，(可参阅复旦《数学分析》) 这样可缩短教学课时。增加内容：重积分的变量可轮换性，重积分的奇偶对称性。 〔2〕统一讲述，直角坐标下

⎰⎰

Ω

、

⎰⎰⎰

Ω

的算法——投影算法。

教材(P81)关于X —型区域，Y —型区域的定义不确切，概念不确切导致学生定二次积分限时 错误较多。

建议讲确切一些：X ——型区域

D

平面有界闭区域D ，s.t. 垂直x 轴的直线与D 的边界交点不多于二个，下方交点与上方

交点分别位于一条下方曲线和一条上方曲线上。

〔3

〕对重积分在特殊坐标系下算法这部分内容，有二种选择供参考：

先讲特殊坐标系(极坐标、柱面坐标，球面坐标) 下算法，再讲重积分的一般换元或 先讲重积分的一般换元，再讲特殊坐标系下算法。

第10章 曲线积分与曲面积分 14

14

课时讲完这一章内容较困难，供参考的教法：

〔1〕将第Ⅰ型曲线、曲面积分统一定义，统一讲性质。将第Ⅱ型曲线积分，曲面积分统一定义，统一讲性质。节省教学课时。

〔2〕第Ⅱ型曲面积分的算法较困难。

⎧⎧分面投影代入算法⎪⎪

⎪直接算法⎨合一投影代入算法

计算第Ⅱ型曲面积分⎨ ⎪II 化I 算法

⎩⎪

⎪间接算法（Gauss 公式）⎩

〔3〕由

Gauss

div （A ），

→

Stokes

rot （A ）这样

→

课时少、直观、易懂。

〔4

〕当学生的数学素质较好时，可考虑讲述曲线、曲面积分的代入算法。

第11章 无穷级数 12

课时很紧，应重新设计章节：(供参考) 11.1 数项级数概念、性质

1 11.2 数项级数审敛法

4 11.3 幂级数

4 11.4 F 氏级数

3

第12章 微分方程 12

〔1〕重新设计章节：12.1 微分方程概念 2

12.2 特殊的一阶微分方程 4

12.3 可降阶的特殊高阶微分方程 1 12.4 高阶线性微分方程 5

〔2〕微分方程应用题在12.2中讲一个专题，介绍建立微分方程的常用方法(翻译法、微元法) 〔3〕在教学特殊右端定二阶常系数非齐次线性微分方程特解时，建议直接给学生一个结论：

令y*=x k Q m (x ) e λx =Q (x ) e

λx

λ不是特征方程的根。这时由Q ''(x ) +(2λ+p ) Q '(x ) ⎧0,

⎪

+(λ2+p λ+q ) Q (x ) =P n (x ) 待定系数；⎪

k =⎨

时由Q ''(x ) +(2λ+p ) Q '=P m (x ) 待定系数；⎪1，λ是特征方程的单根。这

⎪2, λ是特征方程的2重根。这时由Q ''(x ) =P m (x ) 待定系数。⎩

高等数学(一) 责任教师 吴其苗 汪文珑