有趣的轴对称上

2005年第1期3

●数学活动课程讲座●

有趣的轴对称(上)

周春荔

(首都师范大学数学系,100037)

　　(本讲适合初中)

如果已知平面上直线l 和一点A , 自A 作l 的垂线, 垂足为H . 在直线AH 上l 的另一侧取点A ′, 使得A ′H =AH (如图1所示) , 我们称A ′是

A 关于直线l 的对称点, 或

解:如图2, 有

S △ABD =S △A 1DB ,

A 1D =AB =30, A 1B =AD =48,

∠A 1DB =∠ABD . 于是有

∠A 1DC =∠A 1DB +∠∠+图2

者说A 与A ′关于直线l 为轴

图1

对称, 其中直线l 称为对称轴.

图形F 的每一点关于直线l

的对称点组成的图形F ′, 称为F l 形. 形的变换() , 其中直线l (反射轴) .

容易想到, 一条线段AA ′关于它的垂直平分线l 为轴对称图形, 一个角∠AOA ′关于它的角平分线OB 为轴对称图形. 在几何证题或解题时, 如果图形是轴对称图形, 则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质; 如果图形不是轴对称图形, 往往可选择某直线为对称轴, 补为轴对称图形, 或将轴一侧的图形反射到该轴的另一侧, 以实现条件的相对集中.

例1　在四边形ABCD 中, AB =30, AD =48, BC =14, CD =40, ∠ABD +∠BDC =90°. 求四边形ABCD 的面积. 分析:直接计算四边形ABCD 的面积有困难, 若以BD 的垂直平分线l 为对称轴, 作△ABD 关于l 的轴对称图形△A 1DB , 利用轴对称就容易求解了.

　　收稿日期:2004-10-22

A 1DC 12

2

+40=50.

2

2

23

在△A 1BC 中,

BC +A 1B =14+48

=2500=50=A 1C .

22

由勾股定理逆定理知∠A 1BC =90°. 所以,

S 四边形ABCD =S 四边形A 1BCD

=S △A 1BC +S △A 1DC ==

A 1B ・BC +A 1D ・CD 22×48×14+×30×4022

=336+600=936.

利用轴对称我们巧妙地将四边形ABCD 的面积计算出来了.

例2　在△ABC 中, AB =AC , ∠BAC =80°, O 为形内一点, ∠OBC =10°, ∠OCB =30°. 求∠BAO 的度数.

分析:根据已知条件可推知∠ABC =∠AC B =50°, 进一步可知∠ABO =40°, ∠ACO =20°, ∠BOC =140°. 再往下简直无从下手了.

这时, 若想到等腰三角形是轴对称图形, 其对

4中等数学

称轴是底边上的高线, 思路自然就有了.

解:如图3, 作AH ⊥BC 于H . 又AH 也是∠BAC 的平分线, 则有∠BAH =∠C AH =40°.

∠MCQ =∠BCQ ,

所以, ∠ACP =∠MCP , CM =C A . 联结PM , 易知△ACP ≌△MCP .

所以, PM =A P , ∠PMC =∠A =45°. 在△PMQ 中,

∠PMQ =∠PMC +∠CMQ =45°+45°=90°,

图3

延长CO 交

AH 于P , 这时∠BOP =40°=∠BA P . 联结B P , 由对称性知∠P BC =∠PCB =30°. 所以,

∠P BO =30°-10°=20°. 因此, ∠AB P =40°-20°=20°.

在△AB P 与△OB P 中, ∠BA P =∠BOP =40°, B P =B P , ∠AB P =∠OB P =20°,

所以, △AB P ≌△OB P . 故AB =OB . 由于∠ABO =40°, 所以, ∠BAO =

=所以, MP +MQ =PQ , 即222A P +BQ =PQ .

说明:在本题的证明中, 实际上是将BC 关于CQ 轴对称, C A 关于CP 轴对称, 两个对称图形都是线段CM . 这样, 巧妙地将线段A P 、BQ 、PQ 集中在Rt △PMQ 中, 使问题获证.

4

6, ? ”的角度.

222

例34, △ABC 中, BC ,

∠ACB =90°, P 、Q 为边AB 上的两点, 且∠PCQ =45°. 求证:图4

222A P +BQ =PQ .

分析:由AC =BC , ∠ACB =90°知△ABC 是等腰直角三角形, AB 为斜边. 要证A P +22

BQ =PQ , 只须设法将A P 、BQ 、PQ 这三条线段集中在一个直角三角形中, 使得PQ 为斜边, A P 、BQ 为两条直角边即可. 我们利用轴对称来实现这一构想. 证明:如图5, 作∠MCQ =∠BCQ , 截取CM =CB , 联结MQ . 易知△MCQ ≌△BCQ . 所以,

MQ =QB ,

图5

2

图6

(1995, 日本算术奥林匹克(决赛) )

分析:要求“? ”的角度, 即求∠ACD 的度数. 乍一看, 简直无从下手. 但仔细观察, 发现已知角的度数都是12的倍数, 这使我们想到构造60°角, 从而作正三角形.

解:如图

7, 作△ACD 关于AD 所在直线的轴对称图形△A PD .

∠CMQ =∠B =45°.

由于∠ACP +∠BCQ =90°-45°=45°,

图7

2005年第1期5

　　于是, 有∠A PD =∠ACD ,

∠P AD =∠C AD =12°,

∠P AB =60°, A P =AB .

联结P B , 则△P AB 为正三角形. 由于∠AB P =60°, 则∠P BD =12°. 注意到

∠DAB =12°+36°=48°=∠DBA , 所以, AD =BD .

因此, △P AD ≌△P BD . 故∠A PD =∠B PD .

因为∠A PD +∠B PD =60°, 所以, ∠A PD =30°. 因此, ∠ACD =∠A PD =30°.

说明:解题完毕, 再细图7, 发现图形的结构, 就是作△ACD 关于AD 所在直线的轴对称图形△A PD , 再作△A PD 关于PD 所在直线的轴对称图形△B PD . 整个证明过程, 都.

例5　BC =:

AB +BC +CD ≥AD .

2

分析:显然, 要证题设的不等式, 应当把AB BC 、CD 三条线段首尾连接成一条折

2线, 再与线段AD 比较即可. 要实现这一构想, 折线之首端应与点A 重合, 尾端应与点D 重合, 这可由轴对称来实现.

证明:如图8, 以AM 为对称轴, 作点B 关于AM 的对称点B 1, 联结

AB 1、MB 1. 则

AB 1=AB , MB 1=MB .

图8

故△AB 1M ≌△ABM . 因此, ∠B 1MA =∠BMA .

再以DM 为对称轴, 作C 关于DM 的对称点C 1, 联结DC 1、MC 1. 则

DC 1=DC , MC 1=MC .

故△DC 1M ≌△DCM . 因此, ∠C 1MD =∠CMD .

由于∠AMD =120°, 所以,

∠+∠AMD =60°. +C 1∠CMD =60°, B 1MC 1

　=120°-(∠B 1MA +∠C 1MD ) =60°. 因为MB 1=MC 1=等边三角形, B 1C 1=

BC , 则△B 1MC 1是2

BC . 由于两点间距离2

以直线段为最短, 所以,

AB 1+B 1C 1+C 1D ≥AD .

故AB +

BC +CD ≥AD . 2

(未完待续)

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