推广的积分第一中值定理的再改进
第１４卷第１期高等数学研究
Ｖ０１．１４．Ｎｏ．１
２０ｌ１年１月
ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣ（）乙ＬＥＧＥ
ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ
Ｊａｎ．．２０Ｕ
推广的积分第二中值定理的再改进
文传军，姚俊
（常州工学院理学院，江苏常州２１３００２）
摘要
研究推广的积分第一中值定理成立的条件。弱化该定理成立应满足的基本要求，并进而得到被积函
数连续性替代条件的相关推论．
关键词
推广的积分第一中值定理；零集；介值性；可积
中图分类号
（）１７２
文献标识码
Ａ
文章编号
ｌ００８—１３９９（２０１１）Ｏｌ—００４２一０３
积分中值定理是微积分中的重要内容，在积分则称厂（ｚ）在［口，６］上具有介值性．
理论中有着重要作用，是微积分基本理论的基础，受例１
设函数
到众多学者的关注和研究．
…
ｆ—ｚ，一１≤ｚ≤Ｏ，
文［１］运用不动点理论证明了在一个加强条件，‘工’２｛ｚ一１，ｏ＜二≤●１
下积分中值定理中间值的唯一性．文［２］得到了第虽然，（ｚ）在［一１，１］上不连续，但对于任意常裂乞：
一类不连续点函数积分中值定理的推广形式．文［３］一ｌ＝，（Ｏ）＜Ｃ＜厂（一１）一１，
证明了在Ｌｅｂｅｓｇｕｅ积分意义下的多重积分中值定总存在ｅ∈（一ｌ，１），使得
理．文［４］对文［２—３］做了进一步推广，文［５］弱化积厂（￡）＝Ｃ，
分中值定理结论，约束积分中间值于开区间．文［６］所以，（ｚ）在［一１，１］上具有介值性．
给出一个推广的积分第一中值定理的中间点渐进性引理１‘９３
设厂（ｚ）在［ｎ，６］上可积，则厂（ｚ）在公式．文［７］对中间值取于开区间的中值定理进行
［口，６］上的不连续点的集合为零集．
了证明和应用．
引理２［９３
设厂（ｚ）在Ｅ一［口，６］上可积，
本文在上述研究的基础上，对推广的积分第一厂（ｚ）≥０，
中值定理［８］进行再讨论，得到定理成立的弱化条Ｉ厂（ｚ）如＝ｏ，
件，并给出相关推论．
那么，
１
定义与引理
，（ｚ）＝０
ａ．ｅ．
Ｅ．
定义ｌ
设Ａ为直线上一点集，若对任意￡＞Ｏ，
类似于引理２，有引理３．存在一列开区间
引理３
设，（ｚ）在Ｅ＝［ｎ，６］上可积，
Ｊ＾＝（Ａ＾，ｍ）（忌＝１，２，…），
，（ｚ）≥０
ａ．ｅ．
Ｅ，
使得
ｌ，（ｚ）如＝ｏ，
ＡＣＵＪＩ，
那么，
＾＝ｌ
，（ｚ）＝Ｏ
ａ．ｅ．
Ｅ．
∑（胁一Ａ＾）＜ｅ，
Ｉ＝１
证明
不妨设
则称Ａ为零集．
Ａ＝（ｚｌ，（ｚ）＜Ｏ，ｚ∈Ｅ），定义２
设Ｃ为介于厂（ｎ）和，（６）之间的任一
Ｂ＝｛ｚＩ，（ｚ）＞Ｏ，ｚ∈Ｅ）．
实数，若存在ｅ∈（口，６），使得
因为
厂（ｅ）＝Ｃ，
，（ｚ）≥Ｏ
ａ．ｅ．
Ｅ，
收稿日期：２０１０一０４—３０｝修改日期：２０１０—０９一０４．
所以，Ａ为零集，即
作者简介ｔ文传军（１９７６一），男，重庆万州人，博士．讲师，主要从事模
ｍ（Ａ）＝Ｏ，
式识别研究．Ｅｍａｉｌｌｗｅｎｃｊ＠口ｕ．ｃｎ．
从而
姚俊（１９７９一），男，江苏泰州人，讲师，硕士，主要从事统计理论及其应用研究．Ｅｍａｉｌｉｙａｏｊ＠ｃｚｕ．ｃｎ．
Ｉ厂（ｚ）如＝ｏ．
万方数据
第１４卷第ｌ期文传军．姚俊：推广的积分第一中值定理的再改进
４３
当ｚ∈Ｅ＼（ＡＵＢ）时，有
厂（ｚ）＝Ｏ，
胁圳ｚ＝从ｚ）如＋
，Ｂ厂（ｚ）ｄｚ十Ｌ。伽厂（。）如＝。，
所以，
ｌ厂（ｚ）出＝ｏ，
由引理２知
ｍ（Ｂ）一Ｏ．
即Ｂ为零集，所以
、，（ｚ）一Ｏ
ａ．ｅ．
Ｅ．
引理４（达布定理）‘１叩
设厂（ｚ）在［ｎ，６］上可
导，则厂（ｚ）在［４，６］上存在介值性．
定理Ａ（推广的积分第一中值定理）【阳设
厂（ｚ），ｇ（ｚ）在［口，６］上连续，且ｇ（ｚ）在ｋ，６］上不
变号，则存在ｅ∈（口，６），使得
卜
伟
Ｊ
ｌ，（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ＝，（ｅ）ｌ
ｇ（ｚ）ｄｚ．
４
Ｊ口
２
定理及推论
定理１
设厂（ｚ）在■，６］上连续，ｇ（ｚ）在［口，６］
上可积，且
ｇ（ｚ）≥ｏ（或ｇ（ｚ）≤ｏ）ａ．ｅ．
［口，６］，
则存在ｅ∈（ｎ，６），使得
ｒ６
ｒ６
ｇ（工）妇．
Ｊ
ｌ，（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ＝厂（ｅ）Ｉｎ
Ｊ
４
证明
由于连续函数可积，可积函数的乘积仍
可积，所以，（工）・ｇ（ｚ）在［口，６］上可积．不妨假设
，（ｚ）≥ｏ
ａ．ｅ．
［口，６］，
则存在零集Ａ（ｃ［口，６］），当ｚ∈［ｎ，６］＼Ａ时，
ｇ（ｚ）≥Ｏ．
又，（ｚ）在ｋ，阳上连续，设优，Ｍ分别为厂（ｚ）在ｋ，阳上的最小值和最大值，则当工∈［口，６］＼Ａ时，
ｍ≤厂（ｚ）≤Ｍ，
ｍ・ｇ（ｚ）≤，（ｚ）ｇ（ｚ）≤Ｍ・ｇ（ｚ）．
因为有
Ｉ
ｇ（工）＠一
Ｊ【ｎ．阳
，。ｇ（ｚ）ｄｚ＋Ｊ－［。棚、＾ｇ（ｚ）ｄｚ＝
Ｊ【口’６］＼＾ｇ（ｚ）如，
所以有
Ｉｇ（ｚ）ｄｚ≥ｏ，
万方数据
ｍｒｇ（ｚ）如≤ｒ厂（ｚ）ｇ（ｚ）出≤耐６９（。如．
●口
Ｊ口
Ｊ
ａ
分情况进行讨论：
一
（ｉ）如果
Ｉｇ（ｚ）出＝ｏ，
或者
ｍ—Ｍ．
则ｅ在（口，６）内任取一点即可．
（１ｉ）如果
ｌｇ（ｚ）如＞ｏ
并且
ｍ＜Ｍ．
在此情形下，若
ｒ６’
优＜生育——一＜Ｍ，Ｉ厂（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ
Ｉｇ（ｚ）如
Ｊ
ａ
则根据，（ｚ）在［口，６］上的连续性和介值性可知，存
在｝∈（口，６），使得
即有
心，＝譬
怕
ｎ
．１，（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ＝，（ｅ）ｌｇ（ｚ）如．
，ｎ
Ｊ
４
而若
ｍ＝生育——一＜Ｍ，Ｉ，（ｚ）ｇ（ｚ）出
Ｉ
ｇ（工）如
那么
ｌ［厂（ｚ）一，７２］ｇ（ｚ）如＝ｏ．
因为
，（ｚ）一ｍ≥ｏ（垒∈［ｎ，６］），
［，（ｚ）一ｍ］ｇ（ｚ）一ｏ
ａ．ｅ．
［口，６］，由引理３可知
［，（ｚ）一ｍ］ｇ（ｚ）一ｏ
ａ．ｅ．
［口，６］．
又因为
Ｉ
ｇ（ｚ）ｄｚ＞ｏ，
故存在ｅ∈（口，６），使得
ｇ（｝）＞Ｏ，
厂（搴）一扰，
所以
那么
则有
４４高等数学研究２０１１年１月
ｇ（ｚ）ｄｚ＝
试证明至少存在・点｝∈（一ｌ，１），使得
Ｊ
Ｉ，（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ＝优ｌ
ｎ
Ｊ口
∞
弘
ｒｂ
ｌ厂（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ’＝，（搴）Ｉ
ｇ（ｚ）ｄｚ．
，（ｅ）ｌｇ（ｚ）如．
Ｊ
Ｏ
Ｊｔ
Ｊ口
证明虽然函数ｇ（ｚ）不满足定理Ａ的条件，
而若
在［一１，１］上的取值是异号的，但它是满足定理１的
ｒ６
ｍ＜坐丽———一＝Ｍ，Ｉ厂（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ
条件，所以总存在点车∈（一１，１），使得
，
ｒｂ仆
ｇ（ｚ）如
ｌ，（工）ｇ（ｚ）ｄｚ＝，（ｅ）ｌ
ｇ（ｚ）ｄｚ．
Ｊ“
Ｊ口
Ｊ
４
则类似可证结论成立．口
３
结论
定理ｌ和定理Ａ相比较，并不要求ｇ（ｚ）在ｋ，６］上不变号，而只需要求变号的点集为零集，从而扩大
本文对推广的积分第一中值定理进行了讨论，
了适用范围．
将ｇ（ｚ）在［ｎ，６］上不变号弱化为变号的点集为零因为在定理１的证明过程中，对于，（ｚ）而言，主
集，使推广的积分第一中值定理的应用范围更广．同要利用了连续函数闭区间的有界性和介值性，而可积
时利用函数的介值性和可积性以及达布定理，得到函数是有界的，因此也可将，（ｚ）为连续函数的条件两个对应的推论，进一步丰富了定理的适用范畴．
弱化，只要求，（ｚ）是具有介值性的可积函数．
参考文献
，推论１
设厂（ｚ）在［口，６］上可积且有介值性，
［１］肖翔，刘瑞娟，张子厚．不动点定理在积分第一中值定理中
ｇ（ｚ）在［ｎ，６］上可积，且
的应用［Ｊ］．上海工程技术大学学报，２００８，２２（２）：１８０－１８１．
ｇ（ｚ）≥ｏ（或ｇ（ｚ）≤ｏ）ａ．ｅ．
［比，６］，
［２］李衍禧．对“关于第一类不连续点函数的介值定理和积
则存在ｅ∈（ｎ，６），使得
分中值定理”一文的洼记［Ｊ］．数学的实践与认识，
Ｃｂ
弛２００７。３７（８）：１８３－１８５．
ＪⅡ
Ｉ，（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ＝，（搴）Ｉ
ｇ（ｚ）ｄｚ．
Ｊ“
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推论２
设厂（ｚ）是在［ｎ，６］上有原函数的可积
实践与认识．２００７。３７（１２）：１９７—２００．
函数，ｇ（ｚ）在［口，６］上可积，且
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ｇ（ｚ）≥ｏ（或ｇ（ｚ）≤ｏ）ａ．ｅ．
［口，６］，
学报。２００９。９（２）；７０一７１．
则存在ｅ∈（ｎ，６），使得
［５］赵纬经，王贵君．改进的第一积分中值定理及其应用Ｄ］．新
广６
广６
疆师范大学学报：自然科学版，２００７，２６（２）：ｌｌｏ－１１３．
｝厂（ｚ）ｇ（ｚ）ｄｚ＝厂（ｅ）ｆ
ｇ（ｚ）ｄｚ．
Ｊ口
Ｊ
［６］刘文武．积分中值定理中间点渐进性的一个注记［Ｊ］．
ｎ
证明
因厂（ｚ）在［口，６］上有原函数，由引理４，
吉首大学学报：自然科学版，２００７，２８（４）：２４・２６．
则，（ｚ）在［口，６］上存在介值性，再利用推论ｌ即可
［７］王哈珥．积分中值定理的改进［ｊ］．高等数学研究．
得证．
２００９．１２（６）：５９—６０．
［８］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．高等教育出版
例２
设函数，（ｚ）在［一１，１］上连续，点集社，１９９ｌ：２９５．
Ｅ＝｛１／Ｍ，２／Ｍ，…，１），
［９］程其襄，张奠宙，魏国强，等．实变函数与泛函分析基础［Ｍ］－
其中Ｍ为某一正整数（Ｍ＞１），而
高等教育出版社。１９８３：１１３一１１６．
，、
ｚ∈［一１，１］＼Ｅ，
［１０］潘继斌．达布（Ｄａｒｂｏｕｘ）定理及其应用［Ｊ］．湖北师范
ｇ‘ｚ’。ｌ一１，
ｆ１，
ｚ∈Ｅ，
学院学报：自然科学版．２０００，２０（１）：７８．８０．
ＩｍｐｒｏＶｅｍｅｎｔｏｆｔｈｅＥｘｔｅｎｄｅｄＦｉｒｓｔＩｎｔｅｇｒａＩ
ＭｅａｎＶａｌｕｅＴｈｅｏｒｅｍ
ＷＥＮＣｈｕａｎ＿ｊｕｎ，
ＹＡ０Ｊｕｎ
（Ｓｃｈｏｏｌ
ｏｆＳｃｉｅｎｃｅ．ＣｈａｎｇｚｈｏｕＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ．Ｃｈａｎｇｚｈｏｕ２１３００２．ＰＲＣ）
Ａｂｓｔｒａｃｌ：
Ｔｈｅｔｅｎａｂｌｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｔｈｅｅｘｔｅｎｄｅｄｆｉｒｓｔｉｎｔｅｇｒａｌｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｃｏｒｅｍｉｓｓｔｕｄｉｅｄｉｎｔｈｉｓｐａｐｅｒ．
Ｔｈｅｐｒｅｍｉｓｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｔｈｉｓｔｈｅｏｒｅｍｉｓｗｅａｋｅｎｅｄ，ａｎｄｉｎｆｅｒｅｎｃｅｓ
ａｒｅ
ｏｂｔａｉｎｅｄ
ａｂｏｕｔｔｈｅｒｅｐｌａｃｅｍｅｎｔｏｆｆｕｎｃｔｉｏｎｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙｐｒｏｐｅｒｔｙ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：
ｅｘｔｅｎｄｅｄｆｉｒｓｔｍｅａｎｖａｌｕｅｔｈｅｏｒｅｍ，ｚｅｒｏｓｅｔ，ｉｎｔｅ丌ｎｅｄｉａｔｅｖａｌｕｅｐｒｏｐｅｒｔｙ，ｉｎｔｅｇｒａｌｉｔｙ
万方数据
推广的积分第一中值定理的再改进
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
文传军， 姚俊， WEN Chuan-jun， YAO Jun常州工学院,理学院,江苏,常州213002高等数学研究
STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS2011,14(1)
参考文献(10条)
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9.李衍禧 对
10.肖翔;刘瑞娟;张子厚 不动点定理在积分第一中值定理中的应用[期刊论文]-上海工程技术大学学报 2008(02)
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