[平面向量]测试题及答案
《平面向量》测试题
一、选择题
1.若三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)共线,则( ) A.x=-1
B.x=3
C.x=
9
2
D.x=51
2.与向量a=(-5,4)平行的向量是( )
A.(-5k,4k)
B.(-54k,-k) C.(-10,2) D.(5k,4k) 3.若点P分所成的比为3
4
,则A分所成的比是( )
A.37 B. 7733 C.- 3 D.-7
4.已知向量a、b,a²b=-40,|a|=10,|b|=8,则向量a与b的夹角为( ) A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=4120,|a|=4,|b|=5,则向量a²b=( ) A.10
B.-103
C.102
D.10
6.(浙江)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=( )
A.7793 B.7379 C.7379 D.-7
9
73
7.已知向量a=(3,4),b=(2,-1),如果向量(a+x)²b与b垂直,则x的值为( ) A.
23
3
B.
3
23
C.2 D.-
25
8.设点P分有向线段P1P2的比是λ,且点P在有向线段P1P2的延长线上,则λ的取值范围是( A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-
1
2
) 9.设四边形ABCD中,有=
1
2
,且||=||,则这个四边形是( ) A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形
10.将y=x+2的图像C按a=(6,-2)平移后得C′的解析式为( ) A.y=x+10 B.y=x-6 C.y=x+6 D.y=x-10
11.将函数y=x2+4x+5的图像按向量a经过一次平移后,得到y=x2
的图像,则a等于( ) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)
12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第4个顶点D的坐标是( )A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题
13.设向量a=(2,-1),向量b与a共线且b与a同向,b的模为2,则b= 。 14.已知:|a|=2,|b|=2,a与b的夹角为45°,要使λb-a垂直,则λ= 。 15.已知|a|=3,|b|=5,如果a∥b,则a²b= 。 16.在菱形ABCD中,(AB+AD)²(AB-AD)= 。
)
三、解答题
17.如图,ABCD是一个梯形,AB∥CD,且AB=2CD,M、N分别是DC、AB的中点,已知=a,=b,试用a、b分别表示、、。
18.设a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2),
(1)求证a与b不共线,并求a与b的夹角的余弦值;(2)求c在a方向上的投影; (3)求λ1和λ2,使c=λ1a+λ2b.
19.设e1与e2是两个单位向量,其夹角为60°,试求向量a=2e1+e2,b=-3e1+2e2的夹角θ。
20.以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB,∠B=90°,求点B的坐标和。
o
21. 已知|a|2 |b|3,a与b的夹角为60, c5a3b, d3akb,当当实数k为何值时,⑴c∥d ⑵cd
22.已知△ABC顶点A(0,0),B(4,8),C(6,-4),点M内分所成的比为3,N是AC边上的一点,且△AMN的面积等于△ABC面积的一半,求N点的坐标。
文科数学 [平面向量]单元练习题
一、选择题
1.(全国Ⅰ)设非零向量a、b、c、满足|a|=|b|=|c|,a+b=c,则〈a,b〉=( ) A.150 B.120° C.60° D.30°
2.(四川高考)设平面向量a=(3,5),b=(-2,1),则a-2b等于( ) A.(7,3) B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3)
→→→→→→
3.如图,已知AB=a,AC=b,BD=3DC,用a,b表示AD,则AD等于( )
3131131A.a+b B.a+C.+b D.+b
4444444
4.(浙江)已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a)∥b,c⊥(a+b),则c=( )
77777777
A. B. C., D.
93933399
5.(启东)已知向量p=(2,x-1),q=(x,-3),且p⊥q,若由x的值构成的集合A满足A⊇{x|ax=2},则实数a构成的集合是( )
22
A.{0} B.{} C.∅ D.{0,}
33
3
6.在△ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,如果2b=a+c,B=30°,△ABC的面积为,则b等
2
于( ) 1+323A..1+3 C..2+3
22
7.(银川模拟)已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km,灯塔A在观察站C的北偏东20°,灯塔B在观察站C的南偏东40°,则灯塔A与B的距离为( ) A.2a km B.a3a2a km
→2→→→→→→
8.在△ABC中,若BC=AB²BC+CB²CA+BC²BA,则△ABC是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 9.已知等腰△ABC的腰为底的2倍,则顶角A的正切值是( )
31515A.3 C. 287
→|PA|→→→
10.已知D为△ABC的边BC的中点,在△ABC所在平面内有一点P,满足PA+BP+CP=0,设λ,则
→|PD|
λ的值为( )
11
A.1 B. C.2 D.
24
二、填空题
11.设向量a=(1,2),b=(2,3),若向量λ a+b与向量c=(-4,-7)共线,则λ________.
|a|
12.(皖南八校联考)已知向量a与b的夹角为120°,若向量c=a+b,且c⊥a,则________.
|b|13.已知向量a=(tanα,1),b=3,1),α∈(0,π),且a∥b,则α的值为________.
14.(烟台模拟)轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h,则下午2时两船之间的距离是________n mile. 15.(江苏高考)满足条件AB=2,AC=2BC的三角形ABC的面积的最大值是________. 三、解答题
16.设a=(-1,1),b=(4,3),c=(5,-2),
(1)求证a与b不共线,并求a与b的夹角的余弦值; (2)求c在a方向上的投影;
(3)求λ1和λ2,使c=λ1a+λ2b.
17.如图,已知A(2,3),B(0,1),C(3,0),点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,且DE平分△ABC的面积,求点D的坐标.
π318.(厦门模拟)已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),α∈π. 22
→→
(1)若|AC|=|BC|,求角α的值;
2
2sinα+sin2α→→
(2)若AC²BC=-1,求的值.
1+tanα
π
19.(南充模拟)在△ABC中,已知内角A=,边BC=3,设内角B=x,周长为y.
3
(1)求函数y=f(x)的解析式和定义域;
(2)求y的最大值及取得最大值时△ABC的形状.
20.(福建高考)已知向量m=(sinA,cosA),n=(3,-1),m²n=1,且A为锐角. (1)求角A的大小;
(2)求函数f(x)=cos2x+4cosAsinx(x∈R)的值域.
2222
21.在△ABC中,a、b、c分别为角A、B、C的对边,且(a+b)sin(A-B)=(a-b)sinC.
→→
(1)若a=3,b=4,求|CA+CB|的值;
π→→→→→→
(2)若CABC3,求AB²BC+BC²CA+CA²AB的值.
3
《平面向量》测试题
参考答案
1.B 2.A 3.C 4.C 5.A 6.D 7.D 8.A 9.C 10.B 11.A 12.C 13.(4,-2) 14.2 15.±15 16.0 17.[解] 连结AC
111
=a,…… =+= b+a,…… 222
11
=-= b+a-a= b-a,……
22
1
NM=ND+DM=NA+AD+DM= b-a,……
4
1
MN=-NM=a-b。……
4
=
18.【解析】 (1)∵a=(-1,1),b=(4,3),且-1³3≠1³4,∴a与b不共线. 又a²b=-1³4+1³3=-1,|a|2,|b|=5,
a²b-12
∴cos〈a,b〉==-|a||b|210(2)∵a²c=-1³5+1³(-2)=-7∴c在a方向上的投影为
a²c-77
=-2. |a|22
(3)∵c=λ1a+λ2b,
∴(5,-2)=λ1(-1,1)+λ2(4,3) =(4λ2-λ1,λ1+3λ2),
4λ2-λ1=5∴
λ1+3λ2=-2
λ
,解得
λ
1
=-
23
7
32=7
2
2
2
.
19.[解] ∵a=2e1+e2,∴|a|=a=(2e1+e2)=4e1+4e1²e2+e2=7,∴|a|=7。
2
2
同理得|b|=7。又a²b==(2e1+e2)²(-3e1+2e2,)=-6e1+ e1²e2+2e2=-2
2
7
, 2
7
a·
b=-1,∴θ=120°. ∴ cosθ==|a|
·|b|772
20.[解] 如图8,设B(x,y),
则OB=(x,y), AB=(x-4,y-2)。
∵∠B=90°,∴⊥,∴x(x-4)+y(y-2)=0,即x+y=4x+2y。① 设OA的中点为C,则C(2,1), =(2,1),=(x-2,y-1)
∵△ABO为等腰直角三角形,∴⊥,∴2(x-2)+y-1=0,即2x+y=5。② 解得①、②得
2
2
x11x23
或
y13y21
∴B(1,3)或B(3,-1),从而=(-3,1)或=(-1,-3) 21. ⑴若c∥d 得k9 ⑵若cd得k29
514
22.[解] 如图10,
S△AMNS△ABC
1
|AM|·|AN|·sinBAC
=。 1
|AB|·|AC|·sinBAC2
3
=,则由题设条件得 4
∵M分的比为3214= ==2。 233026
x4,N12
由定比分点公式得
y02(4)8.N123
∴N(4,-
文科数学 [平面向量]单元练习题
答案
一、选择题
1.B 【解析】 ∵(a+b)=c,∴a²b=-,
2
2
2
8
)。 3
c2
a²b1
cos〈a,b〉=,〈a,b〉=120°.故选B.
|a||b|2
2.A 【解析】 a-2b=(3,5)-2(-2,1)=(7,3).
3→→→→
3.B 【解析】 AD=AB+BD=a+BC
4
3→→313=a+(AC-AB)=ab-a)+b.
4444
4.D 【解析】 设c=(x,y),则c+a=(x+1,y+2),a+b=(3,-1). ∵(c+a)∥b,c⊥(a+b),
∴2(y+2)=-3(x+1),3x-y=0.
∴x79y=-7
3
,故选D.
5.D 【解析】 ∵p⊥q,∴2x-3(x-1)=0, 即x=3,∴A={3}.又{x|ax=2}⊆A, ∴{x|ax=2}=∅或{x|ax=2}={3},
∴a=0或a=2
3
,
∴实数a构成的集合为{0,2
3}.
6.B 【解析】 由13
2 2ac=6,
由余弦定理得b2=a2+c2
-2accosB
=(a+c)2
-2ac-2accos30°,
即b2
=4+3, ∴b=3+1.
7.C 【解析】 如图,△ABC中, AC=BC=a,∠ACB=120°. 由余弦定理,
得AB2=AC2+BC2
-2AC²BCcos120°
=a2+a2-2a2³(-12
)=3a2
,
∴AB=3a.
8.B 【解析】 ∵→AB²→BC+→CB²→CA+→BC²→
BA =→BC²(→AB+→BA)+→CB²→CA=→CB²→CA, ∴→BC2-→CB²→CA=→BC²(→BC+→CA)=→BC²→
BA=0,
∴∠Bπ
2
ABC为直角三角形.
9.D 【解析】 设底边长为a,则腰长为2a,
∴cos A4a2+4a2-a2
2³2a³2a78sin A=15
8.
∴tan A15
7
,故选D. 10.C 【解析】 ∵→PA+→BP+→
CP=0, 即→PA-→PB+→CP=0,即→BA+→
CP=0,
故四边形PCAB是平行四边形,∴|→PA|
2.
|→PD|
二、填空题 11.【解析】 ∵a=(1,2),b=(2,3),
∴λ a+b=(λ,2λ)+(2,3)=(λ+2,2λ+3). ∵向量λ a+b与向量c=(-4,-7)共线, ∴-7(λ+2)+4(2λ+3)=0,∴λ=2. 【答案】 2 12.【解析】 由题意知a²b=|a||b|cos120°
1
=-|a||b|.
2
又∵c⊥a,∴(a+b)²a=0, 2
∴a+a²b=0,
1|a|12
即|a|=-a²b=|a||b|=.
2|b|21
【答案】 213.【解析】 ∵a∥b,∴tanα3=0,即tanα3,
π
又α∈(0,π),∴α=.
3
π
【答案】 3
14.【解析】 如图,由题意可得OA=50,OB=30.
222
而AB=OA+OB-2OA²OB cos120°
122
=50+30-2³50³30³(-2
=2 500+900+1 500=4 900,∴AB=70. 【答案】 70 15.【解析】 设BC=x,则AC=2x,
1
根据面积公式得S△ABC=AB²BCsinB
2
12
=1-cosB, 2
AB2+BC2-AC2
根据余弦定理得cosB=2AB²BC4+x-2x)4-x=
4x4x
代入上式得
222
4-x2128-(x-12)
S△ABC=1-(=
4x16
2
2
2
2x+x>2
由三角形三边关系有
x+2>2x
,
解得22-2
故当x=3时,S△ABC取得最大值2. 【答案】 2三、解答题 16.【解析】 (1)∵a=(-1,1),b=(4,3),且-1³3≠1³4,∴a与b不共线. 又a²b=-1³4+1³3=-1,|a|2,|b|=5,
a²b-12
∴cos〈a,b〉==-|a||b|210(2)∵a²c=-1³5+1³(-2)=-7,
a²c-77
∴c在a方向上的投影为2.
|a|22
(3)∵c=λ1a+λ2b,
∴(5,-2)=λ1(-1,1)+λ2(4,3) =(4λ2-λ1,λ1+3λ2),
4λ2-λ1=5∴
λ1+3λ2=-2
λ
,解得
λ
1
=-
23
7
32=7
.
→
17.【解析】 要求点D坐标,关键是求得点D分AB所成比λ的值,求λ值可由已知条件△ADE是△ABC面积一半入手,利用三角形面积比等于三角形相似比的平方关系求得. ∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,
S△ADEAD2
=. S△ABCAB
AD1AD21
由已知,有,即.
ABAB22
∴
→
设点D分AB所成的比为λ,利用分点定义,
1
得λ2+1.
2-1
2
∴得点D的横、纵坐标为x==22,
1+2+1
y=
32+1
=3-2.
12+1
则点D坐标为(22,32).
→
18.【解析】 (1)∵AC=(cosα-3,sinα), →→→BC=(cosα,sinα-3)且|AC|=|BC|,
2222
∴(cosα-3)+sinα=cosα+(sinα-3), 整理,得sinα=cosα,∴tanα=1. π35又απ,∴α=. 224→→
(2)∵AC²BC=cosα(cosα-3)+sinα(sinα-3)=-1,
22
∴cosα-3cosα+sinα-3sinα=-1,
25
即sinα+cosααcosα=-,
39
22
2sinα+sin 2α2sinα+2sinαcosα∴=
1+tanαsinα
1+
cosα
5
=2sinαcosα9
19.【解析】 (1)△ABC的内角和A+B+C=π,
π2
由A=,B>0,C>0得0
33
BC23应用正弦定理知AC=sin Bsin x
sin Aπ
sin
3
=4sin x.
BC2AB=C=4sinπ-x, sin A3∵y=AC+AB+BC,
22∴y=4sinx+4sin-x+230
31
(2)∵y=4sinxcosx+x+23
22
π=4x++23,
6
ππ5
且x
πππ
∴当x即x=时,y取得最大值63,
623
此时△ABC为等边三角形. 20.【解析】 (1)由题意得m²n=3sinA-cosA=1,
ππ1
2sin(A=1,sin(A-)=662
πππ
由A为锐角得A,A.
6631
(2)由(1)知cosA
2
2
所以f(x)=cos2x+2sinx=1-2sinx+2sinx
123
=-2(sinx-).
22
因为x∈R,所以sinx∈[-1,1],
13
因此,当sinx时,f(x)
22
当sinx=-1时,f(x)有最小值-3,
3
所以所求函数f(x)的值域是[-3].
2
2222
21.【解析】 由(a+b)sin(A-B)=(a-b)sinC,得 2222
(a+b)sin(A-B)=(a-b)sin(A+B), 由两角和与差的正弦公式展开得: 22
2bsin Acos B=2acos Asin B.
根据正弦定理有:2sin Bcos B=2sin Acos A, 即sin 2B=sin 2A, ∵A、B为三角形的内角,
π
∴A=B或A+B2
ππ→→
(1)若a=3,b=4,则A≠B,∴A+B=CCA⊥CB,
22
→→→2→2→→) ∴|CA+CB|=(CA+CB+2CA²CB22
=a+b=5.
ππ
(2)若CC≠A=B,a=b,三角形为等边三角形.
3212
由S△ABCsin C3,解得a=2,
2
→→→→→→∴AB²BC+BC²CA+CA²AB
2π
=3³2³2cos=-6.
3