第九讲 立体几何的体积与表面积
第九讲 立体几何的体积与表面积
基础知识点
小学阶段,我们除了学习平面图形外,还认识了一些简单的立体图形,如长方体、正方体(立方体)、直圆柱体,直圆锥体、球体等,并且知道了它们的体积、表面积的计算公式,归纳如下。见下图。
在数学竞赛中,有许多几何趣题,解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计,把形象思维和抽象思维结合起来。
1、 求不规则立体图形的表面积与体积
【例1】用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形,问该图形的表面积是多少平方厘米?
【例2】(★★★)在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞.洞口是边长为1厘米的正方形,洞深1厘米(如下图).求挖洞后木块的表面积和体积.
2、 水位问题
【例3】一个酒精瓶,它的瓶身呈圆柱形(不包括瓶颈),如下图.已知它的容积为26.4π立方厘米.当瓶子正放时,瓶内的酒精的液面高为6厘米.瓶子倒放时,空余部分的高为2厘米.问:瓶内酒精的体积是多少立方厘米?合多少升?
【例4】一个高为30厘米,底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶,其中装有1容积2
的水,现在向桶中投入边长为2厘米⨯2厘米⨯3厘米的长方体石块,问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐?
3 计数问题
【例5】有甲、乙、丙3种大小的正方体,棱长比是1:2:3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体,且每种都至少用一个,则最少需要这三种正方体共多少?
4、几何体表面爬行问题
【例6】如图两只小蚂蚁都在一个棱长为10的正方体A 点处,现在它们要爬向C 点,其中一只小蚂蚁去探路,寻找一条沿正方体表面爬行的最短路线,并留下脚印,以便第二只小蚂蚁沿这条最短路线也爬到C 点,同学们,你们能不能帮第一只小蚂蚁找到最短路线呢,这两只小蚂蚁所走的最短路线的乘积是多少呢?
C
测 试 题
1、如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞;接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞;第三个小洞的挖法与前两个相同,边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米?
2. 一个长方体如果长增加3cm ,体积就增加45cm 3,如果宽增加5cm ,体积就增加90cm 3,如果高增加4cm ,体积就增加48cm 3,求原长方体的表面积。
3. 甲、乙两个圆柱形水桶容积一样大,甲桶底圆半径与乙桶底圆半径
比为3:2,乙桶比甲桶高1.5米,则乙桶的高度为 。
4. 如图,工地上堆放了180块砖,这个砖堆有两面靠墙。如果要把这
个砖堆的表面涂满白色,那么,被涂上白色的砖共有 块。
图2
5. 从三个方向看一个立方体如下图,求H 、X 、Y 对面分别是什么字母?
A
H Y X E H W
6. 某种长方体形的集装箱,它的长宽高的比是4:3:2,如果用甲等油漆喷涂它的表面,每平方米的费用是0.9元,如果改用乙等油漆,每平方米的费用降低为0.4元,一个集装箱可以节省6.5元,则集装箱总的表面积是 平方米,体积是 立方米。
7. 小红把10个棱长均为1的小正方体按如图的位置堆放,结果又把标有字母的小正方体搬走了,这时表面积为 。
第7题图
8、图中是一个直三棱柱的表面展开图,其中,黄色和绿色的部分都是边长等于1的正方形。问这个直三棱柱的体积是多少?
黄
绿
9、如图一只小蚂蚁都在一个如图所示的长方体A 点处,现在它要沿长方体表面爬向C 点,同学们,你们能不能帮这只小蚂蚁找到最短路线呢,最短路线的长度是多少?