专题3--关于变上限积分(函数)的一个重要规则
专题3——⎰a f (x ) g (t ) dt =f (x ) ⎰a g (t ) dt
这里的标题就是一个公式：
x x
⎰
x
a
f (x ) g (t ) dt =f (x ) ⎰g (t ) dt ，这个公式为什么成立？专题2中出现
a
x
过
⎰
x
x 0
f (x ) dx ，参照标题公式，为什么不把它化为⎰f (x ) dx =f (x ) ⎰dx ？这一切问题困扰着你幼
x 0
x 0
x x
小的心灵。
解决这些问题的关键是找准积分变量！什么是积分变量？微分符号d 后面的变量就是积分变量，dt
——t 就是积分变量，dx ——x 就是积分变量，du ——u 就是积分变量。
积分区间和积分变量是什么关系？积分区间就是积分变量的取值区间！
在清楚了以上基本的知识后，再回过头来理解标题公式
⎰
x
a
f (x ) g (t ) dt =f (x ) ⎰g (t ) dt ，明显，这
a
x
里的积分变量就是t ，不是x ，那么积分区间[a , x ]（x >a ）就是t 的变动范围。假如函数g (t ) 的
原函数为G (t ) ，即G '(t ) =g (t ) ，那么f (x ) G (t ) 对t 求导，有[f (x ) G (t )]'=f (x ) g (t ) ，那么，
⎰
x
a
x
f (x ) g (t ) dt =⎰[f (x ) G (t )]'dt =[f (x ) G (t )]|a =f (x ) G (x ) -f (x ) G (a ) ，而
a
x
x f (x ) ⎰g (t ) dt =f (x ) ⎰G '(t ) dt =f (x ) ⋅G (t ) |a =f (x ) ⋅[G (x ) -G (a )]=f (x ) G (x ) -f (x ) G (a ) ，
a
a
x x
故
⎰
x
a
f (x ) g (t ) dt =f (x ) ⎰g (t ) dt 。所以说公式中f (x ) 就相当于定积分不定积分中的常数K ，当然
a
x
可以提到积分外面去。
再来解释一下
⎰
x
x 0
这里的积分变量是x （这f (x ) dx 为什么不能做如下转化：⎰f (x ) dx =f (x ) ⎰dx ，
x 0
x 0
x
x x
里的积分变量x 和积分上限的x 不是同一个x ，当然为了避免混淆，一般把
⎰
x 0
f (x ) dx 写成
⎰
x
x 0
，f (t ) dt 这种形式，在这里之所以讨论这个让人生倦的问题，是为了让你更好理解本节的主题）
假设f (x ) 的原函数为F (x ) ，即F '(x ) =f (x ) ，那么
⎰
x
x 0
f (x ) dx =⎰F '(x ) dx =F (x ) |=F (x ) -F (x 0) ，而f (x ) ⎰dx =f (x ) ⋅x |x x )(x -x ) x 0=f (0，因
x 0
x 0
x
x
x 0
x
而
⎰
x
x 0
f (x ) dx ≠f (x ) ⎰dx
x 0
x
红字部分的讨论可能有些失败（你打印出来应该是黑体了），你不能体会也没关系，但是要记住这一
原则：当积分变量和积分上限变量相同时，我们一定要把积分变量换成其他的量（“定积分的值与积
分变量的选取无关”——这一点是你变换积分变量的理论基础），比如t （被积函数中的变量做相应
变换）