数学归纳法在物理解题中的应用
贵州省黔西第一中学 陈丽珊 陈 海
在近年高考题中高频率的出现多过程问题，这类问题很多情况下可以用数学归纳法来解决，比如说一个关于自然数n的命题，由n＝1命题成立，可推知n＝2命题成立，继而又可推出n＝3命题成立……这样就形成了一个无穷的递推，从而命题对于n>＝1的自然数都成立，下面略举几例说明这一方法的应用，供同行参考。
例1（2010年北京高考）雨滴在穿过云层的过程中，不断与漂浮在云层中的小水珠相遇并结合为一体，其质量逐渐增大。现将上述过程简化为沿竖直方向的一系列碰撞。已知雨滴的；初始质量为
，初速度为
，下降距离
后于静止的小水珠碰撞且合并，质量变为
。此后每经过同样的距离
后，雨滴均与静止的小水珠碰撞且合并，质量依次为
、
．．．．．．
．．．．．．（设各质量为已知量）。不计空气阻力。若考虑重力的影响，
求（1）第１次碰撞前、后雨滴的速度
和
；
（2）求第ｎ次碰撞后雨滴的动能
。
解析：（1）若考虑重力的影响，雨滴下降过程中做加速度为g的匀加速运动，碰撞瞬间动量守恒
第1次碰撞前
第1次碰撞后
，
（2）第2次碰撞
第2次碰撞后，利用（2）式得
同理，第3次碰撞后
，…………
第n次碰撞后速度为
故第ｎ次碰撞后雨滴的动能为
例2（2007年全国高考）如图所示，质量为m的由绝缘材料制成的球与质量为M=19m的金属球并排悬挂。现将绝缘球拉至与竖直方向成θ=600的位置自由释放，下摆后在最低点与金属球发生弹性碰撞。在平衡位置附近存在垂直于纸面的磁场。已知由于磁场的阻尼作用，金属球将于再次碰撞前停在最低点处。求经过几次碰撞后绝缘球偏离竖直方向的最大角度将小于450。
解析：由题意知每次碰撞都发生在最低点，且为弹性正碰设小球m的摆线长度为L，向左为速度的正方向，第一次碰撞前后绝缘小球的速度分别
、
，金属球的速度为
由动量守恒得：
由机械能守恒得：
且
，解得
，
第二次碰撞前后有，由动量守恒得：
由机械能守恒得：
联立上式解得
，
同理可得第三次碰撞前后有，
解得
，
由此可知…………
第n次碰撞后，绝缘小球的速度为
,金属球的速度
设第一次碰前绝缘球的动能为
，其中
第n次碰后绝缘球的动能为
，
其中
，则
得
，因为
，
所以2
例3（2009年北京高考）
（1）如图1所示，ABC为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC段水平，AB段与BC段平滑连接。质量为
的小球从高位
处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC段上质量为
的小球发生碰撞，碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。求碰撞后小球
的速度大小
；
解析：（1）设碰撞前的速度为，根据机械能守恒定律
①
设碰撞后
与
的速度分别为
和
，根据动量守恒定律
②
由于碰撞过程中无机械能损失
③
②、③式联立解得
④
将①代入得④
（2）碰撞过程中的能量传递规律在屋里学中有着广泛的应用。为了探究这一规律，我们才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的恶简化力学模型。如图2所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为
、
、
．．．．．．
、
．．．．．．的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能
，从而引起各球的依次碰撞。定义其中第
个球经过依次碰撞后获得的动能
与
之比为第1个球对第
个球的动能传递系数
。
求：（a）
（b）若
、
、
为确定的已知量。求
为何值时，
值最大
解析：（a）由上问中④式，考虑到
和
得
根据动能传递系数的定义，对于1、2两球
⑤
同理可得，球
和球
碰撞后，动能传递系数k13应为
⑥
依次类推，动能传递系数k1n应为
解得
（b）．将
、
代入⑥式可得
为使k13最大，只需使
由
可知
2011-05-19 人教网
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