勾股定理在平行四边形中的应用
平行四边形里的计算,有不少是与勾股定理相结合的.这两部分内容都是本学期学习的重点,将两者结合在一起所命的题目,一般都是中、高档的填空题或选择题,这在近几年的中考里体现得较为丰富.现以近年中考题为例加以剖析,详细解答过程由同学们自己完成.
例1 (十堰)如图1所示,平行四边形ABCD中,∠ABC=60°.E,F分别在CD和BC的延长线上.AE//BD,EFIBC,则AB的长是_____.
简析:显然,四边形ABDE是平行四边形,所以在Rt△ECF中.∠ECF=∠ABC:60°,故∠CEF=30°,所以CE=2CF又所以根据勾股定理列方程可求得CE的长,从而求出AB.
例2 (泰安)如图2,在口ABCD中,AB=4.∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E,与DC交于点F,且点F为DC的中点.DG⊥AE,垂足为G.若DG=1.则AE的长为().
简析:角平分线遇到平行线,可得等腰三角形.
所以,有AD=DF,BE=AB.F是DC的中点,所以从而有AF=EF,AD=CE(BC)=∠BE=∠AB=2。由DG上AE,△ADF为等腰三角形,所以AG=GF所以AE=4AG.在Rt△ADG中,根据勾股定理得所以选B.
例3 (云南)如图3,在矩形ABCD中,对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M,与BC相交于点N,连接BM.DN.
(1)求证:四边形BMDN是菱形:
(2)若AB=4,AD=8,求MD的长.
解析:(1)∵四边形ABCD是矩形,
∴AD//BC.∠BNO=∠DMO、∠NBO=∠MDO.
因OB=OD,故ON=OM.所以四边形BMDN是平行四边形.因BD⊥MN,则平行四边形BMDN是菱形.
(2)因四边形BMDN是菱形,故MB=MD.设MD长为x,则MB=x,AM=8-x.在Rt△AMB中.MB2=AM2+AB2,即X2=(8-x)2+42,解得x=5. MD的长为5.
例4 (苏州)如图4,在矩形ABCD中,点E是边CD的中点,将△ADE沿AE折叠后得到△AFE,且点F在矩形ABCD的内部.
将AF延长,交边BC于点G.若
解析:根据题设可得DE=CE,再根据翻折的性质可得DE=EF,AF=AD,∠AFE=∠D=90°.从而得到CE=EF连接EG,如图5.利用“斜边直角边”可证明Rt△ECG和Rt△EFG全等,可得CG=FG.设CG=1.则CB=k,所以AF=AD=BC=k+l,AG=k+2.在Rt△GAB中,由勾