关于椭圆焦半径的一条优美性质
2007年第5期 论 关于椭圆焦半径的一条
优美性质武增明
(云南省玉溪第一中学,653100)
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命题 把椭圆a+b
=1(a>b>0)的
长轴分成n(nIN,且n>1)等份,过每个分点作x轴的垂线,分别交椭圆的上半部分(或下半部分)于点P1、P2、,、Pn-1,F是椭圆的一个焦点.则
|P1F|+|P2F|+,+|Pn-1F|=(n-1)a
.证明
:如图
由椭圆的对称性得
P1与Pn-1、
P2
与
Pn-
2、
,,
关于y轴对称.
则P1,P2,,,图1
Pn-1分
别到
右焦
点
(或左焦点)的距离依次与
Pn-1,Pn-2,,,P1分别到
左
焦点
(或右焦点)
的距离相等.
不妨设F、F1
分
别为椭圆的左焦点、右
焦点
,于是,
|P1F|+|P2F|+,+|Pn-2F|+|Pn-1F|
=|Pn-1F1|+
|Pn-2F1|+,+|P2F1|+|P1F1|.
令
S=|P1F|+|P2F|+,+
|Pn-2F|+|Pn-1F|.
¹
把各项的次序反过来,S又可以写成
S=|P1F1|+|P2F1|+,+
|Pn-2F1|+|Pn-1F1|.º
¹+º,再根据椭圆的第一定义得
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集 锦
2S=2(n-1)a.
n-1个
所以,S=(n-1)a,即
|P1F|+|P2F|+,+|Pn-1F|=(n-1)a.两个常用不等式的最佳形式
丁遵标
(安徽省舒成县杭埠镇中心学校,231323)
文[1]给出了两个常用不等式:
(1)Eha+hbr[
a+rb3;
(2)
F
hb+hcr[
a+ha
1.
本文将给出它们的最佳形式.命题 (1)E
ha+hbrra+b=2+R;
(2)
F
hb+hcra+ha=2r
R
.
其中,vABC的三边长分别为a、b、c,半周长为p,面积为S,外接圆、内切圆半径分别为R、r,旁切圆半径分别为ra、rb、rc,三边上的高分别为ha、hb、hc,
E表示循环和,
F表示循环积.
证明:(1)因S=aha=bhb=rp,则ha=
a,hb=b.又S=(p-a)ra=(p-b)rb=rp,则ra=
p-a,rb=p-b
.而abc=4Rrp,
(p-a)(p-b)(p-c)=r2
p,
1,