人口迁移问题数学模型
【摘 要】人口迁移问题自古至今都是存在的，利用矩阵来分析迁移问题是实际可行的。本文通过建立人口迁移方阵函数，计算其最小多项式，分析其极限，得出长期的人口迁移对不同地区的人口数的影响。 【关键词】人口迁移；方阵函数；最小多项式；极限 一、引言 人口迁移问题始终伴随着国家的发展，人口迁移究竟会对国家或地区的人口数量带来多大的影响是国家制定相关政策的依据。可通过建立人口迁移方阵函数，计算其最小多项式，分析其极限，得出长期的人口迁移对不同地区的人口数的影响。假设有两个地区——如南方和北方之间发生人口迁移。每一年北方50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示： 图1 人口迁移直1P观图 如果这个移民过程持续下去，北方的人会不会全部都到南方，人口的最终的分布状况如何，下面就这个问题建立模型进行讨论。 二、建立人口迁移模型 1.设定初始量。设北方初始人口数为N0，南方初始人口数为S0，经过k年移民过程之后，北方人口数变化为Nk，南方人口数变化为Sk，则用矩阵表示可以得到如下的关系式： ■ =Ak■=■■■=■■ （1） 其中，A=■=■，称为人口迁移矩阵，f（A）=Ak=■■=■■，称为人口迁移方阵函数。 如果移民过程持续下去，即k→∞之后，北方的人会不会全部都到南方，或者北方的人口最终会如何分布，那么就需要求出■N■，以及■S■，所以最后的问题转换为求解f（A），换句话说，就是■f（A）=■Ak。最后计算南方、北方经过k年移民过程之后的人口数，并分析迁移对南方、北方人口数的影响。 2.■Ak是否存在。要想判断■Ak是否存在，需要计算对任意一个ε>0，是否总存在任意一个范数‖A‖ （1）范数：‖A‖1=1；（2）范数：由λE-A■A=λ■-■λ+■=0，可得‖A‖2=1.03；（3）无穷范数：‖A‖∞=1.25；（4）谱半径：由λE-A=（λ-■）（λ-1）=0，可得ρ（A）=1。可以看出 ‖A‖1 结合两个特征值可以得到如下方程组： （3） 所以，有：■Ak=■f（A）=■（a0E+a1A）=■a0E+■a1A 把A带入计算可得： ■Ak=-■E+■A=-■■=■ = ■ （4） 计算k→∞之后的南方、北方人口数： ■ ■= ■Ak■= ■■ （5） 为方便计算，设 ■Nk=N∞，■Sk=S∞，得到如下方程组： （6） 三、结论 综上，因为N0>0，S0>0， 所以N∞>0，即北方的人不会全部都到南方；因为N∞=（■）（N0-S0），即北方的人口最后会变成原来南北方总人口数差别的■。人口迁移模型的建立为国家或地区制定相关政策提供了依据。 参 考 文 献 [1]杨大地.数值分析[M].重庆：重庆大学出版社，2004