安徽省四校联考2015届高考数学模拟试卷(文科)(5月份)

安徽省淮南一中、蒙城一中、颍上一中、怀远一中四校联考2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置. ） 1．（5分）设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数．若复数z 满足（2﹣5i ）=29，则z=（） A ． 2﹣5i B ． 2+5i C ． ﹣2﹣5i D ．﹣2+5i

2．（5分）抛物线y=4x的准线方程为（） A ． y =﹣1

3．（5分）设集合A={（x ，y ）|x+y=1}，B={（x ，y ）|x=1}，则A ∩B 子集的个数是（） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4 4．（5分）问题：①某地区10000名中小学生，其中高中生2000名，初中生4500名，小学生3500名，现从中抽取容量为200的样本；②从1002件同一生产线生产的产品中抽取20件产品进行质量检查．方法：Ⅰ、随机抽样法Ⅱ、分层抽样法Ⅲ、系统抽样法．其中问题与方法配对较适宜的是（） A ． ①Ⅰ，②Ⅱ B ． ①Ⅲ，②Ⅰ C ． ①Ⅱ，②Ⅲ D ．①Ⅲ，②Ⅱ

5．（5分）命题p ：“存在x 0∈[1，+∞），使得（log 23）≥1”，则命题p 的否定是（）

x0

A ． 存在x 0∈[1，+∞），使得（log 23）＜1

x0

B ． 存在x 0∈[1，+∞），使得（log 23）≥1

x

C ． 任意x ∈[1，+∞），都有（log 23）＜1

x

D ． 任意x ∈[1，+∞），都有（log 23）≥1

6．（5分）要得到 A ． 向左平移 C ． 向左平移

7．（5分）已知等差数列{an }中，a 1=1，a n =70（n ≥3）．若{an }公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为（） A ． 3，23，69 B ． 4，24，70 C ． 4，23，70 D ．3，24，70

8．（5分）设x 、y 满足约束条件

，则目标函数z=x+y的最小值为（）

2

2

x0

2

2

2

B ．

C ． x =﹣1 D ．

的图象，只需将y=2sin2x的图象（）

B ． 向右平移D ． 向右平移

个单位长度 个单位长度

个单位长度 个单位长度

A ． B ． 11 C ．

D ．13

9．（5分）已知矩形ABCD 中，AB=2BC=2，现向矩形ABCD 内随机投掷质点P

，则满足

的概率是（）

A ．

10．（5分）设函数

，若关于x 的方程af （x ）﹣f （x ）=0恰有三个

2

B ．

C ．

D ．

不同的实数解，则实数a 的取值范围为（） A ． （0，1] B ． [1，+∞） C ． [0，1] D ．（1，+∞）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置） 11．（5分）函数的定义域是． 12．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体所有棱长的取值集合为；

13．（5分）已知实数m ，n 满足m •n ＞0，m+n=﹣1，则

的最大值为．

14．（5分）运行如图的程序框图，若输出的y 随着输入的x 的增大而减小，则a 的取值范围是；

15．（5分）如图所示，在确定的四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ． （1）若AB ⊥CD ，则截面EFGH 与侧面ABC 垂直；

（2）当截面四边形EFGH 面积取得最大值时，E 为AD 中点； （3）截面四边形EFGH 的周长有最小值；

（4）若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则在四面体内存在一点P 到四面体ABCD 六条棱的中点的距 离相等．上述说法正确的是．

三、解答题：（本大题共6题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 16．（12分）已知函数

（Ⅰ）求函数y=f（x ）+g（x ）的单调递减区间；

（Ⅱ）在△ABC 中，A 为锐角，且角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若

，

，．

求△ABC 面积的最大值． 17．（12分）为了解甲、乙两校2015届高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名2015届高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：

（Ⅰ）若乙校2015届高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校2015届高三年级学生总人数；

（Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校2015届高三年级学生在这次联考中地理成绩；

（Ⅲ）从样本中甲、乙两校2015届高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率． 18．（12分）如图，在四棱锥A ﹣BCED 中，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，M 为棱EA 的中点，CE=2BD． （Ⅰ）求证：DM ∥平面ABC ；

（Ⅱ）求证：平面BDM ⊥平面ECA ．

19．（13分）已知正项数列{an }的前n 项和为S n ，且满足（Ⅰ）求a 1、a 2的值，并求数列{an }的通项公式； （Ⅱ）设

20．（13分）已知函数f （x ）=lnx﹣+ax，a ∈R ．

（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处的切线与x 轴平行，求a 值； （Ⅱ）讨论函数f （x ）在其定义域内的单调性； （Ⅲ）定义：若函数h （x ）在区间D 上任意x 1，x 2都有

2

，n ∈N ．

*

，数列{bn }的前n 项和为T n ，证明：

．

，

则称函数h （x ）是区间D 上的凹函数．设函数g （x ）=xf ′（x ），a ＞0，其中f ′（x ）是f （x ）的导函数．根据上述定义，判断函数g （x ）是否为其定义域内的凹函数，并说明理由．

21．（13分）设椭圆E ：

=1（a ＞b ＞0）过M （2，2e ），

两点，其中e

为椭圆的离心率，O 为坐标原点． （I ）求椭圆E 的方程；

（II ）过椭圆右焦点F 的一条直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若长．

|，求弦AB 的

安徽省淮南一中、蒙城一中、颍上一中、怀远一中四校联考2015届高考数学模拟试卷（文科）（5月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的A 、B 、C 、D 四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将正确答案的字母代号写在答题卡的相应位置. ） 1．（5分）设i 是虚数单位，是复数z 的共轭复数．若复数z 满足（2﹣5i ）=29，则z=（） A ． 2﹣5i B ． 2+5i C ． ﹣2﹣5i D ．﹣2+5i

考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数．

分析： 把已知的等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．

解答： 解：由（2﹣5i ）=29，得∴

．

=2+5i．

故选：A ．

点评： 本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题．

2．（5分）抛物线y=4x的准线方程为（） A ． y =﹣1

B ．

C ． x =﹣1

D ．

2

考点： 抛物线的简单性质．

专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 由抛物线的准线方程的定义可求得．

解答： 解：因为抛物线y=4x， 可化为：x =，

则抛物线的准线方程为y=﹣

．

2

2

故选：D ．

点评： 本题主要考查抛物线的定义和性质，比较基础．

3．（5分）设集合A={（x ，y ）|x+y=1}，B={（x ，y ）|x=1}，则A ∩B 子集的个数是（） A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ．4

考点： 交集及其运算． 专题： 集合．

22

分析： 找出圆x +y=1与直线x=1的交点个数，即可确定出交集子集的个数．

22

解答： 解：联立得：，

解得：x=1，y=0， ∴A ∩B={（1，0）}，

1

则A ∩B 子集的个数是2=2， 故选：B ．

点评： 此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键． 4．（5分）问题：①某地区10000名中小学生，其中高中生2000名，初中生4500名，小学生3500名，现从中抽取容量为200的样本；②从1002件同一生产线生产的产品中抽取20件产品进行质量检查．方法：Ⅰ、随机抽样法Ⅱ、分层抽样法Ⅲ、系统抽样法．其中问题与方法配对较适宜的是（） A ． ①Ⅰ，②Ⅱ B ． ①Ⅲ，②Ⅰ C ． ①Ⅱ，②Ⅲ D ．①Ⅲ，②Ⅱ

考点： 收集数据的方法． 专题： 概率与统计．

分析： 根据分层抽样和系统抽样的定义即可得到结论

解答： 解：对于①因为地区10000名中小学生，分为高中，初中，小学，所以应该采用分层抽样，故①Ⅱ搭配，

对于②，从1002件同一生产线生产的产品中抽取20件产品，应该根据系统抽样法，故②Ⅲ搭配． 故选：C

点评： 本题主要考查抽样方法的判断，比较基础

5．（5分）命题p ：“存在x 0∈[1，+∞），使得（log 23）≥1”，则命题p 的否定是（）

x0

A ． 存在x 0∈[1，+∞），使得（log 23）＜1

x0

B ． 存在x 0∈[1，+∞），使得（log 23）≥1

x

C ． 任意x ∈[1，+∞），都有（log 23）＜1

x

D ． 任意x ∈[1，+∞），都有（log 23）≥1

考点： 特称命题；命题的否定． 专题： 简易逻辑．

分析： 根据特称命题的否定是全称命题，写出命题p 的否定即可．

x0

解答： 解：∵命题p ：“存在x 0∈[1，+∞），使得（log 23）≥1”，

x0

∴命题p 的否定是：“￢p ：任意x 0∈[1，+∞），都有（log 23）＜1”． 故选：C ．

点评： 本题考查了特称命题的否定是全称命题的应用问题，是基础题目．

x0

6．（5分）要得到 A ． 向左平移 C ． 向左平移

个单位长度 个单位长度

的图象，只需将y=2sin2x的图象（）

B ． 向右平移D ． 向右平移

个单位长度 个单位长度

考点： 两角和与差的正弦函数；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换． 专题： 三角函数的图像与性质．

分析： 先根据两角和与差的公式将平移从而可得到答案． 解答： 解：

根据左加右减的原则，要得到只需将y=2sin2x的图象向右平移

个单位． =2（

化简，再根据左加右减的原则进行

sin2x ﹣cos2x ）=2sin（2x ﹣

的图象，

），

故选：D ．

点评： 本题主要考查两角和与差的正弦公式和三角函数的图象平移，三角函数图象平移时，一定要遵循左加右减上加下减的原则，同时注意提取系数．

7．（5分）已知等差数列{an }中，a 1=1，a n =70（n ≥3）．若{an }公差为某一自然数，则n 的所有可能取值为（） A ． 3，23，69 B ． 4，24，70 C ． 4，23，70 D ．3，24，70

考点： 等差数列的性质．

专题： 计算题；等差数列与等比数列．

分析： 等差数列{an }中，a 1=1，a n =70（n ≥3），可得（n ﹣1）d=69=1×69=3×23，即可求出n 的所有可能取值．

解答： 解：∵等差数列{an }中，a 1=1，a n =70（n ≥3）， ∴a n =1+（n ﹣1）d=70，

∴（n ﹣1）d=69=1×69=3×23， ∵n ≥3，

∴n ﹣1=3或23或69， ∴n=4，24，70， 故选：B ．

点评： 本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．

8．（5分）设x 、y 满足约束条件

，则目标函数z=x+y的最小值为（）

2

2

A ． B ． 11 C ．

D ．13

考点： 简单线性规划．

专题： 不等式的解法及应用．

分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z 的几何意义进行求解即可．

解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图，z 的几何意义为区域内的点到原点的距离的平方， 由图象知

OA 或OB 的距离最小，

由，解得，即A （2，3），

则

|OA|=

=，

，

圆心到直线x+y﹣5=0的距离d=则d ＜|OA|， 故z 的最小值为d =故选：

C

2

，

点评： 本题主要考查线性规划的应用以及两点间的距离公式的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 9．（5分）已知矩形ABCD 中，AB=2BC=2，现向矩形ABCD 内随机投掷质点P

，则满足

的概率是（）

A ．

B ．

C ．

D ．

考点： 平面向量数量积的运算；几何概型． 专题： 平面向量及应用；概率与统计．

分析： 先明确是一个几何概型中的面积类型，然后分别求得阴影部分的面积和矩形的面积，再用概率公式求两者的比值即为所求的概率

解答： 解：满足即“∠APB ≥90°”，

试验的全部结果构成的区域即为矩形ABCD ，

构成事件A 的区域为直径为2的半圆（图中阴影部分） 故所求的概率P （A ）=故选：A ．

；

点评： 本题主要考查几何概型中的面积类型，基本方法是：分别求得构成事件A 的区域面积和试验的全部结果所构成的区域面积，两者求比值，即为概率，还考查了定积分的应用在几何上的应用（求封闭图形的面积）．

10．（5分）设函数

，若关于x 的方程af （x ）﹣f （x ）=0恰有三个

2

不同的实数解，则实数a 的取值范围为（） A ． （0，1] B ． [1，+∞） C ． [0，1] D ．（1，+∞）

考点： 函数的零点与方程根的关系． 专题： 数形结合；函数的性质及应用．

2

分析： 结合方程af （x ）﹣f （x ）=0恰有三个不同的实数解，将问题转化为函数图象交点的个数判断问题，进而结合函数f （x ）的图象即可获得解答． 解答： 解：由题意可知：函数f （x ）的图象如下：

由关于x 的方程af （x ）﹣f （x ）=0恰有三个不同的实数解， 其中f （x ）=0，即x=1是其中一个解， 则方程=f（x ）恰有2个不同的实数解，

即函数

y=与函数y=f（x ）的图象恰有2个不同的交点． 由图象易知：∈（0，1]， 实数a 的取值范围为[1，+∞）， 故选B ．

2

点评： 此题考查的是方程的根的存在性以及根的个数问题．在解答的过程当中充分体现了问题转化的思想、数形结合的思想．值得同学们体会反思．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卷的相应位置） 11．（5分）函数

考点： 对数函数的单调性与特殊点． 专题： 函数的性质及应用．

分析： 由函数的解析式可得可得特殊点求得x 的范围． 解答： 解：根据函数

≥1=，再利用对数函数的单调性和

，可得≥1=，

∴0＜3x ﹣4≤，求得＜x ≤，故函数的定义域为（，]． 故答案为：

．

点评： 本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．

12．（5分）一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体所有棱长的取值集合为

；

考点： 由三视图还原实物图． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： 观察几何体的三视图，还原为几何体，然后根据空间线段关系求棱长． 解答： 解：由题意，此三视图对应的几何体如图

过E 作EF ⊥BC ，由已知可得EF ⊥平面ABCD ，并且AB=EF=2，BF=FC=1，所以

CE=BE=，连接AF ，则DE=AE=，

所以该几何体所有棱长的取值集合为故答案为：．

；

点评： 本题考查了由几何体的三视图还原为几何体，考查了学生的空间想象能力以及空间线段长度的求法．

13．（5分）已知实数m ，n 满足m •n ＞0，m+n=﹣1，则

考点： 基本不等式在最值问题中的应用． 专题： 综合题；不等式的解法及应用．

．

分析： 利用实数m ，n 满足m •n ＞0，m+n=﹣1，可得（2++）≤﹣4，即可求出

的最大值．

=﹣（﹣m ﹣n ）（+）=﹣

解答： 解：∵实数m ，n 满足m •n ＞0，m+n=﹣1， ∴

=﹣（﹣m ﹣n ）（

+

）=﹣（2++）≤﹣4，

的最大值为﹣4．

当且仅当m=n=﹣时取等号，即

故答案为：﹣4．

点评： 熟练掌握变形利用基本不等式的性质的方法是解题的关键． 14．（5分）运行如图的程序框图，若输出的y 随着输入的x 的增大而减小，则a 的取值范围是[

）；

考点： 选择结构．

专题： 图表型；算法和程序框图．

分析： 模拟执行程序框图，可得其功能是分段函数y=数a 的范围

解答：

解：由程序框图，可得其功能是求函数y=

∵输出的y 随着输入的x 的增大而减小即输出的函数y 单调递减， ∴

，

单调递减，求参

的值，

解可得，故答案为：

， ．

点评： 本题考查了选择结构的程序框图，解题的关键是分段函数单调性的应用． 15．（5分）如图所示，在确定的四面体ABCD 中，截面EFGH 平行于对棱AB 和CD ． （1）若AB ⊥CD ，则截面EFGH 与侧面ABC 垂直；

（2）当截面四边形EFGH 面积取得最大值时，E 为AD 中点； （3）截面四边形EFGH 的周长有最小值；

（4）若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则在四面体内存在一点P 到四面体ABCD 六条棱的中点的距 离相等．上述说法正确的是（2）（4）．

考点： 命题的真假判断与应用． 专题： 综合题；推理和证明．

分析： 对四个命题分别进行判断，即可得出结论． 解答： 解：（1）若AB ⊥CD ，则FG ⊥EH ，截面EFGH 与侧面ABC 不一定垂直； （2）∵AB ∥平面EFGH ，平面ABC ∩平面EFGH=GF，∴AB ∥GF ．同理证EH ∥AB ，∴GF ∥EH ，同理证EF ∥GH ．故四边形EFGH 平行四边形．设AF ：AC=n，则FC ：AC=1﹣n ，又设AB 与CD 所成角θ，则有∠FGH=θ（或π﹣θ）．∴S EFGH =GF•GH •sin ∠FGH=（1﹣n ）

AB •nCDsin ∠FGH=n（1﹣n ）AB •CDsin ∠FGH 而AB •CDsin ∠FGH 定值，故n （1﹣n ）取最

大值时S EFGH 最大，当且仅当n=1﹣n ，即n=时取得大值．故当E 、F 、G 、H 分别各边点时四边形EFGH 面积最大．故正确； （3）由（2）知，

，

，∴

，∴AB=CD时，周长为2（FG+EF）=2AB

为定值，故不正确；

（4）若AB ⊥CD ，AC ⊥BD ，则EFGH 为矩形，∴在四面体内存在一点P 即矩形对角线的交点到四面体ABCD 六条棱的中点的距离相等．正确． 故答案为：（2）（4）．

点评： 本题考查四面体，考查面积、周长的求解，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

三、解答题：（本大题共6题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ） 16．（12分）已知函数

（Ⅰ）求函数y=f（x ）+g（x ）的单调递减区间；

（Ⅱ）在△ABC 中，A 为锐角，且角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若

，

，．

求△ABC 面积的最大值．

考点： 余弦定理；两角和与差的正弦函数． 专题： 解三角形．

分析： f （x ）解析式利用两角和与差的正弦、余弦函数公式化简，整理得到结果，g （x ）利用二倍角的余弦函数公式化简得到结果， （Ⅰ）根据y=f（x ）+g（x ），确定出y 与x 解析式，利用正弦函数的单调性确定出y 的单调递减区间即可；

（Ⅱ）由f （A ）的值，确定出sinA 的值，进而求出cosA 的值，利用余弦定理列出关系式，把cosA 与a 的值代入，并利用基本不等式求出bc 的最大值，即可确定出面积的最大值．

解答： 解：f （x ）=sinxcos（Ⅰ）y=f（x ）+g（x ）=令2k π+

≤x ﹣

≤2k π+

+cosxsin﹣cosxcos +sinxsin）+1，

=sinx ，g （x ）=1﹣cosx ，

sinx ﹣cosx+1=2sin（x ﹣（k ∈Z ），得2k π+

≤x ≤2k π+，2k π+

（k ∈Z ） ]（k ∈Z ）；

则y=f（x ）+g（x ）的单调递减区间是[2kπ+（Ⅱ）∵f （A ）=∴sinA=

，

sinA=

，

又∵A 为锐角， ∴cosA=， 又∵a=∴cosA=

2

2

，

=

=，

∴b +c=5+bc ≥2bc ， ∴bc ≤

，当且仅当 b=c=

时，bc 取得最大值，

．

∴△ABC 的面积最大值为bcsinA=

点评： 此题考查了余弦定理，两角和与差的正弦、余弦函数公式，正弦函数的单调性，以

及三角形面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 17．（12分）为了解甲、乙两校2015届高三年级学生某次期末联考地理成绩情况，从这两学校中分别随机抽取30名2015届高三年级的地理成绩（百分制）作为样本，样本数据的茎叶图如图所示：

（Ⅰ）若乙校2015届高三年级每位学生被抽取的概率为0.15，求乙校2015届高三年级学生总人数；

（Ⅱ）根据茎叶图，分析甲、乙两校2015届高三年级学生在这次联考中地理成绩；

（Ⅲ）从样本中甲、乙两校2015届高三年级学生地理成绩不及格（低于60分为不及格）的学生中随机抽取2人，求至少抽到一名乙校学生的概率．

考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图；古典概型及其概率计算公式． 专题： 概率与统计．

分析： （ I ）利用等可能事件的概率，直接2015届高三年级学生总数．

（ II ）利用茎叶图甲校有22位，乙校有22位，判断成绩的平均数较大，方差较小．得到结果．

（III ）甲校有4位同学成绩不及格，分别记为：1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6．列出从两校不及格的同学中随机抽取两人的所有基本事件．乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为A ，列出A 包含9个基本事件，然后求解概率． 解答： 解：（ I ）因为每位同学被抽取的概率均为0.15，则2015

届高三年级学生总数

…（3分）

（ I I）由茎叶图可知甲校有22位同学分布在60至80之间，乙校也有22位同学分布在70至80之间，乙校的总体成绩分布下沉且较集中即成绩的平均数较大，方差较小．所以，乙校学生的成绩较好．…（7分）

（III ）由茎叶图可知，甲校有4位同学成绩不及格，分别记为：1、2、3、4；乙校有2位同学成绩不及格，分别记为：5、6．则从两校不及格的同学中随机抽取两人有如下可能：（1，2）、（13）、（1，4）、（1，5）、（1，6）、（2，3）、（2，4）、（2，5）、（2，6）、（3，4）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6），总共有15个基本事件．其中，乙校包含至少有一名学生成绩不及格的事件为A ，则A 包含9个基本事件，如下：（1，5）、（1，6）、（2，5）、（2，6）、（3，5）、（3，6）、（4，5）、（4，6）、（5，6）．…（10分） 所以，

…（12分）

点评： 本题考查茎叶图的应用，古典概型的概率的求法，考查计算能力． 18．（12分）如图，在四棱锥A ﹣BCED 中，△ABC 为正三角形，EC ⊥平面ABC ，BD ⊥平面ABC ，M 为棱EA 的中点，CE=2BD． （Ⅰ）求证：DM ∥平面ABC ；

（Ⅱ）求证：平面BDM ⊥平面ECA ．

考点： 平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定． 专题： 空间位置关系与距离．

分析： （Ⅰ）取AC 中点N ，连接MN ，BN 证明MNBD 为平行四边形，得到DM ∥BN ，然后证明DM ∥面ABC ．

（Ⅱ）证明BN 丄AC ，BD 丄AC ，推出AC 丄面BDMN ，然后证明面ECA 丄面BDM ． 解答： 证明：（Ⅰ）取AC 中点N ，连接MN ，BN ，

由于M 、N 分别是AE 、AC 的中点，∴

MN EC ，又

BD EC ，

∴MN BD ，从而MNBD 为平行四边形， ∴DM ∥BN ，又DM ⊄面ABC ，BN ⊆面ABC ； 所以DM ∥面ABC ；…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）及△ABC 为等边三角形，∴BN 丄AC ， 又BD 丄面ABC ∴BD 丄AC ，BN ∩BD=B， 从而AC ⊥面BDN ，即AC 丄面BDMN ，

而AC 在平面AEC 内，∴面EAC ⊥上面BDMN ，即面ECA 丄面BDM ．…（12分）

点评： 本题考查平面与平面垂直的判定定理的证明，直线与平面平行的判定定理的证明．

19．（13分）已知正项数列{an }的前n 项和为S n ，且满足（Ⅰ）求a 1、a 2的值，并求数列{an }的通项公式； （Ⅱ）设

，数列{bn }的前n 项和为T n ，证明：

． ，n ∈N ．

*

考点： 数列的求和；数列与不等式的综合． 专题： 等差数列与等比数列．

分析： （1）求出数列的前两项，推出

公差的等差数列．然后求解a n =2n﹣1，n ∈N ． （2）利用裂项法求出数列的和，即可证明结果． 解答： 解：（1）当n=1时，同理求得a 2=3，．…（2分） 由知

，n ≥2时，，则

，即

，即

*

，得到是以1为首项1为

，又a 1＞0，则a 1=1．

，又a n ＞0易

，所以

是以1为首项1

为公差的等差数列． 所以

，代入

得a n =2n﹣1，n ∈N ．…（6分）

*

（2）由（1）知a n =2n﹣1，

所以

=

，…（9分）

则所以

．…（13分）

=．

点评： 本题考查数列的递推关系式的应用，数列的通项公式的求法，数列求和的方法，考查计算能力．

20．（13分）已知函数f （x ）=lnx﹣+ax，a ∈R ．

（Ⅰ）若函数f （x ）在x=1处的切线与x 轴平行，求a 值； （Ⅱ）讨论函数f （x ）在其定义域内的单调性； （Ⅲ）定义：若函数h （x ）在区间D 上任意x 1，x 2都有

2

，

则称函数h （x ）是区间D 上的凹函数．设函数g （x ）=xf ′（x ），a ＞0，其中f ′（x ）是f （x ）的导函数．根据上述定义，判断函数g （x ）是否为其定义域内的凹函数，并说明理由．

考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用． 专题： 导数的综合应用． 分析： （Ⅰ）求出函数的导数，通过f （x ）在x=1处切线与x 轴平行列出关系式即可求出a ． （Ⅱ）求出函数的导数，通过①当a ≥0时，②当a ＜0时，判断导函数的符号，得到函数的单调性．

2

（Ⅲ）推出g （x ）=ax+x+1（a ＞0），x ∈（0，+∞），通过凹函数的定义证明即可．

解答： 解：（Ⅰ）由题意

，从而a=﹣2…（4分）

（Ⅱ）由

又f （x ）在x=1处切线与x

轴平行

（x ＞0）；

①当a ≥0时，f' （x ）＞0恒成立，此时f （x ）在定义域（0，+∞）内单调递增…（6分）

22

②当a ＜0时，令f' （x ）＞0得：ax +x+1＞0，而方程ax +x+1=0有二根，

，且x 1＞0＞x 2，从而f （x ）在（0，x 1）上递增，（x 1，

+∞）上递减，…（8分）

综上，a ≥0时，f （x ）在（0，+∞）上递增；a ＜0时，f （x ）在（0，x 1）上递增，（x 1，+∞）

上递减…（9分）

（Ⅲ）由题意g （x ）=ax+x+1（a ＞0），x ∈（0，+∞）…10 分 令任意x 1，x 2∈（0，+∞）则

，

2

，

所以﹣=…（12分）

也即

≤，

故g （x ）是其定义域内的凹函数…．（13分）

点评： 本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的单调性，考查分析问题解决问题的能力．

21．（13分）设椭圆E ：

=1（a ＞b ＞0）过M （2，2e ），

两点，其中e

为椭圆的离心率，O 为坐标原点． （I ）求椭圆E 的方程；

（II ）过椭圆右焦点F 的一条直线l 与椭圆交于A ，B 两点，若

|，求弦AB 的

长．

考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．

分析： （1）利用已知条件列出方程组求出a ，b ，即可求出椭圆的方程．

（2）通过，得到，若直线l 斜率不存在时，判断是否满足题意；若

直线l 斜率存在时不妨设直线l 方程为y=k（x ﹣2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立直线与椭圆方程，通过韦达定理求出弦长即可．

解答： 解：（1

）；…（6

分） （2）因为

，得

，…（7分）

若直线l 斜率不存在时，直线l 方程为x=2， 此时A （2，

），B （2，

）不满足

，…（8分）

若直线l 斜率存在时，不妨设直线l 方程为y=k（x ﹣2），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）

联立

又∵

∴，∴，…（11分）

…（13分）

点评： 本题考查椭圆的方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．