七年级数学培优训练题
1、如图,在一个正方体的两个面上画了两条对角线AB ,AC ,那么这两条对角线的夹角等于度。 2. 。.
x +2+x -2+x -1的最小值是_______
2
3、已知x -3x +1=0, 则
x 2
= 42
x +3x +1
4, 一个长方体的长、宽、高分别为9cm, 6cm, 5cm,先从这个长方体上尽可能大的切下一个正方体,再从剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体,最后再从第二次剩余部分上又尽可能大的切下一个正方体,那么经过三次切割后剩余部分的体积为 cm 3.
5、如图,三角形ABC 的面积为1,BD ∶DC=2∶1,E 为AC 的中点,AD 与BE 相交于P ,那四边形PDCE 的面
积为 。
6、如图,已知梯形ABCD ,AD ∥BC ,∠B+∠C=90°,EF=10,E ,F 分别是AD ,BC 的中点,则BC -AD =________
7、如图,正方形ABCD 的边长为1,P 为AB 上的点, Q 为AD 上的点,且△APQ 的周长为2, 则∠PCQ=_______
8、在长方形内画一些直线,已知边上有三块面积分别为13,35,49,图中的数据表示所在的小块面积,则图中的阴影部分的面积为 。 9、如图,设O 是等边三角形ABC 内一点,
已知∠AOB=115°,∠BOC=125°,则以 OA ,OB ,OC 为边所构成的三角形的各内 角的度数分别为 。 10、已知a 、b 、c 都不等于零,且m
=
|a |b |c |abc
++,n =,那么m +n =_______ a |b |c |abc |
11如果a 、b 、c 满足a +2b +3c =12,且a 2+b 2+c 2=ab +ac +bc ,则代数式a +b 2+c 3=_______
12. 如图,在长方形ABCD 中,已知AD=12、AB=5、BD=AC=13,P 是AD 上任意一点,PE ⊥BD 、PF ⊥AC ,那么PE+PF=_______ 【提示 长方形的对角线相等且互相平分】 13. 在⊿ABC 中,AD ⊥BC ,垂足为D ,AB+BD=DC,求证 ∠B=2∠C
D
C
C
(6)
(10)
14、已知正方形ABCD 中,E 为对角线BD 上一点,过E 点作EF ⊥BD 交BC 于F ,连接DF ,G 为DF 中点,连接EG ,CG .
(1)直接写出线段EG 与CG 的数量关系; (2)将图1中△BEF 绕B 点逆时针旋转45º,如图2所示,取DF 中点G ,连接EG ,CG . 你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明.
(3)将图1中△BEF 绕B 点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?
D D D
图3 图
2 图1
15、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD 是正方形,点E 是边BC 的中点.∠AEF =90,且EF 交正方形外角∠DCG 的平行线CF 于点F ,求证:AE =EF . 经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB 的中点M ,连接ME ,则AM =EC ,易证△AME ≌△ECF ,所以AE =EF .
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
(1)小颖提出:如图2,如果把“点E 是边BC 的中点”改为“点E 是边BC 上(除B ,C 外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE =EF ”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由;
(2)小华提出:如图3,点E 是BC 的延长线上(除C 点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE =EF ”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由. A
D
F
E C 图1
G
E C 图2 A
D
F G
图3
C E G
A
D
,16、已知Rt △ABC 中,AC =BC ,∠C =90︒,D 为AB 边的中点,∠EDF =90°
∠EDF 绕D 点旋转,它的两边分别交AC 、CB (或它们的延长线)于E 、F .
当∠EDF 绕D 点旋转到DE ⊥AC 于E 时(如图1),易证S △DEF +S △CEF =
1
S △ABC . 2
当∠EDF 绕D 点旋转到DE 和AC 不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?若成立,请给予证明;若不成立,S △DEF 、S △CEF 、S △ABC 又有怎样的数量关系?请写出你的猜想,不需证明. A
E
B C F
图1
A
D
D
E C
图2
F
B
E
图3
C
F
,17、在△ABC 中,AB =BC =2,∠ABC =120°将△ABC 绕点B 顺时针旋转角
α(0°
AC 、BC 于D 、F 两点.
(1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA 1与FC 有怎样的数量关系?并证明你的结论;
1
11
A 1(2)如图2,当α=30°时,试判断四边形BC 1DA 的形状,并说明理由; (3)在(2)的情况下,求ED 的长.
18、点C 为线段AB 上一点,△ACM, △CBN 都是等边三角形,线段AN,MC 交于点E ,BM,CN 交于点F 。求证: (1)AN=MB.
(2)△CEF 为等边三角形。
A
B B
(3)将△ACM 绕点C 按逆时针方向旋转一定角度,其他条件不变,(1)中的结论是否依然成立?(只回答不证明) ,
(4)AN 与BM 相交所夹锐角是否发生变化,(只回答不证明) 。
19、直线CD 经过∠BCA 的顶点C ,CA=CB.E 、F 分别是直线CD 上两点,且∠BEC =∠CFA =∠α.
(1)若直线CD 经过∠BCA 的内部,且E 、F 在射线CD 上,请解决下面两个问题: ①如图1,若∠BCA =90, ∠α=90,则EF
-AF (填“>”,“
“=”号);
②如图2,若0
(2)如图3,若直线CD 经过∠BCA 的外部,∠α=∠BCA ,请探究EF 、与BE 、AF 三条线段的数量关系,并给予证明.
B
图1
F D
A
图2
A
B
D
A
图3