可逆矩阵及求逆矩阵的方法
可逆矩阵及求逆矩阵的方法
时间：2015-11-02作者：shelly
论文导读：引理1可逆矩阵的简化行阶梯形一定是单位矩阵。换句话说，可逆矩阵可以经过一系列初等变换化成单位矩阵。关键词：伴随矩阵，初等变换，逆矩阵
方法一伴随矩阵法定义1设
=，
是
级方阵，用
表示
的
元的代数余子式
矩阵称为的伴随矩阵，记作
若0，并且当可逆时有
这种方法在理论上很有用，在实际计算中常用于
2级或3
级矩阵。
例：
用伴随矩阵法求
解：因为
,
，所以
，
可逆，而
=
方法二二阶矩阵的公式求逆法
设
=（其中
,即
0），则
==
这个公式的推导思想是从左乘
使其等于单位矩阵，即若
这个重要结论出发，构造一个矩阵，那么
，去
。论文检测。论文检测。
这种方法只适用于求二阶矩阵的逆矩阵，我们称为二阶矩阵的公式求逆法。方法三初等变换法
这是一种最常用的一种方法，为了看出如何用初等变换法求逆矩阵，先证一个引理；
引理
1
可逆矩阵的简化行阶梯形一定是单位矩阵。换句话说，可逆矩阵可以经过一系列初等变换化成单位矩阵。
即
，同理有
例：
用初等变换法求
所以=
方法四利用解线性方程组来求逆矩阵
若级矩阵
可逆，则
的解，
因此我们可以去解线性方程组
后把所得的解的公共式中
，其中
然
，于是
的第列是线性方程组的
分别用1，0，…,0；0，1，…,0；…；0，…,0，
变换法求逆矩阵稍微简单些。
方法五分块求逆法
当一个可逆矩阵的级数较大时，即使用初等变换法求它的逆矩阵仍然计算量较大，如果把该矩阵分块，再对分块矩阵求逆矩阵，则可减少计算量。
用分块求逆法解题的具体步骤为：
（1）根据所给矩阵的特点分块为
（2）选择适当的分块求逆公式常用的分块求逆公式有：
设
均可逆，则
=
1：
2：
3：
4：
5
：6：
7：
8
：
例:设四阶方阵试求
解:设则是分块矩阵，易得
故
方法六利用哈密尔顿—凯莱定理求逆矩阵哈密尔顿—凯莱定理：设
是数域P上一个
级矩阵，f
=
是
的特
征多项式，则
f()=
设f()=当由
可逆时，
0，即
n
=0
可得
其中n=
例设解：f
==
=
=
试用哈密尔顿—
凯莱定理求
==
方法七利用最小多项式求逆矩阵
定义：以n阶矩阵根的多项式，称为
引理2设件是
整除
为根的多项式中，其中次数最低的首项为1的以
为
的最小多项式。
是矩阵。
的最小多项式的
，则有常
的最小多项式，那么
以
为根的充分必要条
由上述引理和定义及哈密尔顿—凯莱定理知：非退化矩阵常数项非零，即设
的最小多项式为
数
项
。又由
于，则
得
故=
下面举例说明此法的应用，但此法并不常用。论文检测。
例.
求
=的逆矩阵。
的特征多项式为：
，而
，即
，所以由
，所以
，因此
的最小多项式
的最小多项式为
解：因为
为
的因式，显然
=
==
得
【参考文献】
[1]张新发.初等变换的关系与可逆矩阵的分解[J].大学数学,2003,19(2):82-85.
[2]钱吉林.高等代数题解精粹（第二版）[M].大连：大连理工大学出版社,2000,137
[3]骈俊生.分块矩阵的初等变换及应用[J].阜阳师范学院学报(自然科学版),2004,(3)：44-49.
[4]田代军.线性代数题解指南[M].天津：天津大学出版社,2004,79.[5]张海涛.逆矩阵的求法[J].大同职业技术学院学报,2004,(2)：36-4.