关于二维随机变量概率密度函数算法的一点补充
2006年8月
第15卷第3期中央民族大学学报(自然科学版)JoumalofthecuN(N8turalsciencesEdition)Aug.2006V01.15No.3
关于二维随机变量概率密度函数算法的一点补充
刘淼
(伊犁师范学院数学系,新疆伊宁835000)
摘要:本文通过对概率论中有关公式的探讨,给出了二维随机变量函数的密度函数的新的计算公式,为其
计算提供了新的办法.
关键词:二维随机变量;连续型随机变量;密度函数
文献标识码:A文章编号:1005_803612006)03.0246.02中图分类号:021l
设(x,y)为二维连续型随机变量,其密度函数为,(石,,,),u=g(算,y)为(x,y)的函数,求u的密度函数厶(M).通常我们采用分布函数法,先求出U的分布函数凡(M)=P(u≤u)=P(g(x,l,)≤“)=Ⅱ、厂(z,y)d戈dy,然后再对,。(“)求导,即得u的密度函数兀(u)=F0(“)….但该方法计算量大,过程较为繁琐,并且经常对变量u需要进行分段讨论才可求出F,,(“),求解时要求思路清晰、概念清楚、计算准确,否则最后很难得到正确的结果.
下面我们针对上述算法,结合实际教学给出另外一种比较简单、方便的算法.
首先假设g(省,),)的偏导数g:(菇,,,),g;(髫,,,)存在,且gj(戈,,,)≠o.作二元变换f乡2:‘E¨,且黼=旧小“=专一古以=古'从而得到(Ⅲ)的联合概率密度函数川小,(移,^(“,矽))・I|Il乞I,所以(u,矿)关于u的边缘密度为^(u)=』::^,(“,”)dt,=』::,(戈,^(u,茹))l^乞Id髫¨1,也就是U=g(茁,,,)的密度函数.综上所述即得:
定理l设(X,y)为=维连续性随机变量,其密度函数为,(石,y).设u=g(髫,,,),令y=^(U,X),由于该变换的J∞obi行列式为.,=夏詈碧=l簟髻|=一g:≠。,所以其存在逆变换{;三聂u,y),并aL菇'),,l】0。7Ly=^(U.y)且97,(菇,y)≠O,则u=g(菇,,,)的密度函数为:
/0(u)一=I,(菇,^(“,菇))・I^乞ld菇
例1设连续型随机变量(x,y)的密度函数为,(菇,,,),求U=2x一4y的密度函数^(u)b1
解由u=2x一4y得y=^(u,x)=去一寺£,,^乞=一寺,由上述定理有:
^(“)=一寺j.。厂(算,壶一寺u)d茁
例2设二维随机变量(x,y)分别表示某矩形的两边长,且在矩形域G={(算,’,)10s茹s2,0≤髫sl}服从均匀分布,试求矩形面积S的密度函数¨].
收稿日期:2006.03.20作者简介:刘淼(1976一),男(汉族),新疆伊犁师范学院数学系讲师,山东郓城人,新疆大学在读硕士研究生
第3期刘淼:关于二维随机变量概率密度函数算法的一点补充
解由于二维随机变量(x,y)服从均匀分布,则其密度函数为』吉(菇,),)∈G
L0其他
由s=xy得l,=^(s,x)=睾,^:=去,所以有
舶¨m曲叫挣≯手。淼2
与定理1平行的可写出下述定理:
定理2设(x,y)为二维连续型随机变量,其密度函数为,(石,y).设u=g(菇,),),令x=p(u,y),且g:(菇,y)≠0,则U=g(戈,y)的密度函数为:
/0(u)=I,(p(“,,,),y)・lp乞Idy.
例3设连续型随机变量(石,l,)的密度函数为八石,,,),求∥=xy的密度函数^(M)B3
rr1
解u=xl,,x=p(£,,y)=号,p乞=专,由定理2得
,(詈,,,)・l÷l胁)=D(手∽・…虮^(M)=Id,,.
J一∞JJ
推论当随机变量x与l,相互独立时,定理1与定理2的结果相应分别变为
^(u)=l
^(如)=I
参考文献:^(并)・^(危(u,茹))・I^,u^(p(“,y))・,y(y)・Ip乞ld髫,dy.
[1]魏宗舒.概率论与数垣统计[M].北京:高等教育出版社,2003.
TheSuppl哪蛐ttoCaclllati仰of
LIUMiaotheProbabmtyDensity’sFunctioninTwoRand伽Variables
(却。疗m眦矿胍硝^∞Ⅲ妇,硝iⅣ0m矧col妇e,yf岫辔835000,∞fM)
Abst阳ct:Bystudyingsomefon肌lasintheoryofpmb8bility,wegivethe
fhnctionintwomndomvariablesinthispaper.
Keywords:twonewfo珊ulafordensity’smdomvaIiable;continuoustyperandomvariable;den8ity’sfunction[责任编辑:杨玉]
关于二维随机变量概率密度函数算法的一点补充
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英文刊名:
年,卷(期):
被引用次数:刘淼, LIU Miao伊犁师范学院,数学系,新疆,伊宁,835000中央民族大学学报(自然科学版)JOURNAL OF THE CENTRAL UNIVERSITY FOR NATIONALITIES (NATURAL SCIENCES EDITION)2006,15(3)1次
参考文献(5条)
1. 魏宗舒 概率论与数理统计 2003
2. 王梓坤 概率基础及其应用 1997
3. 赵选民. 师义民 概率论与数理统计典型题分析 1998
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5.学位论文 李文汉 信源的二元函数及Laplace变换的偏差定理与信息论中交互信息的研究 2004
强偏差定理是借助于似然比而引进的一种量度,进而建立一种新型的定理.刘文教授在解决大数定律中,用首创的分析方法得到一类随机变量序列的强偏差定理[1].后来,刘文教授把分析方法用于信息论中Shannon-McMillan定理[2]-[8]和连续型随机变量的偏差定理[10]-[11]的研究,得到了若干强偏差定理.本文的第二章是引进任意信源相对熵密度偏差的概念,并利用这个概念研究任意信源二元函数的一类强偏差定理,得到了马氏信源Shannon-
McMillan定理的一个推广.文章的第三章是应用Laplace变换这个工具研究了一类连续性随机变量的强偏差定理.信息理论作为应用概率论的一个分支,应用日益重要.Toru Tsujishita在信息理论的研究中,给出了三元交互信息的一些结论.本文的第四章是在这个基础上研究的二维随机变量和第三个随机变量的交互信息的性质,并且进一步推广到n维随机变量与第n+1个随机变量的交互信息的一些性质.
引证文献(1条)
1. 薛彦红. 陈建军. 张亮 食品卫生安全保障体系数学模型及改进问题研究[期刊论文]-数学的实践与认识 2008(14)
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