求圆锥曲线方程的步骤
求圆锥曲线方程的步骤
吴杰
给出一个圆锥曲线的几何性质及其相关信息,求其方程是高考命题的重点。一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。
定式——根据“形”设方程的“式”,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx
2
2
ny
。 (1m0,n0)
定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小。 例1. 某电厂冷却塔的外形是如图1所示的双曲线的一部分,绕其中轴(即双曲线的虚轴)旋转所成的曲面,其中A、A'是双曲线的顶点,C、C'是冷却塔上口直径的两个端点,B、B'是下底直径的两个端点。已知AA'=14m,CC'=18m,BB'=22m,塔高20m。请建立坐标系并写出该双曲线方程。
解:如图2,建立直角坐标系xOy,使AA'在x轴上,AA'的中点为坐标原点O,CC'与BB'平行于x轴。设双曲线方程为
xa
22
yb
22
(1a0,b0),则a
117
22
12
AA'7。又设B(11,
2
2
y1),C(9,y2),因为点B、C在双曲线上,所以有
y1b
2
2
y29
1221。
7b
由题意知y2y120,由以上几式得:y112,y28,b72,故双曲线方程为
x
2
49
y
2
98
1。
点评:本题考查选择适当的坐标系建立曲线方程和解方程组的基础知识,考查应用所学数学思想和方法解决实际问题的能力。
例2. 如图3,过点(1,0)的直线l与中心在原点,焦点在x轴上且离心率为圆C相交于A、B两点。直线y=
12
22
的椭
x过线段AB的中点,同时椭圆C上存在一点与右焦点
关于直线l对称,试求直线l与椭圆C的方程。
图3
解法一:由e
ca
22,得
a
2
ba
2
2
12
,从而a
2
2b,cb。
2
设椭圆方程为x22y22b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上
222222则x12y12b,x22y22b,两式相减得:
y1y2x1x22222
(x1x2)2(y1y2)=0
x1x22(y1y2)
设AB中点为(x0,y0),则kAB于是
x02y0
1,kAB1。
x02y0
,又(x0,y0)在直线y
12
x上,y0
12
x0,
设l的方程为yx1
右焦点(c,0)关于l的对称点设为(x',y')
y'
1x'1x'c
则,解得
y'1cy'x'c1
22
由点(1,1-c)在椭圆上,得12(1c)22c2,c2∴椭圆C的方程为
8x9
2
916
,从而a
2
98
。
169
y
2
1,l的方程为yx1。
解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上。由e
ca
22
,得
a
2
ba
2
2
12
,从
而a22b2,cb。
设椭圆C的方程为x22y22b2,l的方程为yk(x1)。将l的方程代入椭圆C的方程,得(12k)x4kx2k2b0,则x1x2
k(x21)k(x1x2)2k
2k12k
2
2
2
2
2
2
4k
22
12k
,y1y2k(x11)
。
y1y2),则:
2
直线l:y
k12k
2
12
x过AB的中点(2k
2
x1x2
2
1
,解得k=0,或k=-1 212k2
若k=0,不符合题意舍去。而k=-1时,直线l的方程为y(x1),即yx1,以下同解法一。
点评:本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力。
例3. 已知△P1OP2的面积为渐近线且过点P离心率为
2
274
,P为线段P1P2的一个三等分点,求以直线OP1、OP2为
的双曲线方程。
分析:利用点P在曲线上和△P1OP2的面积建立关于参数a、b的两个方程,从而求出a、
b的值。
解:以O为原点,∠P1OP2的角平分线为x轴,建立如图4所示的平面直角坐标系。设双曲线的右顶点为A,其方程为
xa
22
yb
22
(1a0,b0)。
图4
由e
2
ca
22
b22b3
1()(),得。
a2a2
32
x和y
32x
∴两渐近线OP1、OP2方程分别为y
33
x2)设点P1(x1x1),P2(x2,(x10,x20),则由点P分P1P2所成的比
22
P1PPP2
2,得P点坐标为(
2
x12x2
3
2
x12x24yx
1上,所)。又点P在双曲线22
2a9a
22
以
(x12x2)
9a
2
(x12x2)
9a
2
1。
即(x12x2)2(x12x2)29a2,整理得8x1x又|OP1|
x1
2
2
9a2
2
。
94
x1
2
2
x1,|OP2|x2
2
94
x2
2
x2
sin∠P1OP2
2tanP1OA1tan
2
21
3
212。 9134
1131227
x1x2 24134
P1OA
∴SPOP
1
2
12
|OP1||OP2|sinP1OP2
即x1x2
92
,由以上式子得a
2
4,b
2
9,故双曲线方程为
x
2
4
y
2
9
1。
点评:本题考查待定系数法求双曲线的方程以及综合运用所学知识分析问题、解决问题
的能力。