勾股定理讲解
勾股定理讲解
知识点一:勾股定理
如果直角三角形的两直角边长分别为:a ,b ,斜边长为c ,那么a +b =c .即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方. 222
要点诠释:(1)勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
(2)勾股定理只适用于直角三角形,而不适用于锐角三角形和钝角三角。
(3)理解勾股定理的一些变式:
[1**********] c =a+b, a=c-b , b=c-a , c =(a+b)-2ab
熟悉下列勾股数,对解题是会有帮助的:
①3、4、5②5、12、13;③8、15、17;④7、24、25;⑤10、24、26;⑥9、40、41. 类型一:勾股定理的直接用法
1、在Rt △ABC 中,∠C=90°
(1)已知a=6, c=10,求b , (2)已知a=40,b=9,求c ; (3)已知c=25,b=15,求a.
【练习】:如图∠B =∠ACD =90°, AD =13,CD =12, BC =3,则AB 的长是多少?
类型二:勾股定理的构造应用
例 如图,已知:在中,,,. 求:BC 的长.
【练习1】如图,已知:,,于P . 求证:
.
【练习2】已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。求:四边形ABCD 的面积。
题型三:旋转问题:
例 如图,P 是等边三角形ABC 内一点,
PA=2,PB=求△ABC 的边长.
练习 如图,△ABC 为等腰直角三角形,∠BAC=90°,E 、F 是BC 上的点,且∠EAF=45°,试探究BE 2、CF 2、EF 2间的关系,并说明理由.
题型四:关于翻折问题
例:如图,有一块直角三角形纸片,∠C=90°, AC=6cm ,BC =8cm ,现将直角边AC 沿直线
AD 折叠,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,求CD 的长。
练习:如图,矩形纸片ABCD 的边AB=10cm,BC=6cm,E 为BC 上一点,将矩形纸片沿AE 折叠,
点B 恰好落在CD 边上的点G 处,求BE 的长.
类型五:勾股定理的实际应用
例 如图,公路MN 和公路PQ 在P 点处交汇,点A 处有一所中学,AP=160米,点A 到公路MN 的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由;如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少?
类型六 用勾股定理求两点之间的距离问题
例 如图所示,在一次夏令营活动中,小明从营地A 点出发,沿北偏东60°方向走了
到达B 点,然后再沿北偏西30°方向走了500m 到达目的地C 点。
(1)求A 、C 两点之间的距离。
(2)确定目的地C 在营地A 的什么方向。
【练习】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如图的某
工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
类型七用勾股定理求最短问题
【例题】如图,一圆柱体的底面周长为20cm ,高AB为4cm ,BC是上底面的直径.一只蚂
蚁从点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C ,试求出爬行的最短路程.
练习:如图为一棱长为3cm 的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm ,假
设一只蚂蚁每秒爬行2cm ,则它从下地面A 点沿表面爬行至右侧面的B 点,最少要花几秒钟?
类型八:勾股定理及其逆定理的基本用法
例 若直角三角形两直角边的比是3:4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。
【练习1】等边三角形的边长为2,求它的面积。 【练习2】直角三角形周长为12cm ,斜边长为5cm ,求直角三角形的面积。
类型九:转化的思想方法
例 如图所示,△ABC 是等腰直角三角形,AB=AC,D 是斜边BC 的中点,E 、F 分别是AB 、AC
边上的点,且DE ⊥DF ,若BE=12,CF=5.求线段EF 的长。
一、选择题(每小题2分,共26分)
1. 将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后,得到的三角形 ( )
A. 可能是锐角三角形 B. 不可能是直角三角形
C. 仍然是直角三角形 D. 可能是钝角三角形
2、等边三角形的边长为2,则该三角形的面积为( )
A
、
、、3
3、一艘轮船以16海里∕小时的速度从港口A 出发向东北方向航行,同时另一轮船以12海
里∕小时从港口A 出发向东南方向航行,离开港口3小时后,则两船相距( )
A :36 海里 B:48 海里 C:60海里 D:84海里
4、若∆ABC 中,AB =13cm , AC =15cm ,高AD=12,则BC 的长为( )
A :14 B:4 C:14或4 D:以上都不对
5、五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将它们摆成两个直角三角形(•如图),
其中正确的是( )
6、如图1,小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是( )
A .25 B.12.5 C.9 D.8.5
图1
二、填空题(每小题3分,共48分)
1. 直角三角形的两直角边是3,4, 则以斜边长为直径的圆的面积是_______________.
2.若│a-18│+(b-80)2+(c-82)=0,则以a ,b ,c 为三边长的三角形是_______. 2
3. 如图4,学校有一块长方形花圃,有极少数人为了避开拐角走“捷径”,在花圃内走出一
条“路”,他们仅仅少走了__________米路,却踩伤了花草。 ..
图4 图5图3
4.某宾馆在重新装修后,准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯,•已知这种地毯每平方米售
价30元,主楼道宽2m ,其侧面如图5,则购买地毯至少需要______元.
5、如图6所示,以直角三角形ABC 的三边向外作正方形,其面积分别为S 1, S 2, S 3, 且
S 1=4, S 2=8, 则S 3=
图6 图
7
6、如图7,∠C =∠ABD =90︒, AC =4, BC =3, BD =12, 则AD= ;
三、解答题
1、如图,梯子AB 靠在墙上,梯子的底端A 到墙根O 的距离为3m ,梯子的顶端A 向外移动到A’,使梯子的底端A’到墙根O 的距离等于4m ,同时梯子的顶端B 下降至B’,求BB’的长(梯子AB 的长为5 m)。(9分)
3、在,△ABC 中,∠A CB =90°,CD ⊥AB 于D, 求证:11
BC 2+AC 2=1CD 2
C
A D
B