广东省重点中学理科数学综合练习

广东省重点中学理科数学综合练习

一、选择题

x 2

1．双曲线-y 2=1的一个焦点坐标是

4

A

．(

B ．(-2,0)

（ ）

C

． D ．（1，0）

答案A

2. 已知复数z =(3i-1)i （其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 是

A ．-3+i 答案：B

B ．-3-i

C ．3+i D ．3-i

3．已知向量OA =(3, -4), OB =(6, -3)，OC =(2m , m +1). 若AB //OC ，则实数m 的值

为

A ．-3 B ．-【答案】A

133 C ．- D ． 755

AB =OB -OA =(3,1) , 因为AB //OC ，所以3(m +1) -2m =0，解得m =-3，选A.

4．设全集Q =x |2x 2-5x ≤0, x ∈N ，且P ⊆Q ，则满足条件的集合P 的个数是 A.3 B.4 C.7 D.8 【答案】D

{}

5

Q ={x |2x 2-5x ≤0, x ∈N }={x 0≤x ≤，x ∈N }={0,1,2}

【解析】，所以满足P ⊆Q 的2

集合P 有2=8个，选D.

5. 若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与底面所成的角为（ ）

A. 75 B. 60 C. 45 D. 30 【答案】B

3

【解析】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，

2

由已知有：π⋅l =2π⇒l =2，2π⋅r =

124π

⇒r =1 2

则所成的角为60

6. 用数字0,1,2,3组成数字可以重复的四位数, 其中有且只有一个数字出现两次的四位数的个数为( )

A. 144 B.120 C. 108 D.72

122

答案：若四位数中不含0，则有C 3C 4A 2=36种；若四位数中含有一个0，则有112122

种若四位数中含有两个0，则有C 3所以共有36+54+18=108C 3C 3C 3A 2=54；A 3=18种，

种，选C.

7. 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 是平面直角坐标系上的两点，定义点A 到点B 的曼哈顿距离则L (A , B ) 的最小值为 （ ）． L (A , B ) =x 1-x 2+y 1-y 2. 若点A(－1,1),B 在y 2=x 上，A. 14 B.12 C. 【答案】C

77

D. 42

⎧y 2+y , y ≥1

【KS5U 解析】，L (A , B ) =|-1-x |+|1-y |=|1+y |+|y -1|=y +1+|y -1|=⎨2

⎩y -y +2, y ≤1

2

2

当y ≥1时，L (A , B ) ↑，∴L (A , B ) min =12+1=2；

2

当y ≤1时，L (A , B ) =(y -) +

12177

，当y =时，L (A , B ) min =，

244

因为

77

*

8. 甲袋内装有2个红球和3个白球，乙袋内装有1个红球和n (n ∈N ) 个白球．现分别从甲、乙两袋中各取1个球，若将事件“取出的2个球恰为同色”发生的概率记为f (n ). 则以下关于函数f (n )(n ∈N ) 的判断正确的是

*

21

B．f (n )有最小值，且最小值为 5231

C f (n )有最大值，且最大值为 ． D．f (n )有最大值，且最大值为

52

A ．f (n )有最小值，且最小值为答案：B 二、填空题

9、在△ABC 中，若A=60

°，a =b =B 的大小为 答案：45︒ 10．

lg 8+lg 125-lg 2-lg 5

lg ⋅lg 0. 1

= .

3lg 2+3lg5-lg 2-lg52(lg2+lg5) ===-4

lg10⋅(-lg10) -22

禳镲118

11. 已知数列{a n }, a n +1=a n +2，a 1=1，数列镲的前n 项和为，则n = . 镲a n a n +137镲铪

【答案】18

因为a n +1=a n +2，所以数列是公差为2的等差数列，所以a n =2n -1。又

1111

=(-) ， a n a n +12a n a n +1

所以S n =

[1**********]118

，解(-+-+ +-) =-) =(1-) =

2a 1a 2a 2a 3a a 2a a 22+n 137n n +11n +1

得n =18。

12. 下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000. 在样本中记月收入在[1000,1500)，

[1500,2000),[2000,2500),[2500,3000),[3000,3500), [3500,4000]的人数依次为A 1、

A 2、„„、A 6．图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本

的容量n = ；图乙输出的S = ．（用数字作答）

【答案】10000；6000

【解析】∵月收入在[1000,1500) 的频率为0.0008⨯500=0.4 ，且有4000人 ∴样本的容量n =4000=6000.

4000

=10000，由图乙知输出的S =A 2+A 3+ +A 6=10000－0.4

13. 某市区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价．该地区的电网销售电价表如下：

则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元

(用数字作答) ．

解析：(1)高峰时段用电量50及以下部分：50×0.568＝28.4(元) ； (2)高峰时段用电量50～200的部分：150×0.598＝89.7(元) ； (3) 高峰时段用电量超过200的部分:100×0.668=66.8 (4)低谷时段用电量50及以下的部分：50×0.288＝14.4(元) ； (5)低谷时段用电量50～200的部分：50×0.318＝15.9(元) ； ∴共用28.4＋89.7＋

14.4＋15.9+66.8＝215.2(元) ． 答案：215.2

选做题（请考生在第14、15三题中任选两题作答，如果全做，则按第14题记分）

⎧x =2t +2a ⎧x =2sin θ

14．在平面直角坐标系下，曲线C 1:⎨

（t 为参数），，曲线C 2:⎨

y

=-t y =

1+2cos θ⎩⎩

（θ为参数），若曲线C 1、C 2有公共点，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】[1

【解析】曲线C 1的方程为x +2y -2a =0，曲线C 2方程为x +(y -1) =4，圆心为(0,1)，

半径为2，若曲线C 1、C 2有公共点，2

2

即a -1≤，≤2，

所以1a ≤1a 的取值范围是[1。

15. 如图，圆O 的直径AB ＝8，C 为圆周上一点，BC ＝4，过点C 作圆的切线l ，过点A 作直

线l 的垂线AD ，D 为垂足，AD 与圆O 交于点E ，则线段AE 的长为 ．

【答案】4

【解析】连接OC ，BE ，如下图所示。因为圆O 的直径AB=8，BC=4，所以△OBC 为等边三角

形，∠COB=60°。又直线l 是过C 的切线，所以OC ⊥l 。又AD ⊥l ，所以AD //OC ，

故在Rt ∆ABE 中，∠A =∠COB =60，所以AE =

1

AB =

4. 2

三、解答题

16、设函数f (x ) =-x 2+2x +a (0≤x ≤3) 的最大值为m ，最小值为n ， 其中a ≠0, a ∈R ．

（1）求m 、n 的值（用a 表示）；

（2）已知角β的顶点与平面直角坐标系xoy 中的原点o 重合，始边与x 轴的正半轴重合，

终边经过点A (m -1, n +3) ．求tan(β+

解（１） 由题可得f (x )=-(x -1)+1+a

2

π

3

) 的值．

而0≤x ≤3．．．．．．３分

所以，m =f (1)=1+a , n =f (3)=a -3．．．．．．．．．．．．．．．．．６分 （２）角β终边经过点A (a , a )，则tan β=

a

=1．．．．．．．．．．１０分 a

所以，tan β+

==-2．．．．．．．１４分 =⎪3⎭1-tan βtan 3

，2，3， ）17. 数列{a n }中，a 1=2，a n +1=a n +cn （c 是常数，n =1，且a 1，a 2，a 3成

⎛

⎝

（Ⅰ）求c 的值；

（Ⅱ）求{a n }的通项公式．

π⎫

tan β+tan

π

公比不为1的等比数列．

解：（I ）a 1=2，a 2=2+c ，a 3=2+3c ，

因为a 1，a 2，a 3成等比数列，所以(2+c ) 2=2(2+3c ) ，解得c =0或c =2． 当c =0时，a 1=a 2=a 3，不符合题意舍去，故c =2．

（II ）当n ≥2时，由于a 2-a 1=c ，a 3-a 2=2c ，……a n -a n -1=(n -1) c ， 所以a n -a 1=[1+2+ +(n -1)]c =

n (n -1)

c ． 2

又a 1=2，c =2，故a n =2+n (n -1) =n 2-n +2(n =2，3， ) ． 当n=1时，上式也成立，所以a n =n 2-n +2(n =1，2， )

18、如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”．图中竖直线段和斜线段都表示通道，并且在交点处相遇，若竖直线段有一条的为第一层，有二条的为第二层，„，依次类推．现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动，若在通道的分叉处，小弹子以相同的概率落入每个通道．记小弹子落入第n 层第m 个竖直通道（从左至右）的概率为P (n , m ) ，某研究性学习小组经探究发现小弹子落入第n 层的第m 个通道的次数服从二项分布，请你解决下列问题. （Ⅰ）试求P (2,1),P (3,2)及P (4,2)的值，并猜想P (n , m ) 的表达式；（不必证明）

（Ⅱ）设小弹子落入第6层第m 个竖直通道得到分数为

⎧4-m (1≤m ≤3)

，其中，试求ξ的分布列 ξ=ξ⎨

⎩m -3(4≤m ≤6)

及数学期望．

（Ⅰ）因为小弹子落入第n 层的第m 个通道的次数服从二项

入口

第1层 第2层 第3层 第4层

12m -1C n 311121

P (4,2)=C 3() = P (n , m ) =n --1

2228

1第3题图 分布，则：P (2,1)=C 10() 0() 1， P (3,2)=C 2() 1() 1

1

21212

（Ⅱ）依题：ξ=1,2,3．

2

由（Ⅰ）知，p (ξ=1) =p (6,3)+p (6,4) =2C 5() () =

12

2

12

3

205= 328

1051114

p (ξ=2) =p (6,2) +p (6,5)=2C 5()() ==

2232161121

p (ξ=3) =p (6,1)+p (6,6)=2C 50() 0() 5==

223216

所以ξ的分布列如下表：

故E ξ=1⋅

2010223

+2⋅+3⋅= 32323216

19、. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝a ，又PA ⊥平面ABCD ，PA ＝4．（1）线段BC 上存在点Q ，使PQ ⊥QD ，求a 的取值范围；

（2）线段BC 上存在唯一点Q

，使PQ ⊥QD 时，求二面角A －PD －Q 的余弦值。

解法

1：（Ⅰ）如图，连AQ ，由于PA ⊥平面ABCD ，则由PQ ⊥QD ，

必有AQ ⊥DQ ．设BQ =t ，则CQ =a -t ，在Rt ∆ABQ 中，有AQ =． 在Rt ∆CDQ 中，有

DQ =

2

2

2

在Rt ∆ADQ 中，有AQ +DQ =AD ． 即

t 2+4+(a -t )+4=a 2

2

2t ，即-at +4=0．

a =t +

∴

4≥4

[4, +∞)． t ．故a 的取值范围为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当t =2，a =4时，边BC 上存在唯一点Q （Q 为BC 边的中点），使PQ ⊥QD ，过Q 作QM ∥CD 交AD 于M ，则QM ⊥AD ． ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥QM ．∴QM ⊥平面PAD ． 过M 作MN ⊥PD 于N ，连结NQ ，则QN ⊥PD ．

∴∠MNQ 是二面角A －PD －Q 的平面角． 在等腰直角三角形PAD 中，可求

得MN =，又MQ =2，进

而

NQ =MN cos ∠MNQ ===

NQ ． ∴

．

故二面角A －PD －Q 的余弦值为． 3

AB 、AP 为x ．y ．z 轴建立如图的空间直角坐标系，则 解法2：（Ⅰ）以AD 、B （0，2，0），C （a ，2，0），D （a ，0，0），P （0，0，4），

设Q （t ，2，0）（t >0），则 PQ ＝（t ，2，－4），DQ ＝（t －a ，2，0）．

DQ =t (t -a ) +4＝0． ∵PQ ⊥QD ，∴PQ

即t -at +4=0．∴

2

a =t +

4

≥4

[4, +∞)． t ．故a 的取值范围为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当t =2，a =4时，边BC 上存在唯一点Q ，使PQ ⊥QD ． 此时Q （2，2，0），D （4，0，0）． 设

n =(x , y , z )

是平面PQD 的法向量，

⎧⎪n DP =0⎧-4x +4z =0⎨ ⎨n DQ =0-2x +2y =0． ⎪由⎩，得⎩

n =(1,1,1)取z =1，则是平面PQD 的一个法向量．

而

AB =(0,2,0)

是平面PAD 的一个法向量，

AD n cos ==

AD ⋅n

．∴二面角A －PD －Q 的余弦值为

3

． 3

20. 在直角坐标平面内y 轴右侧的一动点P 到点(, 0) 的距离比它到y 轴的距离大

141. 4

（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 方程；

（Ⅱ）将曲线C 上每个点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）得到曲线D 的图象，设Q 为曲线D 上的一个动点，点B 、C 在y 轴上，若∆QBC 为圆(x -1) 2+y 2=1的外切三角形，求∆QBC 面积的最小值.

【解析】（Ⅰ）由题知点P 到点(, 0) 的距离与它到直线x =-

2

1

4

1

的距离相等，所以点P 的4

轨迹是抛物线，方程为y =x ； „„„„5分

（Ⅱ）依题意，曲线D 的方程是y =2x „„„„6分

2

设Q (x 0, y 0), B (0, b ), C (0, c ) ，则QB :y -b =

y 0-b

x 即(y 0-b ) x -x 0y +x 0b =0 x 0

由直线QB 是圆的切线知

|y 0-b +x 0b |(y 0-b ) 2+x 0

2

=1即(x 0-2) b 2+2y 0b -x 0=0

同理，(x 0-2) c +2y 0c -x 0=0所以b , c 是方程(x 0-2) t +2y 0t -x 0=0的两根

22

∴b +c =-

2y 0x

, bc =-0„„„„9分 x 0-2x 0-2

2

∴S ΔQBC

4y 04x 011=|b -c |x 0=+⋅x 0 22(x 0-2) 2x 0-2

又y 0=2x 0∴S ΔQBC

2

x 0x 0

由题知x 0>2∴S ΔQBC =令t =x 0-2，则 =

x 0-2|x 0-2|

22

S ∆QBC

(t +2) 24

==t ++4≥ 4+4=8

t t

当t =2即x 0=4时， “=”成立

∴ΔQBC 面积的最小值为8． „„„„13分

21. 我们把定义在R 上，且满足f (x +T ) =af (x ) （其中常数a , T 满足a ≠1, a ≠0, T ≠0）的函数叫做似周期函数．（1）若某个似周期函数y =f (x ) 满足T =1且图像关于直线x =1对称．

（1）求证：函数f (x ) 是偶函数；

（2）当T =1, a =2时，某个似周期函数在0≤x

（3）对于确定的T >0且0

f (1-x ) =f (1+x ) ① 又T =1，∴f (x +1) =af (x ) ,

用

-x

代替

x

得

f (-x +1) =af (-x ) ,

③，由①②③可知

af (x ) =af (-x ) , a ≠1且a ≠0，∴f (x ) =f (-x ) ．即函数f (x ) 是偶函数

（2）当n ≤x

f (x ) =2f (x -1) =22f (x -2) = =2n f (x -n ) =2n (x -n )(n +1-x ) ；„„10分

（3）当nT

f (x ) =af (x -T ) =a 2f (x -2T ) = =a n f (x -nT ) =a n 3x -nT

显然a

n x -nT 又a >0时，f (x ) =a 3, x ∈(nT , (n +1) T ],n ∈N 是增函数， 此时

f (x ) ∈(a n , a n 3T ],x ∈(nT , (n +1) T ],n ∈N

若函数y =f (x ) 在区间(0, +∞) 上是单调函数，那么它必须是增函数，则必有

a n +1≥a n 3T ， 解得a ≥3T ．