伯努利方程
§11-4 等截面管中的有摩擦流动
以上讨论的是无粘性气体的等熵流动,但实际气体的管内流动时,由于粘性而引起摩擦阻力,有一部分机械能不可逆地变成了热能,使气体的熵值增加。此外,气体也可能通过管壁与外界发生热交换。所以,实际气体的管道内的流动是十分复杂的,本节只讨论绝热和等温两种情况。
一、绝热流动
工程中有些输气管路用绝热材料包裹,可近似将管内气体的运动看成是绝热流
动。下面首先建立有摩擦流动的运动方程。 1
.有摩擦流动的运动方程
在等截面直管中,取出
长度为dx的微元管段。作定常流动的气体所受作用力如图11-7所示。
根据动量定理建立方程
式中V是截面的平均流速,是管道截面积。整理可得
根据气体克服摩擦力所做的功,应等于气体在该段管路上沿程损失的能量,可
以得到关系式
代入上式便可得到
(1)
该式即为等截面管中有摩擦的运动微分方程。和欧拉运动微分方程比较,多了
最后一项,是由摩擦产生的。在绝热流动中,沿程损失系数λ沿管长是变化的,故应
取其平均值 2
。式(1)中的λ即为平均值,省去了上面的一横。
.流速沿管长的变化
利用和,可将(1)式变为
(2)
式中除包括速度和长度的微分项以外,还有压强项dp/p。为了建立速度随长度
变化的关系,必须先找出dp/p与速度变化的关系。
将状态方程
,取对数再微分,得
(a)
在有摩擦的绝热流动中,仍可应用能量方程
微分得:
注意到M=V/a,并整理得
根据连续方程,可以得到
(b)
(c)
将(b)和(c)式代入(a)式,得
(
3)
由于方程中的λ、k、M2和dx/D永远是正值,方程右边将永远是负值。由该式
可以看出:若流动为亚声速,即M0,表明沿管道流动的气体速度增大;若流动为超声速,即M>1,则dV
.气体状态参数的计算 利用
,可得
(
e)
将(b)式和(3)式代入(e)式,消去和两项,整理可得
(4)
设x=0时,M=M1;x=L时,M=M2,积分得到
(5)
利用(3)、(4)和(b)、(c)、(d)各式,可以得出
(6)
(7)
(8)
积分得
(11)
利用静压比,还可得总压比
(9)
(10)
(12)
(13)
上面导出的(10)—(13)以及(4)等各式,可以用来对等截面绝热摩擦管流进行计
算。但必须注意,实际管长L不能超过下面要讨论的极限管长。 4
.摩擦壅塞和极限管长
由前面的分析得知,对于等截面管道,摩擦的作用使亚声速气流加速,使超声
速气流减速,其极限状态是出口截面达到声速。这时的管道长度为极限管长或称为临界管长,其值可利用(4)式求得(令M1=M,M2=1):
(14)
在出口截面达到声速时,通过管道的流量达到极限。每一个M数对应有一个极限管长L*,也对应有一个极限流量。如果实际管道的长度L超过按给定入口M数算出的极限管长L*,则通过管道的实际流量将会减少。对于亚声速流动,入口的实际马赫数将会低于给定M数。故上述情况称为摩擦壅现象。对于入口为超声速的流动,发生壅塞时会出现激波,情况更为复杂,这里不再详述。
当管中达到声速时的气流状态参数,可利用(10)—(13)各式,只要将M1=M,M2=1
代入即可。
二、等温流动
工程实际中有些输气管道很长,如煤气管道等。在流动过程中,气体有可能和
外界进行充分的热交换,使气流基本上保持与周围环境相同的温度,按等温处理有足够的准确性。 1
.基本方程和流动特征
运动微分方程(1)或(2)时,没有附加条件,不论绝热或等温流动都能适用,即
或
由连续方程得出的(c)式也可应用
因为是等温流动,由状态方程得出的(a)式应为
(f)
根据
,故等温流动中有
(g)
将(c)和(f)代入方程(2)中,并整理可得
(15)
与绝热流中的(3)式比较,非常相似。等温流中λ为常数。方程中的λ、k、M2
时,dV>0,即沿流动方
,
和dx/D永为正值,故方程右边为负值。可以看出:若M1
时,dV
和绝热流动时不同。绝热流中马赫数总是趋向于1。
在等温流中,气流的马赫数不能由小于1/
是等温流的极限状态。
连续加速到大于1/
;反之亦
然。因此,M=1/
2
.等温流动参数计算
将(g)式代入方程(15),并整理,得
积分,x由
,M由
,得
(h)
或
(16)
根据状态方程p=ρRT,连续方程ρV=常数,以及马赫数表达式条件下,有
,在等温
(i)
代入(16)式中,得
(17)
(16)和(17)式将截面1和截面2处的参数与两截面间的距离联系起来,如果已
知截面1处的参数和距离L,使可求得截面2处的参数。同样,若已知截面2处的参数,也可以求截面1处的参数,可需将上述公式稍作变动即可,由前面的(h)式,可得
(18)
(19)
通常公式中的第二项(对数项)要比第一项小得多,所以在求p2(或p1)时,第一次
近似可忽略对数项,然后再用迭代法求解。对于粗略计算可舍去对数项,(17)和(19)可简化为
(20)
(21)
3
这两个式子用来计算压头损失比较简单。 .等温摩擦管的极限长度
前面已经分析过,等温流的临界马赫数是
(22)
设x=0处,M1=M;在x=L处,代入方程(16),便可得到等温摩擦管流的极限长度公式
(23)
此外,根据等温流的(i)式,得
(24)
可用来计算等温流达到临界状态的相应能数。