积分第二中值定理中间点的渐近性再研究

第３８卷第１８期数学的实践与认识Ｖ０１．３８Ｎｏ．１８２００８年９月ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳＩＮＰＲＡＣＴＩＣＥＡＮＤＴＨＥＯＲＹＳｅｐ．，２００８膏’・，’・’・・－－＇・・、

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积分第二中值定理“中间点＂的渐近性再研究

赵奎奇

（云南师范大学数学学院，昆明６５００９２）

摘要：继续研究积分第二中值定理．建立了其。中问点”渐近性的几个结果，他们可以认为是对刘文武，吴

致友．夏雪等人结果的改进和推广．

关键词：渐近性Ｉ中间点；积分第二中值定理

１引言．

《数学分析》教材中（如文［１］）有下列定理

积分第二中值定理设ｇ（ｚ）在ｋ，６］上可积，则

（ｉ）当厂（ｚ）在［口，６］上单调减且非负时，存在拿∈［口，６］使

舳代

ｌｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）Ｉｇ（ｘ）ｄｘ（１）

Ｊ口Ｊ４

（ｉｉ）当厂（ｚ）在［口，６］上单调增且非负时．存在车∈［口，６］使

ｆ６舳

ｌｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝厂（６）Ｉｇ（ｘ）ｄｘ（２）

Ｊ口Ｊ｛

（ｉｉｉ）当厂（ｚ）在■，６］上单调时，存在￡∈［口，６］使

ｆｂｆｅＰｂ

ｌｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）Ｉｇ（ｘ）ｄｘ＋厂（６）Ｉｇ（ｘ）ｄｘ（３）

ＪｄＪ口ＪＣ

最近文［２—３］对如上积分第二中值定理中各式的“中间点”的渐近性开展研究，取得了若干有意义的结果．本文继续其研究，获得了几个更具一般性的结果．

２引理

引理１Ｃ３１设ｇ（ｚ）在［口，６］上可积，且存在常数Ａ，ｐ＞一１使得

婴芒岛＝Ｂ，ｆ—’ｄ‘’

则婴垃（ｂ－－ａ），＋１：丽Ｂ（４）

收稿日期：２００５—１１—１５基金项目：云南省教育厅科学研究基金项目（０７Ｙ１０８７２）；云南师范大学《微分方程》精品课程建设教学团队建设项目资助

２４６数学的实践与认识３８卷３主要结果

定理ｌ设，（ｚ）在ｋ，６］上单调减，厂（ｚ）≥ｏ，ｇ（ｚ）在［口．６］上可积，且

Ｔ—■“一Ｊｉｍ＋几）刊，婴芒寺划，』—■ｄ一…

其中ｐ＞一１，Ａ≠０，Ｂ≠０均为常数，则如上积分第－ｅｅ值定理（ｉ）中拿满足

磐置一（南）南¨。＋扫一ｎ＼，【ｎ）／㈣

这里定理１其实是文［３］中定理１是条件。ｐ＞ｏ，Ａ，Ｂ≠０均为常数”修改为“ｐ＞一１．Ａ≠０，Ｂ≠０均为常数”的情况，那里对其定理的证明方法在这里可以袭用（略）．这里需要说明：“厂（ｚ）在■，６］上单调减，，（ｚ）≥０”蕴含有“ｌｉｍ厂（ｚ）一Ａ存在”，若Ａ＝０，则进一

Ｔ呻ｄ＋

陌

步有厂（ｚ）＝Ｏ（ｘ∈（口，６］），Ｉｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，此时回头看中值定理知（５）式极限不存在；

Ｊ口

另外，不仅这里。而且在文［３］中引理１，“卢≥０”可改为“ｐ＞一１”，而不必改证明．

定理２设厂（ｚ）在■，６］上单调增，，（ｚ）≥０。ｇ（ｚ）在［ｎ。６］上可积，且婴丽‰＝Ａ，婴誊岛＝Ｂ，．其中口＞一１，ｐ＞一ｌ（口＋卢＞一１），Ａ≠０，Ｂ≠０均为常数，设认ｚ）为ｋ，６］上单调函数，且存在舛（ｚ）≠０。则如上积分第二中值定理（ｉｉ）中车满足

婴暑＝（再精）南㈤

证明不失一般性，这里只就认ｚ）为单增情况证明：

应用引理１便有婴辫＝婴丽‰（铧）４芑岛－－－－ＡＢｃ讧㈤，４

粤百ｂｆ（万ｚ）ｇ（ｘ）ｄｘ二鼎。舛㈤，。（７）另一方面，应用积分第二中值定理（ｉｉ）及引理１又有

ｒ６

Ｉｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ

罂％ｉ泸万

２婴尚（等掣ｍｆｌｇ刊（ｘ）ｄ两ｘ一燥（鲁川２婴万兰了而２罂—土％了矛等—』厂（６）ｆ≥。）ｄｚ厂∞）ｆｒ『譬。）ｄｚ—ｆ名。）ｄ２》

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．一１

酬舛㈤，。南（卜“ｌｉｍ（鲁㈠（８）由（７）、（８）式便有

口＋Ｊ９＋端１一，一磐（ｂ离ｒ１：：１７：Ｉ一口Ｊ’

１８期赵奎奇：积分第二中值定理。中间点”的渐近性再研究２４７也即

卧口

婴兽一ｉＦ而’

定理３设厂（ｚ）在［口。６］上单调，ｇ（ｚ）在［ｎ，６３上可积，且婴意端＝Ａ，雯拦岛一Ｂ，

其中ａ＞－－１，卢＞一１（口＋卢＞一１），Ａ≠ｏ，Ｂ≠０均为常数。设认ｚ）为ａ。６］上单调函数，且存在舛（ｚ）≠ｏ，则如上积分第二中值定理（ｉｉｉ）中拿满足

璺暑＝（再南）南㈤

、

婴—弋ｉ而尹２婴顾万莉Ｉ—彳Ｊ薪！≥鲤岽铲＝！粤意哥簖（掣）。高＝ＡＢ证明不失一般性，这里只就认ｚ）为单增情况证明：

ｃ舳”蚺恤”。

应用引理１便有

∞弛

婴———可＝而雨ｒ一Ｉｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ一，（口）Ｉｇ（ｘ）ｄｘ

Ｊ（１。）ＬｌｕＪ

另一面，应用积分第二中值定理（ｉｉｉ）及引理１又有：—［（ｆ—（ｘ万）－－ｉｆ矛（ａ）雨）ｇ一（ｘ）ｄｘ：尚（舛（训ｔ。——弋ＦｉＰ而广＿２ｉ订啊１‘舛Ｌ口Ｊ

～ｔ＇ｂ

Ｉｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ一，（口）Ｉｇ（ｘ）ｄｘ

璺Ｌ—可ｉ尸斧—一

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厂（口）Ｉｇ（ｘ）ｄｘ＋厂（６）Ｉｇ（ｘ）ｄｘ一，（ｎ）Ｉｇ（ｘ）ｄｘ

２婴—卫——可葺—盯———一．

２嚣——————————］Ｆｊ邳丌■———————一厂（口）ｔｇ厂（口）ｘ一，（６）Ｉ一，（６）ｒｄ）ｇ（ｘ）ｄｘｘ（ｇ＋＋ｆ（ｂ）ｉｔｂ）ｇ（ｘ）ｄｘ口（＋厂（６）１．＋厂（６）ｆ：厂ｇ（ｘ）ｄｘ一一厂（口’ｇ（ｘ）ｄｘ

ｌ‘ＪｑＪｄＪⅡＪｃｏⅡ

：ｌｉｍ

＝璺端（瞥¨蜉一黯褂１］＾一ａ＋【。ｌ‘，（６）一ｇ（口）’ｊ。ｇ（工）ｄｚｆ（，（６）一ｇ（口））ｆｇ（工）ｄｚ（，（６）一ｇ（口）’ｊ。ｇ（ｚ）ｄｚ（口一ｐ）。＋４＋１（，（６）一ｇ（口））ｆｇ（ｚ）ｄｚｌ（口一卢）４＋４＋１Ｊｌ

酬拍ｎ南（－一磐（寓㈠Ⅲ，由（１０）．（１１）式便有

＃％＝・一璺（置ｒ

２４８数学的实践与认识３８卷

“ｌｉｍ（置厂＝口＋１

口＋卢＋１’

（９）得证．

说明：文［３］推广了［２］，这里又使［３］的结果成为上述定理取认ｚ）＝ｚ的特例．

参考文献：

［１］华东师范大学数学系编．数学分析（下册）［Ｍ］．高等教育出版社，２００１，３：２２２—２２３．・

［２３吴至友，夏雪．积分第二中值定理“中间点”的渐近性［Ｊ］．数学的实践与认识，２００４。３４（３）：１７１—１７６．

［３］刘文武．积分第二中值定理“中间点”的渐近性分析［Ｊ］．数学的实践与认识．２００５，３５（９），２２１—２２５．

Ｏｎｔｈｆ＇ＩｎｔｅｒｉｏｒＰｏｉｎｔ“ＡｓｙｍｐｔｏｔｉｃＢｅｈａｖｉｏｒｏｆｔｈｅＳｅｃｏｎｄ

ＭｅａｎＶａｌｕｅＴｈｅｏｅｒｍｆｏｒＩｎｔｅｇｒａｌｓＡｇａｉｎ

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（ＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＹｕｎｎａｎＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｋｕｎｍｉｎｇ６５００９２ｔＣｈｉｎａ）

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积分第二中值定理"中间点"的渐近性再研究

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被引用次数：赵奎奇， ZHAO Kui-qi云南师范大学,数学学院,昆明,650092数学的实践与认识MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY2008，38(18)0次

参考文献(3条)

1. 华东师范大学数学系 数学分析 2001

2. 吴至友. 夏雪 积分第二中值定理"中间点"的渐近性[期刊论文]-数学的实践与认识 2004(03)

3. 刘文武 积分第二中值定理"中间点"的渐近性分析[期刊论文]-数学的实践与认识 2005(09)

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