考虑交易成本的套利组合研究

第１０卷专辑

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Ｖｏｌ

中国管理科学１０．ＳｐｅｃｉａｌＩｓｓｕｅ

文章编号：１００３—２０７（２００２），ｄ，一０２２９—０４

考虑交易成本的套利组合研究

李晶莹１，刘金兰２

（天津大学管理学院，天津３０００７２）

摘要：本文根据套利定价理论的基本描述，直接得到存在套利机会的情况下求解套利组合的模型。但是该模型没有考虑到交易成本对套利获利的影响，而交易成本是证券交易中很重要的组成部分。本文又对该模型进行了针对存在交易成本情况的修正，使模型更具有现实意义，所求得的套利组合的解更有效。关键词：交易成本：套利定价理论；套利组合；套利收益

中国分类号：Ｆ２２４

文献标识码：Ａ

１引言

套利定价理论（ＡＰＴ）是在１９７６年由Ｒｏｓｓ提出的，它和资本资产定价模型一样也规定了一种期望收益与风险之间的关系。但它建立在更少，更合理的假设之上。套利定价理论假设证券的预期收益率受多个因素的影响，在均衡状态下．证券收益率和这些要素之间存在线性关系。

Ｆｉ＝碍＋岛（，－一吩）＋＆（，２一碍）＋

…＋§★ＬｌＩ—Ｒｆ）＋ｅ。可转化为：

ｒ．＝１０＋‰Ｉｌ＋母☆１２＋Ａ＋８★｜Ｉ＋ｅ．

根据套利定价理论，具有相同风险的证券或组合必要求有相同的预期回报率，否则，便会存在“准套利”的机会。套利机会是指投资者可以在相同风险条件下。不追加投资就可以取得超额收益的机会。根据这些条件可以得到一个套利组合模型，用来求解在存在套利机会的情况下进行套利的套利组合，从而获得高于正常的收益。

但是，这个模型没有考虑证券组合投资过程中的交易费用。实际上，交易费用是投资管理中不可忽视的问题。不考虑交易费用得到的投资组合很可能并不是最优的。本文在套利组合模型的基础上。引入含有交易费用的情况，对套利组合模型的约束条件

收稿日期：２００２—０６—１０

和最优解进行了改进。

２

不考虑交易成本的套利组合模型

套利定价理论ＡＰＴ说明了如何获得超额收益，

我们在此说明套利定价理论的数学表达，即套利组合模型。在该模型中，组合证券中包含无风险证券。当市场前景较好，股市处于牛市时，投资者可以增加风险证券的持有量，相对减少无风险证券持有量，反之，增加无风险证券持有量，减少口值较大的风险证券持有量。假定在ｉ＝１，…，ｎ个证券问进行买进卖出。某投资者拥有的第ｉ个证券的价值份额改变量为瓤（≈＝０表示不进不出，＃．＞０表示买进证券，＃．＜０表示卖出证券）。这样所建立的套利组合模型求出的解可以同时反映各风险证券和无风险证券的头寸的调节量。由于套利组合满足三个条件：资产总和不变，买进总量等于卖出总量；套利组合不改变证券组合的系统风险，即组合后的岛值不变；另外，套利要获利。因此，套利组合应满足以下条件：

冗＝（ｍｒ２，…ｔ－Ａ）７，＾为证券ｉ的预期收益率；Ｘ＝（ｚ，，％…扎）７，缸为证券ｉ的价值份额改变量；

凰＝（孙，ｚ。，…＊。）７，＊。为投资于证券ｉ的初始价

值份额；

马＝（ｐ”岛，…风）’，岛为证券ｉ对因素，的系统风

险：

Ｆ＝（１，１，…１）７。则：约束条件：

ｍａｘ

作者简介：李晶莹（１９７８一）．女（汉族）．黑龙江省．天津大学管理

学院２０００级硬士研究生，研究方向：投资组合理论与应用．

ｒ：Ｒ７Ｘ

ＦＦ：０

万方数据　

中国管理科学

２０。２年

’．’房＝０

（２．１）

，＝（１，２，…ｍ）

ｍａｘ

ｒ＝∥（ｚ＋一＃一）一Ａ７（ｚ＋ｘ一）

．．Ｂ，７Ｘ＝０

Ｒ７Ｘ＞０Ｘ＋ｘｏ≥０

约束条件：，（ｚ＋一ｘ一）＝０

Ｂ？（ｚ＋一ｘ一）＝０

（２．３）

ｚ＋一ｚ—Ｘｏ≥０

（ｊ＝１，２，…，ｍ）

Ｒ７（ｚ＋一ｚ一）一Ａ７（＊＋＊一）≥０

上面的优化问题实际上是一个线性优化问题，可以根据线性规划进行求解。从上面的模型可以看出，只要资产种类数多于因子数，以上约束条件中等式部分就有解．这样就可能求出一个可行的套利组合。

ｚ＋≥０ｚ一≥０

ｘ：・ｘｉ＝０（ｉ＝ｌ，２，…，Ｈ）

可以看到，该模型的目标方程是线性的，但约束３

考虑交易成本的套利组合模型

与前面的套利定价理论模型相同，假定在ｉ＝

ｆ，…，ｎ个证券间进行买进卖出。某投资者拥有的第ｉ个证券的价值数量（单位元）改变量为毛（曩＝Ｏ表

示不进不出以＞０表示买进证券ｉ，毛（０表示卖

出证券）。所不同的是，投资者要改变所持有的证券

数就要对证券进行交易，而证券的交易要发生交易

成本。设单位金额的证券ｉ的交易成本为㈦令＾＝

（。１，ａ２＋・・・“）’，ｙ＝（１＃ｌ

ｌ，Ｉ

ｘ２

Ｉ，…Ｉ＃。Ｉ）７

于是我们得到考虑交易费用的套利组合模型

为：

ｍａｘｒ＝ＲｒＸ—Ａ７Ｙ

约束条件：ＦＦ＝０

‘．‘岛＝０

Ｊ＝（１，２，…ｍ）

（２．２）

．・．Ｂ７Ｘ＝０

Ｒ１Ｘ—Ａ。】，≥０ｘ＋Ｘｎ≥０

为了处理绝对值函数，可通过下列变换，使目标函数成为可微的。

在此引入：

ｘ：＝Ｉｎａｘ（Ⅸ。，０）＝（Ｉｘ。Ｉ＋Ⅳ。）／２，ｘｊ＝一ｒａｉｎ（＊；，０）＝（Ｉ＃。Ｉ一＃．）／２显然有：

ｚ：≥０，ｘｉ≥０，ｚ：・ｚｉ＝０

ｘ。＝＃：一＊ｉ，ｌｘ。Ｉ＝ｘｊ＋Ⅲｉ

（ｉ＝ｌ，２，…，ｎ）令

ｚ＋＝（ｚ；，ｚ；，…，ｘ：）７，＊一＝（ｘｉ，ｚｉ，…，＃：）７，Ⅲ４

＊＝ｚ＋“ｘ。，Ｙ＝＊＋ｘ一

所以，上面的优化模型可作如下等价形式，即有交易费用的套利组合模型：

万　

方数据条件中，最后一个约束条件ｚ：・ｘｉ＝０非线性，所

以该问题不能用线性规划的解法来进行求解。而应考虑用解非线性规划问题的最优化方法，这里用托如ｎ—Ｔｕｃｋｅｒ条件求其最优解。这里引进下面一些定理。（引自文献５，证明从略）

定理１ｂ１（Ｋｕｈｎ—Ｔｕｃｋｅｒ必要条件）：设，：Ｆ—Ｒ矗：Ｆ一一，ｇ：Ｆ一矽，一阶可微，若ｘ。是非线性规划问题的局部解或总体解，设ｇ和ｈ在ｘ‘处满足一阶约束限制条件，即ｈ在ｘ。处连续可微，ｖ＾，（＊。）（ｊ＝１，２，…，ｋ）线性独立并存在。∈彤，满足

对ｇ，（ｘ）＝０的ｉ＝１，…，ｍ有ｖｇ。（ｚ）：≥０，和ｖｔ（ｚ‘）。＝ｏ（ｊ＝１，…，ｋ），

则存在不全为零的Ａ＝（＾，，Ａ：，…，＾。）７，ｕ＝（卢，，ｐ２，…心）７，使得ｚ。满足Ｋｕｈｎ—Ｔｕｃｋｅｒ

条件

ｍ

－

ｖ，（ｚ’）＋∑一Ｖｇ，（ｘ。）＋∑＾，ｖｌ（ｚ。）＝０

，＝１

Ｊ＝ｌ

一毋（＃‘）＝ｏ（ｊ＝１，…，ｍ，）ｇｂ。）≤０，ｈ（ｚ‘）＝０

定理２ｂ１设凸规划问题中，“ｚ）和约束函数都是可微函数，若ｚ。为规划问题的ＫＴ点，则ｚ’为，（ｘ）的全局最优解。

定义Ｉｂｌ（凸函数）设函数“ｚ）定义在凸集上。若对于任意的＃，Ｙ∈Ｄ及任意实数∈［０，１］都有

九“＋（１＋ａ）ｙ］≤矾ｚ）＋（１一口）八Ｙ），

则称函数“ｚ）在凸集Ｄ

ｃ

Ｆ上是凸函数。

根据上面所建立（２．３）模型，可以看出，目标函数ｒ：Ｒ’（ｚ＋一ｚ。）一Ａ７（ｘ＋＋＊一）是线性的，容易

证明。

＾“＋（１＋ｄ）Ｙ］＝砜ｚ）＋（１一口）“Ｙ），

目标函数满足定义一的条件，因此，该函数为凸函数：

专辑李晶莹等：考虑交易成本的套利组合研究

模型（２．３）的目标函数和约束条件都可微，可以给出其最优解满足的必要条件。对模型（２．３）作恒等变形，可得到模型（２．４）：ｍａｘｒ（ｘ＋，ｘ一）＝Ｒ７（ｘ＋一Ｘ－）一Ａ７（ｚ＋＋ｚ一）约束条件：

ｇ（ｚ＋，Ｘ－）＝Ｆ７（ｚ＋一ｘ一）＝０

ｑｉ（ｘ＋，ｘ一）＝尉（ｚ＋一＃一）＝０

（ｊ＝１，２，・．．，ｍ）

２（ｚ＋，ｚ一）：Ｒ７（ｇ＋一ｘ。）一Ａ７（ｚ＋＋ｚ一）≥０ｋ。（ｘ＋，ｚ一）＝ｘ：一ｚｊ＋％≥０

（ｉ＝１，２，・．．，ｎ）

ｕ，（ｘ＋，ｚ一）＝ｚ。＋≥０（ｉ＝１，２，…，ｎ）ｑ．（ｘ＋，ｚ一）＝ｇｉ≥０

（ｉ＝ｌ，２，’‘’，ｎ）

ｈ。（ｘ＋，ｘ）＝ｘ：・ｚｉ＝０（ｉ＝１，２，‘一，ｎ）该模型的最优解满足９１１］ｌｎ—Ｔｕｃｋｅｒ条件，即存在ｐ，ｒ，Ａ＝（＾ｌ，Ａ２，…，＾。）７，＠＝（０ｌ，０２，…，

０。）７，ｒ＝（７。，ｙ２，…，ｙ。）７，西＝（Ｐ。，Ｐ２，…，‰）７，

Ｍ＝（ｐｌ，户２，・一，Ｐ。）７，使得模型最优解满足下列条件：

ｖ

ｒ（ｘ＋，ｚ一）一∑ｙ．ｖ＾。（ｚ＋，ｚ一）一

ｐＶｇ（ｚ＋，ｚ’）＋ｒＶｌ（ｚ＋，ｘ一）

＋∑Ａ；ｖ

ｕ。（ｘ＋，＃一）

一∑口。ｖｑ（ｘ＋，＃一）一∑佩ｖｋ。（ｘ＋，ｚ一）一∑一ｖ田（ｘ＋．ｘ一）＝０

ｒ１（ｘ＋，ｘ一）＝０（２．５）

Ａ：ｕ．（＃＋，＃一）＝ｏ（ｉ＝１，２，

口＾（ｚ＋，ｚ一）＝ｏ（ｉ＝１，２，・纯ｋ。（ｚ＋，ｇ一）＝ｏ

（ｉ＝１，２，

ｒ≥ｏＡ≥ｏ＠≥ｏ西≥ｏ

４两模型的比较

下面，我们用一个实例来比较两种情况下所得到的解的情况。文献…给出了一个３种证券的相关

万　

方数据数据，它显示了三种资产的主观预计收益及正交变换后两因子对五种等可能的自然状态的变化。并知无风险资产的收益率为Ｒ，＝１０％。数据如表１。

可以检验，，。，，２是正交的。下面我们可以通过求解套利定价模型来寻找套利机会。因为仅有两个因素影响收益率，则ＡＰＴ模型为：

Ｅ（Ｒ。）＝毋＋晟，（，，一崎）＋＆（，：一碍）

由于岛＝渊，忍＝粼，

（ｉ＝ｚ，Ｙ，ｚ）

可以得到各参数的估计值：

且，＝０．５艮＝２．０

Ｅ（Ｒ，）＝１１％

鳓＝１．０艮＝１．５Ｅ（Ｒ，）＝１７％且ｐ＝１．５＆＝１．０

Ｅ（足）＝２３％

从上面的结果发现，资产Ｙ的均衡收益率Ｅ（见）为１７％，小于它目前的预期收益率２５％。因此，资产Ｙ的价值被低估，存在套利机会。而资产ｚ，：的均衡收益率与现在的预期收益率相等，因此，可以卖掉资产ｚ，：，同时买入资产Ｙ来达到套利获利的目的。下面研究套利组合的可行性，并计算套利组合。

４．１

应用原始的套利组合模型求解：

假设初始投资在三种资产上的资金量相等，即

各占总投资额的１／３。由于资产种类数多于因子数，所以可以根据（２．１）套利组合模型求出套利组合的值。

计算得到该套利组合的最优解为（ｚ。，ｚ：，扎）７＝弋一１１３，２／３，一１，３）７，此时的套利收益率为１６％２

＝５．３３％。４．２

考虑交易费用的套利组合求解

假设单位资产的交易费用矩阵Ａ＝（ｎ。，。：，

Ⅱ，）７为（０．０４，Ｏ．０５，Ｏ．０３）７，其他条件和４．１中条件相同。根据（２．３）模型，按照（２．５）所列的Ｋｕｈｎ—Ｔｕｃｋｒ条件求解。最终得到的最优解为：

（＊ｌ，ｘ２，如）１＝（０，０，０）１

从求解结果可以看出，在上面所列示的情况下，当考虑交易成本时，套利行为的收益率的增加不能弥补进行交易所支出的交易成本。投资者在这种情况下不能进行套利获利。而如果按照不考虑交易成本的套利组合模型计算，得到（ｘ，，ｚ：，如）７＝（一１／３．，２１３，一１／３）７，如以这种套利组合改变所持有证券的头寸，实际上得到的套利组合收益率ｒ＝Ｒ７互一Ａ７Ｙ＝一０．３３％＜０，因此并不能从中获利。

２３２

中国管理科学

２００２拒

表１

概率

状态

尸

ＡＰＴ实例的数据资料资产收益率（徭）

ｒ，

转换后园子变化

／ｌ

１２

极坏坏

１０２０２Ｏ２０２０２

—５５２７０７０—９００—１２４７６ｉ

００

６３２．９９—１０００２．５

００

—５００４１３３７—１４．９３１０５Ｓ

３２７５

１０００—５００２５

００

—５（）。３８

４８

２３４５

一般好

极好

８００

一ｌ

—３竹１４．２

３２３７４４

４０００５０００

４４

８３００

Ｏ００

均值Ｉｌ０２５０２３０２０Ｏ８０

５

结论

可以看出，在不考虑交易成本的情况下得到套

参考文献：

［１］童恒庆．套利定价理论及实例［Ｊ］．统计与决策，１９９８，１ｌ［２］胡国政．李楚霖．考虑交易费用的证券组合投！妤研究［Ｊ！预

测．１９９８．５

利组合的解通常不是最优解。在多数情况下并不能正确指导实践。因此，应对该模型进行考虑交易成本情况的修正，从而在更符合实际的情况下得到套利组合的最优解。

【３］ｊａ㈣Ｌ．Ｆａｒｒｅｌｌ，Ｊｒ，Ｗａｌｔｅｒｊ

Ｒｅｉｎｈａｒｔ

ＰｏｒｔｆｏｌｉｏＭⅢ“口ｍｅ｜ｌｌｑ＿１ｌｃｏｒｙ

ａｎｄ＾ｐ—ｉｅａｆｉ∞２ｒｉｄＥｄｉｔｉｏｎ［Ｍ］北京．机械工业出版社２０００［４］王一鸣．数理金融经济学［Ｍ］北京北京大学出版社２０００：５］

肖柳青，周石鹏实用撮优化方法［Ｍ］上海上海变通大学

出版社２／Ｄ０

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