组合图形的面积--小学奥数专题
组合图形的面积(一)
例1 一个等腰直角三角形,最长的边是12厘米,这个三角形的面积是多少平方厘米?
练习一
1、求四边形ABCD 的面积。(单位:厘米)
2、已知正方形ABCD 的边长是7厘米,求正方形EFGH 的面积。
3、有一个梯形,它的上底是5厘米,下底7厘米。如果只把上底增加3厘米,那么面积就增加4.5平方厘米。求原来梯形的面积。
例2 正图正方形中套着一个长方形,正方形的边长是12厘米,长方形的四个角的顶点把正方形的四条边各分成两段,其中长的一段是短的2倍。求中间长方形的面积。
练习二
1、已知大正方形的边长是12厘米,求中间最小正方形的面积。
2、如下图长方形ABCD 的面积是16平方厘米,E 、F 都是所在边的中点,求三角形AEF 的面积。
3、求下图长方形ABCD 的面积(单位:厘米)。
例3 四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形,已知三角形AFH 的面积是7平方厘米。三角形CDH 的面积是多少平方厘米?
练习三
1、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米,求阴影部分面积。
2、下图中两个完全一样的三角形重叠在一起,求阴影部分的面积。
3、下图中,甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少平方厘米?
例4 下图中正方形的边长为8厘米,CE 为20厘米,梯形BCDF 的面积是多少平方厘米?
练习四
1、如下图,正方形ABCD 中,AB=4厘米,EC=10厘米,求阴影部分的面积。
2、在一个直角三角形铁皮上剪下一块正方形,并使正方形面积尽可能大,正方形的面积是多少?(单位:厘米)
3、图中BC=10厘米,EC=8厘米,且阴影部分面积比三角形EFG 的面积大10平方厘米。求平行四边形的面积。
例5 图中ABCD 是长方形,三角形EFD 的面积比三角形ABF 的面积大6平方厘米,求ED 的长。
练习五
1、如图,平行四边形BCEF 中,BC=8厘米,直角三角形中,AC=10厘米,阴影部分面积比三角形ADH 的面积大8平方厘米。求AH 长多少厘米?
2,图中三个正方形的边长分别是1厘米、2厘米和3厘米,求图中阴影部分的面积。
3,正方形的边长是2(a+b),已知图中阴影部分B 的面积是7平方厘米,求阴影部分A 和C 的和是多少平方厘米?
分析与解答:我们可以假设有4个这样的三角形,且拼成了下图正方形。显然,这个正方形的面积是12×12,那么,一个三角形的面积就是12×12÷4=36平方厘米。
分析与解答:图中的两个小三角形平移后可拼得一个小正方形,两个大三角形平移后可拼得一个大正方形。这两个正方形的边长分别是12÷(1+2)=4(厘米)和4×2=8(厘米)。中间长方形的面积只要用总面积减去这两个拼起来的正方形的面积就可以得到。即:12×12-(4×4+8×8)=64(平方厘米)
分析与解答:设大正方形的边长是a ,小正方形的边长是b 。
(1)梯形EFAD 的面积是(a+b)×b ÷2,三角形EFC 的面积也是(a+b)×b ÷2。所以,两者的面积相等。(2)因为三角形AFH 的面积=梯形EFAD 的面积-梯形EFHD 的面积,而三角形CDH 的面积=三角形EFC 的面积-梯形EFHD 的面积,所以,三角形CDH 的面积与三角形AFH 的面积相等,也是7平方厘米。
分析与解答:连接FC 后就能得到一个三角形EFC ,用三角形EBC 的面积减去三角形FBC 的面积就能得到三角形EFC 的面积:8×20÷2-8×8÷2=48平方厘米。FD=48×2÷20=4.8厘米,所求梯形的面积就是(4.8+8)×8÷2=51.2平方厘米。
分析与解答:因为三角形EFD 的面积比三角形ABF 的面积大6平方厘米,所以,三角形BCE 的面积比长方形ABCD 的面积大6平方厘米。三角形BCE 的面积是6×4+6=30平方厘米,EC 的长则是30×2÷6=10厘米。因此,ED 的长是10-4=6厘米。
组合图形的面积(二)
例1 如图,ABCD 是直角梯形,求阴影部分的面积和。(单位:厘米)
练习一
1、求下图中阴影部分的面积。
2、求图中阴影部分的面积。(单位:厘米)
3、下图的长方形是一块草坪,中间有两条宽1米的走道,求植草的面积。
例2 下图中,边长为10和15的两个正方体并放在一起,求三角形ABC (阴影部分)的面积。
练习二
1、下图中,三角形ABC 的面积是36平方厘米,三角形ABE 与三角形AEC 的面积相等,如果AB=9厘米,FB=FE,求三角形AFE 的面积。
2、图中两个正方形的边长分别是10厘米和6厘米,求阴影部分的面积。
3、图中三角形ABC 的面积是36平方厘米,AC 长8厘米,DE 长3厘米,求阴影部分的面积(ADFC 不是正方形)。
例3 两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形。已知两个三角形的面积(如图所示),求另两个三角形的面积各是多少?(单位:平方厘米)
练习三
1、如下图,图中BO=2DO,阴影部分的面积是4平方厘米,求梯形ABCD 的面积是多少平方厘米?
2、下图的梯形ABCD 中,下底是上底的2倍,E 是AB 的中点。那么梯形ABCD 的面积是三角形BDE 面积的多少倍?
3、下图梯形ABCD 中,AD=7厘米,BC=12厘米,梯形高8厘米,求三角形BOC 的面积比三角形AOD 的面积大多少平方厘米?
例4 在三角形ABC 中,DC=2BD,CE=3AE,阴影部分的面积是20平方厘米,求三角形ABC 的面积。
练习四
1、把下图三角形的底边BC 四等分,在下面括号里填上“>”、“<”或“=”。
甲的面积( )乙的面积
2、如图,在三角形ABC 中,D 是BC 的中点,E 、F 是AC 的三等分点。已知三角形的面积是108平方厘米,求三角形CDE 的面积。
3、下图中,BD=2厘米,DE=4厘米,EC=2厘米,F 是AE 的中点,三角形ABC 的BC 边上的高是4厘米,阴影面积是多少平方厘米?
例5 边长是9厘米的正三角形的面积是边长为3厘米的正三角形面积的几倍?
练习五
1、边长是8厘米的正三角形的面积是边长为2厘米的正三角形面积的多少倍?
2、一个梯形与一个三角形等高,梯形下底的长是上底的2倍,梯形上底的长又是三角形底长的2倍。这个梯形的面积是三角形面积的多少倍?
3、有两种自然的放法将正方形内接于等腰直角三角形。已知等腰直角三角形的面积是36平方厘米,两个正方形的面积分别是多少?
分析与解答:只要连接AC ,显然三角形AEC 与三角形DEC 同底等高其面积相等,这样,我们把两个阴影部分合成了一个三角形ABC 。面积是:6×3÷2=9
分析与解答:三角形ADC 的面积是10×15÷2=75,而三角形ABC 的高是三角形BCD 高的15÷10=1.5倍,它们都以BC 为边为底,所以,三角形ABC 的面积是三角形BCD 的1.5倍。阴影部分的面积是:7.5÷(1+1.5)×1.5=45。
分析与解答:因为三角形ABD 与三角形ACD 等底等高,所以面积相等。因此,三角形ABO 的面积和三角形DOC 的面积相等,也是6。因为三角形BOC 的面积是三角形DOC 面积的2倍,所以BO 的长度是OD 的2倍,即三角形ABO 的面积也是三角形AOD 的2倍,三角形AOD 的面积是6÷2=3。
分析与解答:(1)因为CE=3AE,所以,三角形ADC 的面积是三角形ADE 面积的4倍,是20×(1+3)=80;(2)又因为DC=2BD,所以,三角形ABD 的面积是三角形ADC 面积的一半,是80÷2=40。因此,三角形ABC 的面积是80+40=120。
分析与解答:题中的已知条件不能计算出两种三角形的面积,我们可以用边长是3厘米的正三角形拼一个边长是9厘米的正三角形,从而看出它们之间的倍数关系。从图中可以看出:边长9厘米的三角形是边长3厘米的三角形面积的9倍。