高中数学数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1. 数列的通项
求数列通项公式的常用方法:
(1)观察与归纳法:先观察哪些因素随项数n 的变化而变化,哪些因素不变:分析符号、数字、字母与
项数n 在变化过程中的联系,初步归纳公式。
(2)公式法:等差数列与等比数列。
⎧S 1,(n =1) (3)利用S n 与a n 的关系求a n :a n =⎨ S -S ,(n ≥2) n -1⎩n
2. 等差数列的定义与性质
定义:a n +1-a n =d (d 为常数),通项:a n =a 1+(n -1)d =a m +(n -m ) d
等差中项:x ,A ,y 成等差数列⇔2A =x +y
前n 项和S n a 1+a n )n (==na 2n (n -1)d 1+2
性质:{a n }是等差数列
(1)若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q ;
(2)数列{a 2n -1}{, a 2n }{, a 2n +1}仍为等差数列,
S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ……仍为等差数列,公差为n 2d ;
(3)若三个成等差数列,可设为a -d ,a ,a +d
S n 的最值可求二次函数S n =an 2+bn 的最值;或者求出{a n }中的正、负分界项,
⎧a n ≥0即:当a 1>0,d
⎧a n ≤0当a 10,由⎨可得S n 达到最小值时的n 值. a ≥0⎩n +1
.
(3){ka n }也成等差数列;(4)两等差数列对应项和(差) 组成的新数列仍成等差数列.
(5)a 1+a 2+ +a m , a m +1+a m +1+ +a 2m , a 2m +1+a 2m +1+ +a 3m 仍成等差数列.
(8)“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和;
3. 等比数列的定义与性质
定义:a n +1=q (q 为常数,q ≠0),a n =a 1q n -1=a m q n -m . a n
等比中项:x 、G 、y 成等比数列⇒G 2=
xy ,或G =
前n 项和:
⎧na 1 (q =1) ⎧na 1 (q =1) ⎪⎪S n =⎨a 1-a n q a 1(1-q n ) =⎨a 1n (要注意!) a 1-q + (q ≠1) = (q ≠1) ⎪1-q ⎪1-q 1-q 1-q ⎩⎩
性质:{a n }是等比数列
(1)若m +n =p +q ,则a m ·a n =a p ·a q
(2)S n ,S 2n -S n ,S 3n -S 2n ……仍为等比数列, 公比为q n .
注意:由S n 求a n 时应注意什么?
n =1时,a 1=S 1;
n ≥2时,a n =S n -S n -1.
(3){|a n |}、{ka n }成等比数列;{a n }、{b n }成等比数列⇒{a n b n }成等比数列.
(4)两等比数列对应项积(商) 组成的新数列仍成等比数列.
(5)a 1+a 2+ +a m , a k +a k +1+ +a k +m -1, 成等比数列.
(6)数列{a 2n -1}{, a 2n }{, a 2n +1}仍为等比数列,
(7)p +q =m +n ⇒b p ⋅b q =b m ⋅b n ;2m =p +q ⇒b m 2=b p ⋅b q S m +n =S m +q m S n =S n +q n S m .
(8)等比数列的符号特征(全正或全负或一正一负) ,等比数列的首项、公比与等比数列的单调性。. (9)等差数列与等比数列的联系:各项都不为零的常数列既是等差数列又是等比数列
4. 求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和,使之出现成对互为相反数的项.
如:{a n }是公差为d 的等差数列,求∑1
k =1a k a k +1n
解:由
n 111⎛11⎫== -⎪(d ≠0) a k ·a k +1a k a k +d d ⎝a k a k +1⎭n ⎛111⎛11⎫1⎡⎛11⎫⎛11⎫1⎫⎤=∑ -∴∑⎪=⎢ -⎪+ -⎪+……+ -⎪⎥ a a d a a d a a a a a a k =1k k +1k =1k +1⎭2⎭3⎭n +1⎭⎦⎝k ⎝2⎝n ⎣⎝1
=1⎛11⎫- ⎪ d ⎝a 1a n +1⎭
[练习]求和:1+111++……+ 1+21+2+31+2+3+……+n
1a n =……=……,S n =2- n +1
(2)错位相减法
若{a n }为等差数列,{b n }为等比数列,求数列{a n b n }(差比数列)前n 项和,可由S n -qS n ,求S n ,其中q 为{b n }的公比.
如:S n =1+2x +3x 2+4x 3+……+nx n -1
① x ·S n =x +2x 2+3x 3+4x 4+……+(n -1)x n -1+nx n
①—②(1-x )S n =1+x +x 2+……+x n -1-nx n
x ≠1时,S n ② (1-x )-nx =n n
(1-x )21-x ,x =1时,S n =1+2+3+……+n =n (n +1) 2
(3)倒序相加法
把数列的各项顺序倒写,再与原来顺序的数列相加.
S n =a 1+a 2+……+a n -1+a n ⎫⎬相加2S n =(a 1+a n )+(a 2+a n -1)+…+(a 1+a n )… S n =a n +a n -1+……+a 2+a 1⎭