全等三角形的性质与判定方法复习
全等三角形的性质与判定方法复习
一、知识梳理:
1.能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同;
2.全等三角形性质:①全等三角形对应边相等,对应角相等;②全等三角形对应高、角平分线、中线相等;③全等三角形对应周长相等,面积相等;
3.全等三角形判定方法有:(S.A.S.)、(A.S.A.)、(A.A.S.)、(S.S.S.),对于两个直角三角形全等的判定方法,除上述方法外,还有H.L.法;
4.证明两个三角形全等的关键,就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件,具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角,再根据选定的判定方法,确定还需要证明哪些相等的边或角,再设法对它们进行证明;
5..证明两个三角形全等,根据条件,有时能直接进行证明,有时要证的两个三角形并不全等,这时需要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用的方法有:平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.
二、典型例题:
例1、如图,AB∥EF∥DC,∠ABC=90°,AB=CD 及时练习:
1.下列判断中错误的是( )
A.有两角和一边对应相等的两个三角形全等 B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C.有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等
D.有一边对应相等的两个等边三角形全等
2.已知命题:如图,点A、D、B、E在同一条直线上,且AD=BE, E ∠A=∠FDE,则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题,
如果是真命题,请给出证明;如果是假命题,请添加一个适当条件
使它成为真命题,并加以证明.
3.已知线段AC与BD相交于点O, 连接AB、DC,E为OB的中点,F为OC的中点,连接EF(如图所
示).
⑴添加条件∠A=∠D,∠OEF=∠OFE,求证:AB=DC;
⑵分别将“∠A=∠D”记为①,“∠OEF=∠OFE”记为②,“AB=DC”记为③,添加①、③,以②为结论构成命题1;添加条件②、③,以①为结论构成命题2.命题1是______命题,命题2是_______命题(选择“真”或“假”填入空格). A D
E C B
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例2、已知AB=DC,AE=DF,CF=FB. 求证:AF=DE.
D
B F
及时练习:
1.如图,AD、BE是锐角△ABC的高,相交于点O,若BO=AC,BC=7,CD=2,则AO的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
B
第2题图 E OB 第1题图
2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,AE是过A点的一条直线,AE⊥CE于E,BD⊥AE于D,DE
=4cm,CE=2cm,则BD=__________.
3.已知:如图,在△ABC中,∠ ACB=90°,CD⊥AB于点D,点E在AC上,CE=BC,过点E作AC的
垂线,交CD的延长线于点F. 求证:AB=FC.
AC E 例3、如图①,△ABC≌△DEF,将△ABC和△DEF的顶点B和顶点E重合,把△DEF绕点B顺时针方向旋转,这时AC与DF相交于点O.
⑴当△DEF旋转至如图②位置,点B(E)、C、D在同一直线上时,∠AFD与∠DCA的数量关系是________________;
⑵当△DEF继续旋转至如图③位置时,⑴中的结论成立吗?请说明理由_____________.
A
B(E
图③
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1.如图,D、E分别为△ABC的AC、BC边的中点,将此三角形沿DE折叠,使点C落在AB边上的点P
处.若∠CDE=48°,则∠APD等于( )
A.42° B.48° C.52° D.58°
2.如图,Rt△ABC沿直角边BC所在的直线向右平移得到△DEF,下列结论中错误的是( )
A.△ABC≌△DEF B.∠DEF=90°
C. AC=DF D.EC=CF
A
G B E 第2题图 C
3.一张长方形纸片沿对角线剪开,得到两种三角形纸片,再将这两张三角形纸片摆成如下图形式,使点
B、F、C、D在同一条直线上.
⑴求证:AB⊥ED;
⑵若PB=BC,找出图中与此条件有关的一对全等三角形,并证明.
例4、已知,如图,BD、CE分别是△ABC的边A C和AB边上的高,点P在BD的延长线,BP=AC,点Q在CE上,CQ=AB. 求证:⑴ AP=AQ;⑵AP⊥AQ P
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1.如图,已知AB=AE,∠B=∠E,BC=ED,点F是CD的中点,求证:AF⊥
2.如图,在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上,梯子顶端距地面的垂直距离MA为am,此时梯子的倾斜
角为75°,如果梯子底端不动,顶端靠在对面的墙上,此时梯子顶端距地面的垂直距离NB为bm,梯子倾斜角为45°,这间房子的宽度是( ) A.abm 2B.abm 2
C.bm D.am M
D
第2题图 A 第3题图
3.如图,已知五边形ABCDE中,∠ ABC=∠AED=90°,AB=CD=AE=BC+DE=2,则五边形ABCDE
的面积为__________.
三、课堂练习:
1.已知图中的两个三角形全等,则∠α度数是( )
A.72° B.60° C.58° D.50°
2.如图,△ACB≌△A/C/B/,∠ BCB/=30°,则∠ACA/的度数是( )
A.20° B.30° C.35° D.40°
3.尺规作图作∠AOB的平分线方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧交OA、OB于C、D,再分别以点C、D为圆心,以大于
根据是( )
A.SAS B.ASA
1CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得△OCP≌△ODP的2C.AAS D.SSS 4/6
4.如图,已知AB=AD,那么添加下列一个条件后,仍无法判定△ABC≌△ADC的是( )
A. CB=CD B.∠BAC=∠DAC C. ∠BCA=∠DCA D.∠B=∠D=90°
5.有两块不同大小的等腰直角三角板△ABC和△BDE,将它们的一个锐角顶点放在一起,将它们的一个锐角顶点放在一起,如图,当A、B、D不在一条直线上时,下面的结论不正确的是( )
A. △ABE≌△CBD B. ∠ABE=∠CBD
C. ∠ABC=∠EBD=45° D. AC∥BE
6.如图,△ABC和共顶点A,AB=AE,∠1=∠2,∠B=∠E. BC交AD于M,DE交AC于N,小华说:“一定有△ABC≌△AED.”小明说:“△ABM≌△AEN.”那么( )
A. 小华、小明都对 B. 小华、小明都不对 C. 小华对、小明不对 D.小华不对、小明对
7.如图,已知AC=EC, BC=CD, AB=ED,如果∠BCA=119°,∠ACD=98°,那么∠ECA的度数是___________.
8.如图,△ABC≌△ADE,BC延长线交DE于F,∠B=25°,∠ACB=105°,∠DAC=10°,
则∠DFB的度数为_______.
9.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°, DE⊥AB于D, BC=BD. AC=3,那么AE+DE=______
10.如图,BA⊥AC, CD∥AB. BC=DE,且BC⊥DE,若AB=2, CD=6,则AE=_____.
11.如图, AB=CD, AB∥CD. BC=12cm,同时有P、Q两只蚂蚁从点C出发,沿CB方向爬行,P的速度是0.1cm/s, Q的速度是0.2cm/s. 求爬行时间t为多少时,△APB≌△QDC.
12.如图, △ABC中,∠BCA=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE,垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.
⑴求证:AE=CD;
⑵若AC=12cm, 求BD的长.
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四、巩固提高:
1.在△ABC中,,AB=AC, 在AB边上取点D,在AC延长线上了取点E ,使CE=BD ,连接DE交BC于点F,求证DF=EF .
B
2.如图∠ACB=90°,AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D,AD=2.5cm,DE=1.7cm,求BE的长.
3.如图所示,P为∠AOB的平分线上一点,PC⊥OA于C,