两个重要极限和无穷小的比较
数学析分
第章一函 与数极
§限 5两个要极重、限无穷比较小
5 两§重要极个、限无穷比小 较限极在存准 则个两要重极 无穷小的限较 比价无等小穷代换
数
分学析
一章 第函与数极
§限 两5个重要极限无、小穷比较
、一极限在准存
1则.两边准则
夹则准 Ⅰ如果数 列 nx, y n 及z n足满下列条:件
1)(y ≤nxn ≤ z
n→ n∞
(
n =1,2 , 3
)→n ∞
( 2
li) my = an ,imlzn a=,
么那数列x n 的极 存在限 , 且im xln = a .
n→∞
数 分析学
第章一 数与极函
0限
§5
两个重要极限、无 穷小较比
准则′Ⅰ 果当如x ∈ U δ x( ) (或 x > M0 时)有,
(
)1g ( x ) ≤ f(x ) h(≤ x) ,( )2 x il gm x ) = (A, lxmi (h x) = A →, xx
→(x →∞ ) 0
( x ∞ →)
那末0 lmif ( x)在, 且等于 存A
x → .x0( x∞ →)
准
,和准则则 , ′为两称边夹准.
则注:
用两边利准则求极限夹 关键构造出是 y n z与 n, 并且 y 与n z 的n限极容是易的 求.
数学
析分
一第 函数与极章
§5限两 个重要极、无限小比较穷
例
1求li m
n( ∞→
1n +1 2
1 + +n
2
+2
+
1 n n+2
)
数学分析
.
第章 函一数极限与
§5
两个要重极、无穷小限比
较2
.单调有界准
则如果列数 n满x足条件x 1≤x 2x 1 ≥ 2x
准Ⅱ
则
x ≤ n≤ xn1+≤ ≥ x n≥ xn +1 ≥
, 调单增 加 ,单调减少
调数单
列调有单界数列必有限极 .
几
解释何:
1 x x2 x x 3 nx n+ 1
A
M
x
数
学析
分第一章 函数极与
限§
两5个要重限、极穷无比小
较、二个重要极两
(1限
C)
B
o
π
sxinx l i m1 =→x0x
D
A
单位圆设 O, 圆 心角 ∠OA =B x, (0
作单位
圆的切 ，得线Δ CO A
.扇形
AO的圆心B角 为x ,ΔOA B的为 B高D ,
是于 有sin x B= ,Dx = 弧 BA, ta n x =C A
,
数分学
析一第章函 数与限极
§5
两个要极重、无穷小限比较
∴is nx
π上式 对于
s
ni x 即co sx
当
0 x
isnx li∴ m 1. =x0→
x
π∴
lim os xc= 1 ,
x0→
又∵ ilm 1 =,
1→x
设 0α为 过某程的中无小 ,穷
isn α lim =1 1;某 程过
0α
数分析
学第一
章 函数与限
§极5 个两要极限、无重穷比小较
例3
1)
求 lim 1 −co sx x 2
x→
0
.x 2)
im l, x0 →tna5 x
rcain xs 3) il mx→ 0
x
数学析分
第
一 章函数极限
与§5
两 个要重极限无、小比穷较
(
)
21
x im (1 l+) = e →∞xx n 1(1 +) = e首 先证明lim n ∞→n
1n 数设 x 列 n =1 ( +), 否是单调有 界 n
? n 1 x∵n =( + ) 1nn
1 n n ( −1 1) 1+ ⋅ = ⋅ 2+ +!1 n2!n
+
( nn− 1)
( n
− +n1 )1 ⋅nn! n
11 =1 + +1(1 − ) + 2!n
1
1 2+( 1− )1( − n)! nn
n−1 (
1− ) n
.
数
学析
分
第章 函数一极限与
11类 地似, x)+ (1 − +n1= 1 + 1 + +1n 2 n−1! 2 11 (+1− ) ) (1 − ) (1− n !n+ 1n+ n+12 2n 1 1 )+(1 − ) ).( 1−( 1 − n1 +n + 2n1+
( n+ )1!
5§两 重个极要限无穷小、较
比显
然 x n+1 x n > ∴ ,{x }n是单调 增递的;
11 1 xn
∞
学数析
x分 →+∞
再
计 算il m1 +(
第一章 函
与极数限 1
§x 5个两重要限、极穷小无较
x
) 比
.设
n ≤ x≤ + 1,n
1 n
1 x n+11) ≤ (1+ ) ≤ ( 1+ , )与x同时趋n+∞向则 ( 1 ++n 1 xn1
1 1 li而 m1 ( )+n + 1= lim ( 1+ n) li⋅m ( 1 ) + →n + ∞n +∞ → n→ + n n n
∞
=e,
1 n
li (m1 )+n → ∞+ n+ 11 n+1 1− 1 ⋅ lim( 1 = +ilm 1(+ ) n)→ +∞ →n+∞ +1 n+n1
=
,
e1
x ∴ ilm(1 + ) e= .x→ + x
∞
数分学析
第章 函一与数极限
变量代换用求可出 il (m 1+ )= xe →−∞ x
§5 两个重要极、限穷小无比 1 较x
令
t = x−,
1x 1 −t∴ li m( 1 +) =iml(1 −) = l m i(1+ 1 t) x →−∞ t →+ ∞ xt t − t1 → ∞+1
t−11 ) (1 +) =l im(1 +t 1−t − t → 1+∞
= .
e
1 ∴xl m (i + 1) e= → x−∞ x
1 t=令 ,x
t1 lim1( + x) = li(1 +m) = e . x 0 → t→ ∞
1 xt
1
lxmi(1+ x) e
=x0→
学分数
析一章第 函数与限极
5 §个两重要极限、穷小比无
设较α 为某过中的程穷小无,
2
0li m1 +( α) = e .某过程
1
α
学数析分
第一
章函与数限极
1x 例 求 l4im(1 −) . x →x∞
5§ 个重要两极限、无穷小比
例较
3 +5x 2 求x im l( . )→x 2 ∞ x
+ 又lm i1 +(
→x
01
x xe )x,
15 lnim(1 ) .+ 2 nn ∞
→
数学析
分第章 一函数与限
极5§两 重个要限极无穷、小较
比三
、穷小无的较比1
例如, 当x →0时 , x x , ,si n , x xsni 是无穷都小 x x.22 = 0 ,il m 比3 xx趋近的零度要速得快 ; x多0 →3 x
2 2
观
察极限各
isn x= 1,si nx与x大致相同; li mx →0 1x 2x s n i x1 il m =ilm si n存不在.不 比可. 2x 0→ x→ x 0
x极
限同不 ,反映了趋于零的向快慢“”程度同.不
数分析
学第
一章 函数与极限
§
5两个要重极限无、穷小比较
(β )3 如 果il km= C ( C ≠0 ,k > )0,就 说是β的αk的 阶
无α穷.小
定义
设α:,β 是 一同程中过的个两 无小穷 ,且 ≠α 0 β .() 如果1 li m =0 就,β说是比α高阶的无穷 小 α, 作记β = o α ();β ( 2 )果如 im = Cl(C ≠ 0 ),就说 β与 是同α的阶无穷; 小 α β殊地特如果 li m 1,= 则β 称α与是等的无价穷小;α 作 α 记 β;~
数学
析
分第一
章函 数与限极
§ 5两重个要限、极穷小无较
比1例 证 :明当x →0时,4 x tna x为3的x阶四穷无 小
.2例 x 当→ 0时 , 求tna x s−ni 关于 x的阶x数 .
数
学分
第一章 函数析极限与
§5两 重要极限、个无穷小较比
常用等
无价穷:小
当x →0 时
sin x ~ ,x, atn ~ xx, l(1n + x)~ x ,
rasicn x x~, ar can t ~ x x, e− 1~ x,
x
1
21 − oc xs~ x. 2
用等无价穷可给小出数的近似表函达式 : α−ββ∵ li =m 1, ∴ lm = 0,i即 α − β =o( α, )αα 于
是有 α= β + o( α ).
例如 s,in x= x + (o x),
12cos x= 1 − +x ( xo2 . 2)
数
分学析
第
章一函 数与极限
§
两5个重要极、无限小比穷
较
四、等价无小穷代换
理定(等价穷无替小换理)定
′ β ββ′ 设α~ α ′ , β~β ′且 lim 在存 则 ,il m= im l α′.α α
证
′ ββ ′βα ′lim = lim( ⋅ ) ⋅′βα′ α
βαβ′ α′ β′ = l mi⋅ l m ⋅ lim =i lim. ′ β′αα α′
数学
析分
一第 函章数极限
2与
§5 个重要极两、限穷小比较无
tn a2 . x例3 lim求 →0x1 − co s x
注
不能意滥等价无穷用小换.
对代代数于和各无穷中小能分不替别换
.tn xa − isn x. 4例 求lim3 x→ 0sn 2 i
x
数学分析
第一
章 数函与极
§5限两 个重要限极、穷无小较
比 sein − 1x .例 求5 lim x 0 →nl1 (+3 x
例6 l)im
1 +
xin xs− 1 x 2 rctan ax
x →0
例
7(
1+ ax) − l1mi x→ 0
x
n1
数学析
分
第一 章函数极限与
§5 两
个要重极限无、穷比较小
考思
x题 极求 l限i 3 +m9 x +∞
(
1→x
)x