数形结合法

高考专题复习:数形结合法

专题一：两点间的距离公式

1.

函数y =2.

函数y =

______. 的最大值为______.

2

2

2

3. 函数f (x ) =(x -a ) +(lnx -2a ) 的最小值为______.

222

4. 若a >0, 则(a -b ) +(a -ln a +2-b ) 的最小值为______.

5. 若a >

122

, 则(a -b ) +(ln(2a -1) -2b -3) 的最小值为______. 2

n

的取值范围为______. m

n -1

的取值范围为______. m -2

专题二：两点间的斜率公式

1. 若点P (m , n ) 在线段y =8-2x (1≤x ≤3) 上, 则2. 若点P (m , n ) 在线段y =8-2x (1≤x ≤3) 上, 则

3. 若点P (m , n ) 在函数y =x 2-2x +1的图象上, 则4. 若点P (m , n ) 在函数y =x 2-2x +1的图象上, 则2x -1

5. 函数y =x 的值域为______.

2+12x -1

6. 函数y =x +1的值域为______.

2+1

n

的取值范围为______. m

n +1

的取值范围为______. m -2

3x -1

7. 函数y =x 的值域为______.

3-3

8. 函数y =9. 函数y =

sin x

的值域为______.

2+cos x

3-sin x

在区间(0,π) 上的值域为______.

4-cos x

10. 若函数y =f (x ) 的图象如右图, 且在区间[a , b ]上存在n (n ≥2) 个互不相等的实数x 1, x 2, , x n , 使得

f (x n ) f (x 1) f (x 2)

== =, 则正整数n 的取值集合为______. x 1x 2x n 专题三：绝对值函数的图像

1. 若方程x -4|x |+5=m 有四个不等实根, 则m 的取值范围为______. 2. 若方程|x -2x -3|=m +2有四个不等实根, 则m 的取值范围为______. 3. 若方程|x -2x -3|=x +m 有四个不等实根, 则m 的取值范围为______.

22

2

4. 若方程|x -2|+1=kx 有两个不等实根, 则k 的取值范围为______.

5. 若关于x 的方程|2x -3|+m =8有两个不等实根, 则实数m 的取值范围为________．

6. 若函数f (x ) =||x |-1|, 则关于x 的方程f 2(x ) -f (x ) -k =0的四个命题中真命题为①存在k 值使方程恰有2个不同的实根； ②存在k 值使方程恰有4个不同的实根； ③存在k 值使方程恰有5个不同的实根； ④存在k 值使方程恰有8个不同的实根. 7. 若函数f (x ) =|x 2-1|, 且方程f 2(x ) +b ⋅f (x ) +c =0有7个不相等的实数根, 则必有( ).

A. b -c -1=0 B.b +c -1=0 C.b -c +1=0 D.b +c +1=0 8. 设函数f (x ) =

|x |

, 若关于x 的方程f 2(x ) -mf (x ) +m -1=0恰有4个不相等的实数根, 则实数m 的x e

1e

1e

1e

取值范围【 】.

A. (, 2) (2,e) B.(,1) C.(1,+1) D.(, e )

1e

专题四：分段函数的图像

1⎧

|x +|,x ≠0⎪1. 若函数f (x ) =⎨, 则方程f 2(x ) +bf (x ) +c =0有五个不等实根的充要条件是【 】. x ⎪x =0⎩0,

A.b 0 B.b >-2, 且c -2, 且c =0

x -1⎧⎪5-1, x ≥022

2. 设函数f (x ) =⎨, 若方程f (x ) -(2m +1) f (x ) +m =0有五个不等实根, 则实数m 2

⎪⎩x +4x +4, x

的值为【 】.

A.2 B.6 C.2或6 D.4或6

⎧e x (x ≥0) 2

3. 若函数f (x ) =⎨, 则“t ≤-2”是“关于x 的方程f (x ) +f (x ) +t =0有三个不同实

⎩lg(-x ) (x

数根”的____________条件.

⎧3x (x ≥0) 2

4. 若函数f (x ) =⎨, 函数g (x ) =f (x ) +f (x ) +t , 则关于函数g (x ) 的零点, 下列判断

⎩log 3(-x ) (x

不正确的是【 】. ．．． A.若t =

11

, g (x ) 有一个零点 B.若-2

C.若t =-2, g (x ) 有三个零点 D.若t

专题1：两点间的距离公式【参考答案】

1. 解:

由于y =

= 因此

P (x ,0), A (1,1)两点之间的距离

P (x ,0), B (3,3)两点之间的距离.

故, 函数的最小值就等价于在x 轴上的点P (x ,0) 到点A (1,1),B (3,3)的距离之和的最小值.

设点A (1,1)关于x 轴对称的点为A '(1,-1) ,

则由PA +PB =PA ' +PB ≥A ' B =可知PA +PB 的

最小值为也就是说,

函数的最小值为2. 解:

由于y =

=,

因此

P (x ,0), A (-1,4) 两点之间的距离

P (x ,0), B (3,2)两点之间的距离.

故, 函数的最大值就等价于在x 轴上的点P (x ,0) 到点A (-1,4), B (3,2)的距离之差的最大值.

由PA -PB ≤AB =可知PA -

PB 的最大值为也就是说,

函数的最大值为a ) 表示P (x , 2ln x ), A (a , 2a ) 两点之间的距3. 解:由于(x -a ) +(lnx -2a ) =(x -a ) +(2lnx -2

离的平方, 因此函数f (x ) 的最小值即为|PA |2的最小值.

由于点A (a ,2a ) 在直线y =2x 上, 因此|PA |2的最小值即点P (x ,2ln x ) 到直线y =2x 的距离d 的平

方d =2

22222

24

=(x -ln x ) 2.

5 令函数g (x ) =x -ln x , 则由g '(x ) =1-

1x -1

=知函数g (x ) 在(0,1)上递减, 在(1,+∞) 上递增, x x

2

故函数g (x ) 的最小值为g (x ) =g (1)=1. 从而d = 综上可知, 函数f (x ) 的最小值为

2

2

444

(x -ln x ) 2=(g (x )) 2≥. 555

4

. 5

2

2

4. 解:由于(a -b ) +(a -ln a +2-b ) 表示P (a , a -ln a +2), Q (b , b ) 两点之间的距离的平方, 因此所

2

求式子的最小值即为|PQ |的最小值.

22

由于点Q (b , b ) 在直线y =x 上, 因此|PQ |的最小值即点P (a , a -ln a +2) 到直线y =x 的距离d 的

2212

=(a -a -ln a +2) 2. 平方d =22

令函数g (x ) =x -x -ln x +2, 则由g '(x ) =2x -1-

2

11

=(2x +1)(x -1) 知函数g (x ) 在(0,1)x x

2

上递减, 在(1,+∞) 上递增, 故函数g (x ) 的最小值为g (x ) =g (1)=2. 从而d ≥2.

综上可知, 所求的最小值为2.

5. 解:由于(a -b ) +(ln(2a -1) -2b -3) 表示P (a ,ln(2a -1)), Q (b ,2b +3) 两点之间的距离的平方, 因此所求式子的最小值即为|PQ |2的最小值.

由于点Q (b ,2b +3) 在直线y =2x +3上, 因此|PQ |2的最小值即点P (a ,ln(2a -1)) 到直线y =2x +3的距离d

的平方d =2

22

21

=(2a -ln(2a -1) +3) 2.

5 令函数g (x ) =2x -ln(2x -1) +3, 则由g '(x ) =2-

24x -41

=知函数g (x ) 在(,1) 上递减,

2x -12x -12

2

在(1,+∞) 上递增, 故函数g (x ) 的最小值为g (x ) =g (1)=5. 从而d ≥ 综上可知, 所求的最小值为5.

12

⋅5=5. 5

专题2：两点间的斜率公式【参考答案】

6), B (3，2) , 且1. 解:由于点P (m , n ) 在线段AB 上, 其中端点为A (1，

n n -0

表示直=

m m -0

线OP 的斜率, 因此直线OP 的斜率介于直线OB 的斜率与直线OA 的斜率之间, 而

2-026-02n

直线OB 的斜率为=, 直线OA 的斜率=6, 所以≤≤6.

1-03m 3-036), B (3，2) , 且2. 解:由于点P (m , n ) 在线段AB 上, 其中端点为A (1，

n -1

表示直线m -2

1) , 而当点P 为直线x =2与线段AB 的交点时, 直线CP 的CP 的斜率, 其中点C (2，

倾斜角为90︒, 此时直线CP 的斜率不存在, 因此直线CP 的斜率不小于直线CB 的斜率或不大于直线CA 的斜率, 而直线CB 的斜率为n 6-1n n

=-5, 所以的取值范围为≤-5, 或≥1.

m 1-2m m

2-1

=1, 直线CA 的斜率3-2

3. 解:由于点P (m , n ) 在抛物线上, 且

n n -0

表示直线OP 的斜率, 而当点P 为=

m m -0

直线x =0与抛物线的交点时, 直线OP 的倾斜角为90︒, 此时直线OP 的斜率不存在, 因此直线OP 的斜率不小于抛物线的切线OA 的斜率, 或不大于抛物线的切线OB 的斜率.

设抛物线的切线的方程为y =kx , 则联立方程组y =kx 与y =x 2-2x +1可得x 2-(k +2) x +1=0, 令∆=(k +2) 2-4⨯1⨯1=0可得k =0, 或k =-4.

所以,

n n n

的取值范围为≤-4, 或≥0.

m m m

n +1

表示直线CP 的斜率, 其中点C (2,-1) , m -2

4. 解:由于点P (m , n ) 在抛物线上, 且

而当点P 为直线x =2与抛物线的交点时, 直线CP 的倾斜角为90︒, 此时直线CP 的斜率不存在, 因此直线CP 的斜率不小于抛物线的切线CE 的斜率, 或不

大于抛物线的切线CF 的斜率.

设抛物线的切线为y =k (x -2) -1, 则联立y =k (x -2) -1与y =x 2-2x +1可

得x 2-(k +2) x +2k +2=0, 令∆=(k +2) 2-8(k +1) =

0可得k =2±所以,

n n n

的取值范围为≤2-

或≥2+m m m

2-1

2x ), Q (-11) ，所确定直线PQ 的斜率, 而点P (2x ，2x ) 在表示两点P (2x ，x

2+1

x

5. 解:由于y =

射线y =x (x >0) 上, 因此结合图形(参见右图) 分析知直线PQ 的斜率介于直线OQ 的斜率(k OQ =

1-0

=-1) 与直线QR 的斜率(k QR =1) 之间. 所以函数的值域为(-1,1) . -1-0

2x -1

2x ), Q (-11) ，所确定直线PQ 的斜率, 而点P (2x +1，2x ) 6. 解:由于y =x +1表示点P (2x +1，

2+1

1

在射线y =x (x >0) 上, 因此结合图形(见右图) 分析知直线PQ 的斜率介于直线OQ

2

的斜率(k OQ =7. 解:由于y =

1-011

=-1) 与直线QR 的斜率(k QR =) 之间. 所以函数的值域为(-1, ) . -1-022

3-1

3x ), Q (31)，所确定直线PQ 的斜率, 而点P (3x ，3x ) 在射表示两点P (3x ，x

3-3

x

线y =x (x >0) 上, 因此结合图形(见右图) 分析知:当点P 为直线x =3与射线的交点时, 直线PQ 的倾斜角为90︒, 其斜率不存在, 所以PQ 的斜率小于OQ 的斜率k OQ =

1-01

=,

3-03

或大于QR 的斜率k QR =1. 所以函数的值域为(-∞, ) (1,+∞) . 8. 解:由于y =

sin x sin x -0

sin x ), Q (-2，0) 所确定表示两点P (cosx ，=

2+cos x cos x -(-2)

13

sin x ) 在单位圆上, 因此结合图形(参见右图) 直线PQ 的斜率, 而点P (cosx ，

分析知直线PQ 的斜率介于单位圆的切线AQ 的斜率与BQ 的斜率之间.

0) 作单位圆的两切线的斜率为k AQ 由于过点Q (-2，

, k BQ 所

=

以函数的值域为[9. 解:由于y =

. 3-sin x

sin x ), Q (4，3) 所确定直线PQ 的斜率, 表示两点P (cosx ，

4-cos x

sin x ) 在单位圆的上半圆(因为x ∈(0,π) ) 上, 因此结合图形(参而点P (cosx ，

见右图) 分析知直线PQ 的斜率介于单位圆的切线AQ 的斜率与边界直线BQ

的斜率之间.

, 直线BQ 的斜率为k BQ =1,

所以函数的值域为. f (x 1) f (x 1) -0f (x 2) f (x 2) -0

，f (x 1)), O (0，0) 所确定直线OP 1的斜率, 10. 解:由于表示两点P 表示两==1(x 1

x 1x 1-0x 2x 2-0

因为切线的斜率为k AQ 0) 所确定直线OP 2的斜率, „„, 点P 2(x 2，f (x 2)), O (0，

f (x n ) f (x n ) -0

=，0) 所确定表示两点P n (x n ，f (x n )), O (0x n x n -0

直线OP n 的斜率.

因此n 的值即为过原点O 的直线与函数图像的交点个数, 即n 的取值集合为{2,3,4}.

专题3：绝对值函数的图像【参考答案】

2

1. 解:设函数f (x ) =x -4|x |+5, 则f (x ) 是偶函数. 首先, 画

2

出当x ≥0时的函数f (x ) =x -4x +5的图像；其次, 根据偶函数的性质可得当x

由图像可知, 方程f (x ) =m 有四个不等实根时, 实数m 的取值范围为1

2. 解:设函数f (x ) =|x 2-2x -3|. 首先画出函数f (x ) =x 2-2x -3的图像；其次, 将x 轴下方的图像对称到x 轴上方就可以得到函数f (x ) 在定义域内的图像如右图所示.

由图像可知, 方程f (x ) =m +2有四个不等实根时, 实数m 应满足的条件为0

故实数m 的取值范围为-2

首先, 当x -2x -3≥0, 即x ≤-1或x ≥3时, f (x ) =x 2-3x -3；

当x -2x -3

22

由函数f (x ) 的图像可知, 方程f (x ) =m 有四个不等实根时, 实数m

的取值范围为1

13. 4

4. 解:首先, 画出函数f (x ) =|x -2|+1的图像, 如右图的折线部分； 其次, 由于函数g (x ) =kx 的图像是过坐标原点的一条直线.

因此方程f (x ) =g (x ) 有两个不等实根, 即是直线g (x ) =kx 与折

线f (x ) =|x -2|+1有两个不同的交点.

由图像可知, 直线g (x ) =kx 的斜率介于直线OA 的斜率与直线OB 的斜率之间, 故

x

x

1

5. 解:方程|2-3|+m =8的实根个数等价于函数y =|2-3|的图像与直线y =8-m 的交点的个数. 由于函数y =|2-3|的图像可以先将函数y =

2三个单位得到函数y =2-3的图像, 再将函数y =2-3的图像在x 下方的部分关于x 轴对称, 得到函数y =|2-3|的图像如右图所示.

x

所以, 当0

x

x

x

x

x

线y =8-m 有两个交点, 即方程|2-3|+m =8有两个不等实根.

6. 解:首先, 画出函数f (x ) =||x |-1|的图像如右图所示.

其次, 令f (x ) =t , 并设方程t 2-t -k =0的根为t 1, t 2, 则由韦达定理可知t 1+t 2=1, t 1t 2=-k . 由于当k =2时, t 1=-1, t 2=2, 因此方程f (x ) =t 1=-1无实根, 方程f (x ) =t 2=2有两个实根, 此时原方程共有两个不同实根；

由于当k =0时, t 1=0, t 2=1, 因此方程f (x ) =t 1=0有两个实根,

方程f (x ) =t 2=1有三个实根, 此时原方程共有五个不同实根； 由于当k =-

21212

时, t 1=, t 2=, 因此方程f (x ) =t 1=有四个实根, 方程f (x ) =t 2=有四个实93333

根, 此时原方程共有八个不同实根；

由t 1+t 2=1可知t 1, t 2不能同时大于1, 也不能一个为0, 另一个大于1, 故不可能恰有四个不同实根. 综上可知, 答案为①③④.

7. 解:首先, 我们可以画出函数f (x ) =|x 2-1|的图象如下, 因此, 由图象可知: (1)当m 1时, 函数y =f (x ) 的图象与直线y =m 有两个交点.

2

其次, 设f (x ) =t , 则要使方程f 2(x ) +b ⋅f (x ) +c =0有7个不等实根, 方程t +b ⋅t +c =0必有两个2

实根t 1, t 2, 且满足0

8. 解:首先, 画出函数f (x ) =

2

|x |

的图像如右图所示. e x

其次, 由方程f (x ) -mf (x ) +m -1=0得f (x ) =1或f (x ) =m -1. 由于方程f (x ) =1有且只有一个实数根, 因此要使原方程有恰有4个不相等的实数根, 只需方程f (x ) =m -1恰有3个不相等的实数根,

故0

11

⇒1

说明:本题的关键在于画函数f (x ) 的图像, 尤其是应关注函数图像的特征点, 比如极值点！

其次, 设f (x ) =t , 则要使方程f 2(x ) +b ⋅f (x ) +c =0有5个不等实根, 方程t 2+b ⋅t +c =0必有两个实根t 1, t 2, 且满足t 1=0, t 2>2. 从而可知, 必有c =0, 且-b >2⇒b

(1)当m

(3)当04时, 函数y =f (x ) 的图象与直线y =m 有两个交点.

其次, 设f (x ) =t , 则要使f 2(x ) -(2m +1) f (x ) +m 2=0有5个不等实根, t 2-(2m +1) t +m 2=0必有两个实根t 1, t 2, 且满足f (x ) =t 1有两个实根, f (x ) =t 2有三个实根.

故必有t 2=4, 从而16-4(2m +1) +m =0, 解得m =2, 或m =6.

而当m =2时, 方程t 2-5t +4=0的根为t =1, 或t =4. 此时f (x ) =1有四个实根, f (x ) =4有三个实根, 共七个实根, 不合题意. 当m =6时, 符合题意.

综上可知, 答案为B.

3. 解:首先, 画出函数f (x ) 的图像如右图所示.

其次, 若设f (x ) =t , 则f (x ) +f (x ) +a =02

2

t 2+t +a =0. 当a ≤-2时, 方程t 2+t +a =

0的两根为t 1=

-1--1+≥1.

或t 2=

22

从而可知f (x ) =t 1有一个实根, f (x ) =t 2有两个实根. 所以, 关于x 的方程f 2(x ) +f (x ) +t =0有三个不同实根.

若方程f 2(x ) +f (x ) +t =0有三个不同实根, 则需要f (x ) =t 1有一个实根, 且f (x ) =t 2有两个实根. 从而需要方程t 2+t +a =0的两根t 1, t 2满足t 1

综上可知, “a ≤-2”是“关于x 的方程f 2(x ) +f (x ) +a =

04. 解:首先, 画出函数f (x ) 的图像如右图所示. 其次, 当a =而方程f (x ) =-

112

时, 由g (x ) =f (x ) +f (x ) +=0可得f (x ) =441

有一个零点, 故函数g (x ) 有一个零点. 故A 是正确的2

当a =-2时, 由g (x ) =f 2(x ) +f (x ) -2=0可得f (x ) =-f (x ) =1, 而方程f (x ) =-2有一个零点, f (x ) =1有两个零点, .

当-2

1时, 由g (x ) =0得f (x ) =

当a

1有

两个零点, 故函数g (x ) 有三个零点. 故D 是不正确的.