无限中的有限

学校代码： 学 号：

Hefei University

本科毕业论文 BACHELOR DISSERTATION

论文题目： 无限过程中的有限（浅谈数列与级数的收敛性及其应用）

学位类别： 理学学士

学科专业： 数学与应用数学

作者姓名： 何李贝

导师姓名： 姚玉武

完成时间： 2011年 月 日

无限中的有限（浅谈数列与级数的收敛性及其应用）

摘 要

无限过程中的有限，无论从数学世界中还是现实世界中，其研究面广且具有研究价值。纯粹意思上理论的，数列和级数的收敛性已经研究的比较透彻。数学史上的三次危机都是由于对无限本身的矛盾认识而引起的，了解到无限和有限在数学史上的发展过程，有限和无限在数列求极限中的区别和联系，再通过即无限中包括了有限。在级数中有限和无限的研究。无限是由有限构成的，例如对一些无限事物确定性研究，如Koch雪花的研究，并且在一些数列和级数中通过有限和无限之间的关系，从而得出一些不同与常规的结论。

关键词：有限；无限；数列；正项级数；Koch雪花；

Finite or Infinite（infinite the convergence for series of sequence and

its applications）

ABSTRACT

Infinite process is limited, regardless of the mathematical world is the real world, a wide range of its research and research value. Pure theory of meaning, the number of columns and the convergence of series have been more thorough study. Mathematics in the history of the three crises are due to awareness of the infinite itself caused the conflict, understand the history of unlimited and limited the development of mathematics, finite and infinite series of limit in the distinction and connection, and through that infinite includes limited. In the series of finite and infinite. Unlimited is a limited form, for example, some uncertainties of infinite things, such as koch snow, and in some series by series and the relationship between the finite and infinite, so different from the conventional draw some conclusions.

KEY WORD: Limited; Infinite; Series; Positive Series; KochSnow；

目 录

第一章 前言 ........................................................................... 1

1.1 三次数学危机与无限思想 ........................................................ 2

1.2 空间概念的发展与无限思想 ...................................................... 4

1.3 现代数学基础的三大学派与无限思想 .............................................. 4

第二章 无限与有限的关系 .............................................................. 6

2.1 无限蕴含着有限——谈数列与级数的收敛与发散 .................................... 7

2.1.1 数列的收敛与发散 ....................................................... 7

2.1.2 级数的收敛与发散 ....................................................... 7

2.2无限由有限组成，同时由有限可以推演出无限 .................................. 8

2.2 数列与级数中的无限与有限 ..................................................... 10

2.2.1 数列的收敛性 .......................................................... 10

2.2.2 级数的收敛性 .......................................................... 11

第三章 无限过程中的有限应用 .......................................................... 15

3.1 Koch雪花 ................................................................... 15

3.2 正项数列收敛性的应用—收敛速度 ............................................... 17

结束语 ............................................................................... 19

参考文献 ............................................................................. 20

致 谢 ................................................................................ 21

第一章 前言

无限是数学上最重要的研究对象，也是哲学上最重要的范畴之一。数学史上的三次危机都是由于对无限本身的矛盾认识而引起的：空间概念的发展也经历了从有限到无限的过程；现代数学基础的三大学派的无穷观也各不相同。总之，对“无限”的认识也是一个无限的过程。无限，又称“无穷”。在传统的无穷理论体系中，哲学里的无穷观与数学里的无穷观并没有什么本质区别，其核心概念是“无穷”，指科学中某存在之物在大小、多少或长短等性质上的没有止境。在传统无穷观中“无穷”仅是个定性的概念，具体可表述为没有限度、无始无终、无边无际、不可穷尽、有始无终、有终无始、无穷大、无穷小、无穷集合等。

1.1 三次数学危机与无限思想

回顾数学的演变与纷争的历史，是人类从有限走向无限的认识历程。无限是人类在数学上最重要的对象，也是哲学上最重要的范畴之一。数学史上的三次危机都与无限有关：希帕索斯的无理数悖论、贝克莱的无穷小悖沦、罗素的集合论悖论，分别是对无限不循环量、无穷小量、无穷大量本身的矛盾的认识而引起的。

公元前五世纪，一个希腊人——毕达哥拉斯(Py—thagoras)学派的门徒希帕索斯，发现了等腰直角三角形的直角边与斜边不可通约，从而导致了第一次数学危机。当时毕氏学派的“万物皆数”观不仅深信数的和谐与数是万物的本源，而且宇宙问的一切现象都能归

数是无限不循环小数。当时人们只有有理数的概念，普遍确信一切量都可以用有理数来表示。这样希帕索斯的这一发现，就成为荒谬和违反常识的事，不仅严重触犯了毕氏学派的信条，同时冲击了当时希腊人的普遍见解，不能不使人们感到惊奇不安。相传，毕氏学派就因这一发现而把希帕索斯投入海中 。但是希帕索斯的伟大发现却是淹不死的，它以顽强的生命力被广为流传，迫使人们去认识和理解自然数及其比(有理数)不能包括切几何量，也迫使毕氏学派承认这一悖论并提出单子概念去解决它。单子概念是一种如此之小的度量单位，以致本身不可度量却又要保持为一种单位。这或许是企图通过无限来解决问题的最早努力。但是，毕氏学派的努力却又引起了芝诺的关注，他认为：一个单子或者是0或者不是0，如果是0，则无穷多个单子相加也产生不了长度；如果不是0，则无穷多个单子组成的有限长线段应该是无限长的，不论何说都矛盾。所以，连同著名的芝诺悖论在内也都列为数学第一次危机的组成部分。第一次数学危机促使人们从依靠直觉、经验而转向依靠证明，导致了公理几何学与逻辑学的诞生。

数学史上把l8世纪微积分诞生以来在数学界出现的混乱局面，称为第二次数学危机。英国牛顿基于运动学观点提出了“流数术”，而德国莱布尼兹则从几何学角度出发，提出“一种求极大、极小和切线的新方法，以及这种新方法的奇妙类型的计算” 。两者都有些含糊不清。如牛顿的“刹那”或无穷小量，有时是0，有时不是0，而是有限小量。莱布

尼兹的dx也不能自圆其说。dx表示两个相邻的X间的差是什么意思?极限是什么?无穷小是什么?都十分含糊。马克思称这个时期的微积分为神秘的微分学。由于神秘的微分学在数学的根本性问题上说不清楚，当时鼎鼎大名的唯心论哲学家贝克莱(1685—1753，爱尔兰大主教)提出了《分析学家：或一篇致不信神数学家的论文，其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、教义的主旨有更清晰的陈述，或更明显的推理》这篇标题很长的书。他嘲笑说无穷小量是“已经死去了的量的鬼魂幽灵”，怎么能说既是0又不是0呢?贝克莱之激烈攻击微积分，主要是出于他极端恐惧当时自然科学的发展所造成的对宗教信仰的日益增长的威胁，但也正由于当时的微积分理论没有一个牢固的基础，致使来自各方面的非难和攻击似乎言之有理。历史上，曾称贝克莱如上之论述为贝克莱悖论 ，而且迫使数学家不能不认真对待这一悖论，借以解除数学的第二次危机。柯西详细而又系统地发展极限论，戴德金(Dedekind)在实数理论的基础上证明极限论的基本定理，还有康托与维尔斯特拉斯都加入了为微积分理论寻找牢固基础的工作，发展了极限理论。

普遍认为，由于严格的微积分理论的建立，上述数学史上的两次危机已经解决。但在事实上，建立严格的分析理论是以实数理论为基础的，而要建立严格的实数理论，又必须以集合论为基础；而集合论的诞生与发展，却又偏偏出现了一系列的悖论，如著名的罗素悖论、康托悖论等，由此而构成了更大的危机。在今天，人们恰当地把集合论悖论的出现及其所引起的争论局面，称之为第三次数学危机。

这样人们就不得不重新审视“无限”这个包含着矛盾的概念。人们早就发现，对待无限或无限过程可以有两种截然不同的、在概念上互相排斥的理解方式，是把“无限”看成为永远在延伸着的(即不断在创造着的完成不了的)进程。例如不断延伸的自然数列1，2，3，⋯ ，n，n+l，⋯ 就具有这样的性质。二是把无限对象看成为可以自我完成的过程或无穷整体。例如把自然数全体理解为一个真无限集合f l，2，3，⋯ ，n，⋯}。显然，这两种理解方式足彼此排斥的。因为前者把无限理解为永远不能完成的进程，而后者则把无限理解为可以完成的过程。可见，承认不承认无限能否完成或形成整体，这是问题的关键所在。其实，在认识论上最根本的关键问题还在于承认不承认人脑的思维能够模写运动和反映“飞跃”。

在数学哲学上，把进程式的无限称为潜无限或假无限，把过程式的无限或完成了的无限称之为实无限或真无限。

现代的反映论者是承认人脑的思维运动能够反映客观存在的飞跃过程的。根据这样的观点，也就自然能够接受自然数序列做成无穷集合的概念。事实上，为了从直观上掌握自然数序列的整体性概念，可以设想在坐标轴上一个动点从坐标1处向原点0处移动，而当动点达到0时，也就通过了无穷点集(数集)

1111{ 1，，，⋯， ，⋯)中的一切点，又因为与自然数n做成一一对应，所以一切23nn

自然数这个概念也就被确定了下来。在上述思维形式中，实际上思维在模写运动：在动点

1滑到0的过程中，该动点逐次走过坐标点 (n=1，2，3，⋯)，心像也就跟踪前进。既然运n

动的实质是联结与过渡，所以该动点必然会达到0点，而在这一时刻也就在人们思想里立即呈现了(完成了)一切n的概念。这是思维运动里的一个飞跃，它正好对应地反映了运动中的一个阶段性飞跃，即动点坐标从非零数值变为零的那个飞跃。

康托引进最小的超穷序列数∞时已十分明确：自然数序列的形成过程包含着两个阶段：一是延伸(进展)，二是穷竭。只有经过延伸到穷竭，才彻底扬弃有限性，完成真无限过程。仔细说来，上述过程的真无限性是由“飞跃”形成的。因此，自然数序列的过程结构理应表示成下列形式：{l，2，3，...0，n，...1 }在这个表示法中，n代表任意自然数，

...0 表示着自然数的不断有限延伸，即量变阶段；而...1 表示着那扬弃了有限性重复发

生现象的飞跃阶段，即质变阶段。

由上已知，自然数的真无限过程是由飞跃阶段...1来完成的，所以...1 中已经蕴含了

真无限性。可是其中的成员(自然数)按照康托的观点看来又都是有限的序号数，有限序号数增长到无限就否定了序数自身的有限性，可见...1 中之有“无限多的有限序号数”这一

概念本身就隐含着矛盾。按照恩格斯《反杜林论》里的话来说，无限性是矛盾，而且是满含矛盾。无限性只能由有限的量来构成，这已是一种矛盾，可是事实上就是如此

1.2 空间概念的发展与无限思想

空间概念的发展，也经历了从有限到无限的过程。人们最初只有三维空间的概念，经历了很长时间才突破到四维空间，接着就产生了n维空间的概念，这些都是有限维空间。随着空间概念向各个数学分支的渗透，在泛函分析中建立了函数空间，即把点集论推广到函数的集合中去而导致了无限维空间的产生。无限维空间的典型实例是希尔伯特空间—— 无限维欧几里得空间，这种空间的元素的坐标是函数展成正交函数的级数的系数，空间中任意两元素xt、yt之间的距离

S

问的距离Sx、y的坐标分别是n个，而希尔伯特空

间中两点xt、yt的坐标数是无限多

1.3 现代数学基础的三大学派与无限思想

对于什么是数学、什么是数学的基础，以及对于数学方法、数学概念、数学命题、数学理论等奠基性的数学基础问题，存在着不同的观点与看法。人们从不同的哲学观点出发，发表对数学中具有普遍性和本质性的问题的看法，在历史上就形成了不同的数学基础学派。20世纪上半叶，在数学基础中，论战得最多、影响最大的有三大学派，即逻辑主义、直觉主义和形式公理主义三大学派。在这里我们只谈一谈这三大学派的无限思想，即他们的无穷观。

逻辑主义派的主要代表人物是罗素。逻辑主义派的主要宗旨是把数学划归为逻辑，也就是说：第一，数学的概念可以从逻辑的概念出发，经由明显的定义而得出；第二，数学的定理可以从逻辑的命题出发，经由逻辑的演绎推理而得出。因此，全部数学都可以从基本的逻辑概念和逻辑规则推导出来，这样一来，数学也就成了逻辑的分支。就无限观而言，逻辑主义派是实无限论者，即确认实无限性研究对象在数学领域中的合理性。普遍认为罗素及其追随者明显地承认无限性对象的存在性。但由于罗素为排除集合论的悖论而发展他的分支类型论，从而在罗素系统中的实无限性对象就在不同的类和级中表现为一定的层次结构，这是符合反映论的见解的

直觉主义派的主要代表人物是荷兰数学家布罗瓦(Brouwer)。直觉主义派的根本出发点是关于数学概念和方法的“可信性”考虑。因此，认识论上的可信性就唯一地决定了直觉主义的前提。直觉主义派的著名口号是：“存在必须被构造”，亦即数学中的概念和方法都必须是构造性的。直觉主义认为“逻辑不是发现真理的绝对可靠的工具” ，并认为在真正的数学证明中，不能使用“排中律”，因为排中律和其他经典逻辑规律是从有穷集抽象出来的，因此不能无限制地使用到无穷集上去，同样，也不能在数学中使用反证法。就无限观而言，根据直觉主义的基本观点，势必导致对实无限概念的排斥。因为从生成的观点来看，任何一个无穷集合或实无限对象都是不可构造的。若以简单的自然数集为例讨论的话，按照能行性的要求必然否定自然数全体这个概念，因为任何有穷多个步骤都不能把所有的自然数构造出来，更谈不上汇成整体。由此可见，在无穷观的问题上，直觉主义派是十分彻底地采纳了潜无限论者的观点。

形式公理主义学派的创始人是希尔伯特。形式公理主义学派认为，数学是研究推理或形式推理的，就是从一定的形式前提(公理)出发，按照演绎推理的规则，把一定的语句作为数学定理推导出来。因此，他们认为数学实际上就是一个形式系统，即一个符号形式的系统，数学是一种纯粹的符号游戏，对这种符号游戏的唯一要求是从形式前提(形式公理)出发推导不出矛盾。就“无穷观”问题而言，形式公理主义派的观点认为古典数学中那些包含着“绝对无穷”(实无限)概念的命题确实是“超越人们直观性证据之外”的东西。但是，他们并不同意直觉主义者由于这样的理由而放弃古典数学，包括康托集合论。既然肯定了实无限概念，也就承认了超穷集合的概念。例如，他们承认全体自然数做成一个完成了的无穷集合。因此，无论就有限论域或无限论域而言，他们都主张经典逻辑里的“排中律”是普遍有效的。希尔伯特甚至说过：“数学家使用的排中律就像天文学家手中的望远

镜那样重要，是万万不能丢弃的。”

从历史上亚里士多德(Aristotle)第一次明确地只承认潜无限而反对实无限，到1960年美国数理逻辑学家鲁滨逊(A．Robinson)在他创立的非标准分析中确立了无穷小量和无穷大量的合法地位，随着人们对“无限”的认识，数学也在一步步深化。可以相信，随着人们对“无限”的进一步认识，不仅数学而且其他学科也会得到进一步的发展。也许，人们对“无限”的认识也是一个无限的过程。

第二章

无限与有限的关系

2.1 无限蕴含着有限——谈数列与级数的收敛与发散

2.1.1 数列的收敛与发散

一个数列xn，其子数列一般记为xnk，xn1，xn2，…，xnk，… 其中n1n2...nknk1...，而nk的下标k是子数列的项的序号（即子列的第k项的序号）。研究当n无限增大时，对应的xnfn的变化趋势，这就是数列极限。 对于给定的数列xn，若当n无限增大时，其同项xn无限接近于某个常数a，则称数列xn以a为极限，或数列xn收敛于a，记为limxna或xnan。若数列xn不趋近n

于某个确定的常数，则称数列xn没有极限，或称数列xn发散。

2.1.2 级数的收敛与发散

定义1： 设

u1,u2,u3,...,un,...

是按一定顺序排列起来的一个无穷数列，记作un，对其各项依次用加号连接起来的表达式

u1u2u3...un... （1）



叫做（常数项）无穷级数，简称数项级数或级数，记作un，其中第n项un叫做级数的一

n1

般项（或者叫同项）。

级数（1）的前n项（有限项）的和

snuku1u2u3...un叫做级数的部分和。当n依次取1，2，3，…时，级数的部分

k1n

和构成一个新的数列s1,s2,...,sn,...,称之为级数的部分和数列，记为sn。

定义2：

当n时，如果级数 （1）的部分和数列sn存在极限，即存在s，使得limsns，则

n

称级数（1）收敛，也称级数（1）收敛于s，极限值s称为级数（1）的和，记作

su1u2u3...un...；如果级数（1）的部分和数列sn的极限不存在，则称级数（1）发散。

级数的收敛性和发散性统称为级数的敛散性，由定义可知，级数（1）与其部分和数列sn具有相同的敛散性。

记：rn

kn1

u



k

un1un2...

称rn为级数（1）的第n项后的余项。当级数（1）收敛时，有rnssn，因此

rnssn表示用sn近似代替s时所产生的绝对误差，这为近似计算的误差估计提供了分析和处理的方法，此时limrn0

n

将sna1a2...anai称为级数的部分和，当n无限增大时

i1

n

即 无穷级数收敛（发散）=极限存在（不存在）

2.2无限由有限组成，同时由有限可以推演出无限

有限范围内封闭无限。如在数轴上0与1之间的有限长度上有无限多个点，甚至不知为什么对这样的概念难以理解，但无论什么情况下．都是无限封闭在有限里。又如在正五角形、正方形等图形中，可以作出无限多个与其自身相似的图形。也就是说可以将无限封闭在这种正五角形、正方形中(如图l和图2)。

圆周率等、等等有限数可作为近似值表示，但实际却是无限非循环小数，可用其它无限小数表示的数很多。

11111

圆周率(莱布尼茨公式) 41...

357911

1111

自然对数的底e1...lim1

n1!2!3!n

习惯上，人们总认为，无限比有限大，比有限多，无限应包含有限，无限由有限组成。然而，现在我们知道，这种看法并不总是正确的。现代数学的发展，使我们看到有限中的无限，有限与无限的这种新的联系，是由数学家首次发现并运用的。

在数学中，有限的延伸就是无限，在通过有限的步骤后得到我们原来需要无限步后得到的普遍定理呢？是通过数学归纳法。通常将数学归纳法陈述如下：

若一个命题P(n)，当n=l时成立。

假定该命题当n=k时成立的情况下，能证明当n=k+l时也成立。那么就可以断言这个命题对于所有的自然数都成立。

例如，在自然数序列中，考察连续自然数的平方和

n

111211

11

6

221221

12225

6

331231

12223214

6

441241

1222324230

6

551251

122232425255

6

2

2n1我们发现：自然数序列前一个，二个，⋯⋯，n个连续自然数的平方和等于n和n1，

的乘积的六分之一，即

122232...n2

nn12n1

6

但这仅是一个猜想而已，对所有的自然数都成立么?若不成立，举反例即可；若成立必须作进一步证明。用自然数一个一个地验算是不行的，因为自然数有无数多个，无论我们用了多少个自然数，也无法得到对于一切自然数都成立的普遍定理。这时就必须采用数学归纳法。

这种数学归纳法也叫“将棋一个压一个横倒论证法”或“多米诺骨牌横倒论证法”。这是因为最初的一个骨牌滑倒下去后，后面的骨牌就跟着一个压一个无限地倒下去。

庞加勒在讲到数学归纳法的作用时指出：“棋手能预料四五步棋，不管他多么非凡，他也只能准备有限步棋，假使把他的本领用于算术，他也不能凭借单一的直觉直接洞察算术的普遍原理，为了获得最普遍的定理，他也不得不借助于递推原理，因为这是能使我们从有限向无限延伸的工具。”如果我们不能从有限走向无限，证明一个定理对一切自然数都成立，就得不到普遍定理。

2.2 数列与级数中的无限与有限

2.2.1 数列的收敛性

数列的概念是由某些实际延伸出的，数列是一些具有某些特征的数字或事物组成的集合。例如：达依尔的问题，在国际象棋棋盘放麦子：第一个格上放一粒麦子，第二个格子上放二粒，第三个格子上放4粒，以后按此比例每一格加一倍，一直放到第六十四格。那么在第六十四格上放有多少粒麦子?由数列的知识可以得出最终结果为2641粒。但并不是所有的数列我们都能够预测其最终结果，例如：某人第一次向银行存100元，第二次存500元，第三次存800元，第四次存80元，问第十次存了多少钱？第n次存了多少钱？显然并不能用所学的数列知识求解出答案。再如数列：{1,0,1,1,100,10,1...}，预测不出其最终结果。

在数学基础上，我们给出了数列收敛的精确定义：设xn为一数列。如果存在常数a，对于任意给定的正数，都存在正整数N，使得当nN时，不等式xna恒成立，则称数列xn收敛于a，或称a是数列xn的极限，记为limxna或xnan。

n

收敛数列具有一下的性质：

唯一性：设limxna且limxnb，则必有ab。

n

n

有界性：若limxna存在，则xn有界。

n

保号性：设limxna，则

n

（1）a0（或a0）时，存在正整数N，当nN时，xn0（或xn0）； （2）若存在正整数N，当nN时，xn0（或xn0），则必有a0（或a0）。 收敛数列与其子数列间的关系：若数列xn收敛于a，则它的任一子数列也收敛于a。即数列若收敛，必然其任何子数列都收敛于同一个常数；反之，若数列的两个子数列不能收敛于同一个常数，则此数列就一定没有极限。

2.2.2 级数的收敛性

收敛级数的一些性质：

性质1：如果级数un收敛于s，则级数kun（k为常数）也收敛，且其和为ks。

n1

n1











性质2：如果级数un，un分别收敛于s，，则级数unn也收敛，其和为

n1

n1

n1

s。

性质3：在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。

性质4：如果级数un收敛，则在不改变该级数项的次序情况下，任意加括号后所成

n1

的新级数仍收敛，其和不变。

性质5：如果级数un收敛，那么limun0。

n1

n



正项级数是常数项数中的一类特殊级数，其他许多级数的敛散性往往可借助于正项级数的敛散性得以判定，因此我们研究级数的收敛性，在本课题中主要研究正项级数。

正项级数定义：如果级数un中的每一项un0n1,2,3,...，则称级数un为正项

n1

n1



级数。

定理1：正项级数un收敛的充要条件是它的部分和数列sn有界。该定理说的就是，

n1

一个正项级数的部分和数列有界，则该级数也是收敛的。

定理2：设函数fx在区间1,上非负连续，且单调减少，则正项级数fn与

n1

反常积分



1

fxdx具有相同的敛散性。

证：由积分性质知，在区间k1,k k2,3,...上有

fk

n

k

k1

fxdxfk1，对k从2到n将上式依次相加得

n

n1

fkfxdxfk

k2

1

k1

记sn为级数fn的前n项部分和，则

n1



snf1fxdxsn1

1

n

如果反常积分



1n

fxdx收敛，由上式可得



0snf1fxdxf1

1

1

fxdx





即部分和数列sn有界，则正项级数fn收敛。如果正项级数fn，则知其部

n1

n1

分和数列sn有界，又因为fx0，x1,，所以对任意An1,n n2,3,...，有

0

n1

1

fxdxfxdxfxdxsn1fn

1

1

n1

An



可得数列则有lim

n1



n

1

fxdx为单调递增且为有界数列，从而一定收敛，记lim



n1

fxdxI，

n

n1

fxdxI，又A与n是等价的，故由迫敛准则得



1

fxdxlim



A1

fxdxI，

A

即

1

fxdx收敛。



综上所述，正项级数fn与反常积分

n1







1

fxdx具有相同的敛散性。

定理3:设un和n都是正项级数，且unn n1,2,...，

n1

n1



（1） 若级数n收敛，则级数un也收敛；

n1

n1





（2） 若级数un发散，则级数n也发散。

n1

n1



（DAlembert判别法）设正项级数un满足lim

,

n1

un1

，

nun

则（1） 当1时，级数un收敛；

n1





（2） 当1或时，级数un发散；

n1



（3） 当1时，级数un可能收敛也可能发散。

n1

（本课题中主要讨论级数的收敛性）

证：（1）设1，取0使得q1，由极限的定义知，存在正整数M，当nM时有不等式

un1

q， un

这样

uM1quM，

uM2quM1q2uM， „„

uMkquMk1...q2uM， „„

由于q1，级数quM收敛，由比较判别法的推论知正项级数un收敛。

kn1

n1







(Cauchy判别法) 设正项级数un的一般项un满足

n1

，

n则 （1）当1时，级数un收敛；

n1





（2）当1或时，级数un发散；

n1



（3）当1时，级数un可能收敛也可能发散。

n1

证：（1）当1时，取q满足q1，可知存在正整数N，使得对一切nN，成

q，从而xnqn，0q1，

可知xn收敛。

n1

（2）当1，由于

是数列

的极限点，可知存在无穷多个n

1，这

说明数列xn不是无穷小量，从而级数xn发散。

n1



11

（3）当1，可以通过级数2与知道判别法失效。

n1nn1n





例如:讨论级数

1

的敛散性，收敛的话，求出级数之和。

n1nn2

解：取xn

1111

，则

nn22nn2

Sn

1111111111

1...232435n1n1nn21311

， 22n1n2



31332n3

limSnlim，于是原级数收敛，且和为。 nn442n1n24

第三章 无限过程中的有限应用

3.1 Koch雪花

1904年瑞典科学家科克（Koch）描述了这样一段奇特而又有趣的事件：一条边长为a的正三角形，将每边三等分，以中间三分之一为一段向外再做正三角形，小三角形在三条边的出现使得原三角形变成了一个六角形，六角形共有12条边，再在这12条边上用与上述相同的方法，即可构造出一个新的48边形，如此做下去，其边缘越来越精细，看上去就像美丽的雪花，称为Koch雪花。

…

将上述步骤简化下：从一个线段开始，根据下列规则可以构造出一个Koch曲线： ①．三等分一条线段；

②．用一个等边三角形替代第一步划分三等分的中间部分，并且去掉三角形与线段重合的那段；

③．在每一条直线上，重复第二步。 如下图：

...

现在我们考虑做第n次操作后形成图形的周长为Pn，面积为An。易知开始时

P0

3,A0

。在做每一步操作时，不难发现下面规律： ⑴ 每一条边生成4条新边；

1

⑵ 新边长为远边长的；

3

1

⑶ 每个新产生的三角形面积为原三角形面积的。

9

这样就可以得到

44PnP03，

33

1111

。 An334342...34n199994

由于limPnlim3，从而Koch雪花的周长为无限长。

nn

3当n趋于无穷大时，把Koch雪花图形的面积A写成如下形式：

n

2

3

n

nn

14A

4n09

44

由于是公比为的正项级数，因此Koch雪花图形的面积A的正项级数收敛，

9n09



n

n

其值为

。 5

结论：由Koch雪花的面积大小依赖于最初的正三角形边长，而Koch曲线的周长却是无限增大的，这结果简直不可思议，有限的区域生成无限的长度，是一种反常现象，促进了人们对这一问题的思考。这属于分形几何学的研究范畴，不在本课题的研究范围。

3.2 正项数列收敛性的应用—收敛速度

例如：假设汽车速度v1快于自行车的速度v2，而汽车在自行车的后方s，则显然经过时间

T

s

后，汽车就会追赶上自行车。但是，他有这样一个疑问？当汽车前进路程s到达v1v2

vs

时，自行车又前进了路程s1v2t12s。v1v1

自行车原来所在的位置时，即经过了时间t1

当汽车前进路程s1，即又经过了t2

2s1sv2v1v1v1时，自行车又前进了路程vs2v2t22s,....，这样一直下去，直观上感觉，汽车总是差一点才能追赶上自行车。

v1

问题出在哪里呢？事实上该问题与无穷级数的收敛性有关。汽车追赶第n段路程化肥的时sv间为tn2v1v1n1v，此时，汽车与自行车相距路程为sn2s，汽车追赶自行车花费的v1

n1nsv2时间的总和是一个无穷级数ttnv1n1v1n1，它是一个公比qv21的几何级数，v1

s

vssT。所以，经过时间T因此，和为t1后，汽车就会追赶上自行车。 v2v1v2v1v21v1

结束语

通过本课题研究可以了解，无限和有限是对立的统一，它们既是对立的，有区别的，又是相互联系的，并在一定条件下相互转化。从而了解有限和无限在数列求极限中的区别和联系，即无限中包括了有限。普遍意义下的无限和有限有着千丝万缕的联系，如无限由有限构成，无限是有限的延伸等等。在级数中有限和无限的研究，主要基于正项级数来研究的，来研究正项级数的收敛性。在通过对Koch雪花和Sierpinski三角形模型研究出在数学意义下的无限和有限，在无限的计算中可以得出有限值。

参考文献

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[10] 陈秀，张霞，高等数学（上、下）.[M]，北京：高等教育出版社，2011.

致 谢

毕业论文致谢词模版本论文是在导师姚玉武老师悉心指导下完成的。导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，诲人不倦的高尚师德，严以律己、宽以待人的崇高风范，朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树了远大的学术目标、掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的指导下完成的，倾注了导师大量的心血。在此，谨向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！

2011何李贝 年 5月 于合肥学院